广东省广州市海珠区高三数学上学期8月摸底试卷 文（含解析）.doc

广东省广州市海珠区2015届高三上学 期8月摸底数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合m=x|x2=1，n=1，2，则mn=（）a1，2b1，1，2c1，2d12（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）a2b2c1+id1i3（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）aabcbacbccabdcba4（5分）若ar，则a=0是a（a1）=0的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件5（5分）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）a若m，n，则mnb若m，n，则mnc若m，mn，则nd若m，mn，则n6（5分）设等比数列an的前n项和为sn若s2=3，s4=15，则s6=（）a31b32c63d647（5分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）af（x）=x3bf（x）=sinxcf（x）=df（x）=x|x|8（5分）由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为（）abcd9（5分）已知抛物线y2=4x与双曲线=1（a0，b0）有相同的焦点f，点a是两曲线的一个交点，且afx轴，则双曲线的离心率为（）a+2b+1c+1d+110（5分）已知菱形abcd的边长为2，bad=120，点e、f分别在边bc、dc上，=，=，若=1，=，则+=（）abcd二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）已知某程序的框图如图，若分别输入的x的值为0，1，2，执行该程序后，输出的y的值分别为a，b，c，则a+b+c=12（5分）在abc中，角a，b，c所对边分别为a，b，c，且，b=45，面积s=2，则b等于13（5分）如图，对大于或等于2的正整数m的n次幂进行如下方式的“分裂”（其中m，nn*）：例如72的“分裂”中最小的数是1，最大的数是13；若m3的“分裂”中最小的数是241，则最大的数是（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在直角坐标平面内，以坐标原点o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点m的极坐标为（4，），曲线c的参数方程为（为参数）则点m到曲线c上的点的距离的最小值为【几何证明选讲选做题】15如图，过圆o外一点p分别作圆的切线和割线交圆于a，b，且pb=9，c是圆上一点使得bc=4，bac=apb，则ab=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（12分）已知函数f（x）=2cos（），xr（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若sin=，（，），求f（4+）17（12分）为增强市民的环保意思，某市面向全市增招义务宣传志愿者从符合条件的志愿者中随机抽取20名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄（岁）分成五组：第1组20，25），第2组25，30），第3组30，35），第4组35，40），第5组40，45）得到的频率分布直方图（局部）如图所示（1）求第4组的频率，并在图中补画直方图；（2）从20名志愿者中再选出年龄低于30岁的志愿者3名担任主要宣讲人，求这3名主要宣讲人的年龄在同一组的概率18（14分）如图，四棱锥pabcd中，侧面ade为等边三角形，底面bcde是等腰梯形，且cdbe，de=2，cd=4，cde=60，m为de的中点，f为ac的中点，且ac=4（1）求证：平面aed平面bcd；（2）求证：fb平面ade；（3）求四棱锥abcde的体积19（14分）已知公差不为0的等差数列an的前n项和为sn，若s5=25，且s1，s2，s4成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）求证：对一切正整数n，有+20（14分）在平面直角坐标系xoy中，动点p到两点，的距离之和等于4，设点p的轨迹为曲线c，直线l过点e（1，0）且与曲线c交于a，b两点（1）求曲线c的轨迹方程；（2）是否存在aob面积的最大值，若存在，求出aob的面积；若不存在，说明理由21（14分）已知函数f（x）=x1+（ar，e为自然对数的底数）（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，求a的值；（）求函数f（x）的极值；（）当a=1的值时，若直线l：y=kx1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值广东省广州市海珠区2015届高三上学期8月摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合m=x|x2=1，n=1，2，则mn=（）a1，2b1，1，2c1，2d1考点：并集及其运算 专题：集合分析：利用并集定义求解解答：解：集合m=x|x2=1=1，1，n=1，2，mn=1，1，2故选：b点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题2（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）a2b2c1+id1i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的对称关系，求出复数z2，然后求解z1z2即可解答：解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，所以z2=1i，z1z2=（1+i）（1i）=2故选：a点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的对称，考查计算能力3（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）aabcbacbccabdcba考点：对数的运算性质 专题：计算题；综合题分析：利用指数式的运算性质得到0a1，由对数的运算性质得到b0，c1，则答案可求解答：解：0a=20=1，b=log2log21=0，c=log=log23log22=1，cab故选：c点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题4（5分）若ar，则a=0是a（a1）=0的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：由a（a1）=0解得a=0或1即可判断出解答：解：由a（a1）=0解得a=0或1a=0是a（a1）=0的充分而不必要条件故选：a点评：本题考查了充要条件的判定方法，属于基础题5（5分）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）a若m，n，则mnb若m，n，则mnc若m，mn，则nd若m，mn，则n考点：空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：a运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；b运用线面垂直的性质，即可判断；c运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；d运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断解答：解：a若m，n，则m，n相交或平行或异面，故a错；b若m，n，则mn，故b正确；c若m，mn，则n或n，故c错；d若m，mn，则n或n或n，故d错故选b点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型6（5分）设等比数列an的前n项和为sn若s2=3，s4=15，则s6=（）a31b32c63d64考点：等比数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由等比数列的性质可得s2，s4s2，s6s4成等比数列，代入数据计算可得解答：解：s2=a1+a2，s4s2=a3+a4=（a1+a2）q2，s6s4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以s2，s4s2，s6s4成等比数列，即3，12，s615成等比数列，可得122=3（s615），解得s6=63故选：c点评：本题考查等比数列的性质，得出s2，s4s2，s6s4成等比数列是解决问题的关键，属基础题7（5分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）af（x）=x3bf（x）=sinxcf（x）=df（x）=x|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：逐一判断四个答案中，给定函数的奇偶性和单调性，可得结论解答：解：a中，f（x）=x3是奇函数，但不是减函数，b中，f（x）=sinx是奇函数，但不是减函数，c中，f（x）=是奇函数，但不是减函数，d中，f（x）=x|x|=，既是奇函数又是减函数，故选：d点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，熟练掌握各基本初等函数的图象和性质是解答的关键8（5分）由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为（）abcd考点：几何概型；简单线性规划 专题：概率与统计分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论解答：解：平面区域1，为三角形aob，面积为，平面区域2，为aob内的四边形bdco，其中c（0，1），由，解得，即d（，），则三角形acd的面积s=，则四边形bdco的面积s=，则在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为，故选：d点评：本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键9（5分）已知抛物线y2=4x与双曲线=1（a0，b0）有相同的焦点f，点a是两曲线的一个交点，且afx轴，则双曲线的离心率为（）a+2b+1c+1d+1考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得c，根据afx轴可判断出|af|的值和a的坐标，代入双曲线方程，求得离心率e解答：解：抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，c=1a是它们的一个公共点，且af垂直x轴设a点的纵坐标大于0|af|=2，a（1，2）点a在双曲线上c=1，b2=c2a2a=1e=1+故选：d点评：本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题10（5分）已知菱形abcd的边长为2，bad=120，点e、f分别在边bc、dc上，=，=，若=1，=，则+=（）abcd考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由=1，求得4+42=3 ；再由=，求得+= 结合求得+的值解答：解：由题意可得若=（+）（+）=+=22cos120+=2+4+4+22cos120=4+422=1，4+42=3 =（）=（1）（1）=（1）（1）=（1）（1）22cos120=（1+）（2）=，即+= 由求得+=，故答案为：点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）已知某程序的框图如图，若分别输入的x的值为0，1，2，执行该程序后，输出的y的值分别为a，b，c，则a+b+c=6考点：选择结构 专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值，将x的值分别代入即得解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值当x=0时，则y=4=1；当x=1时，则y=1；当x=2时，则y=22=4；则a+b+c=1+1+4=6故答案为：6点评：本题主要考查了选择结构考程序输出值也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出12（5分）在abc中，角a，b，c所对边分别为a，b，c，且，b=45，面积s=2，则b等于5考点：余弦定理；三等分角问题 专题：计算题；解三角形分析：利用三角形的面积公式求出边a；利用三角形的余弦定理求出边b解答：解：，b=45，面积s=2，s=acsinb=2a=2a=1由余弦定理得b2=a2+c22accosb=12+（4）221=25b=5故答案为：5点评：本题考查三角形的面积公式：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦的一半、考查利用三角形的余弦定理求边长13（5分）如图，对大于或等于2的正整数m的n次幂进行如下方式的“分裂”（其中m，nn*）：例如72的“分裂”中最小的数是1，最大的数是13；若m3的“分裂”中最小的数是241，则最大的数是271考点：归纳推理 专题：计算题；推理和证明分析：从23到（m1）3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+（m1）=，在m3的“分拆”的最大数是m2+m1，即可得出结论解答：解：由题意，从23到（m1）3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+（m1）=个，即241=3+2解得m=16或m=15（舍去）在m3的“分拆”的最大数是m2+m1，所求最大的数是271故答案为：271点评：本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，如本题是建立关于m的方程的方法，求出m的值（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在直角坐标平面内，以坐标原点o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点m的极坐标为（4，），曲线c的参数方程为（为参数）则点m到曲线c上的点的距离的最小值为4考点：参数方程化成普通方程 专题：计算题；坐标系和参数方程分析：利用x=cos，y=sin即可把点m的坐标化为直角坐标，进而即可求出直线om的方程；再把曲线c的参数方程化为化为普通方程，再利用|ma|r即可求出最小值解答：解：点m的直角坐标为（4，4），由曲线c的参数方程（为参数），化成普通方程为：（x1）2+y2=1，圆心为a（1，0），半径为r=1，由于点m在曲线c外，故点m到曲线c上的点的距离的最小值为|ma|r=51=4故答案为：4点评：充分利用极坐标与普通方程的互化公式及点m到曲线（圆）c上的点的距离的最小值为|ma|r是解题的关键【几何证明选讲选做题】15如图，过圆o外一点p分别作圆的切线和割线交圆于a，b，且pb=9，c是圆上一点使得bc=4，bac=apb，则ab=6考点：圆的切线的性质定理的证明 专题：选作题；立体几何分析：根据同弧所对的圆周角与弦切角相等，得到c=bap，根据所给的两个角相等，得到两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，得到比例式，代入已知的长度，求出结果解答：解：bac=apb，c=bap，pabacb，ab2=pbbc=94=36，ab=6，故答案为：6点评：本题考查圆的切线的性质的应用，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，考查三角形相似的判断和性质，本题是一个综合题目三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（12分）已知函数f（x）=2cos（），xr（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若sin=，（，），求f（4+）考点：余弦函数的图象；运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）令2k2k+，kz，求得x的范围，可得函数的减区间（2）由sin=，（，），求得cos、sin2、cos2的值，再根据f（4+）=2cos2+=2cos（2+），利用两角和的余弦公式，计算求得结果解答：解：（1）对于函数f（x）=2cos（），令2k2k+，kz，求得4k+x4k+，故函数的减区间为4k+，4k+，kz（2）sin=，（，），cos=，sin2=2sincos=，cos2=12sin2=12=f（4+）=2cos2+=2cos（2+）=2cos2cos2sin2sin=22（）=点评：本题主要考查余弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题17（12分）为增强市民的环保意思，某市面向全市增招义务宣传志愿者从符合条件的志愿者中随机抽取20名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄（岁）分成五组：第1组20，25），第2组25，30），第3组30，35），第4组35，40），第5组40，45）得到的频率分布直方图（局部）如图所示（1）求第4组的频率，并在图中补画直方图；（2）从20名志愿者中再选出年龄低于30岁的志愿者3名担任主要宣讲人，求这3名主要宣讲人的年龄在同一组的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（1）由直方图求出除35，40）外的频率，得到在35，40）内的频率，（2）求出用分层抽样方法抽取的20名中年龄低于30岁的人数，利用列举法求出基本事件总数和恰有3名在同一组的事件数，然后由古典概型概率计算公式求解解答：解：（1）小矩形的面积等于频率，除35，40）外的频率和为0.70第4组的频率：10.70=0.30（2）用分层抽样的方法，则其中“年龄低于30岁”的人有5名，其中第一组有1人，第二组有4人，分别用a表示第一组的一人，用a，b，c，d表示第二组的4人，则任选三人总的事件有aab，aac，aad，abc，abd，acd，abc，abd，acd，bcd，共10种，其中在同一组的有，abc，abd，acd，bcd，共4种，故这3名主要宣讲人的年龄在同一组的概率p=点评：本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型及其概率计算公式，是基础的计算题18（14分）如图，四棱锥pabcd中，侧面ade为等边三角形，底面bcde是等腰梯形，且cdbe，de=2，cd=4，cde=60，m为de的中点，f为ac的中点，且ac=4（1）求证：平面aed平面bcd；（2）求证：fb平面ade；（3）求四棱锥abcde的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）首先根据直线与平面垂直的判定定理证明am平面bcd，然后根据平面垂直的判定定理证明平面ade平面bcd（2）取dc中点n，首先证明fn平面ade，然后再证明bn平面ade，再根据平面与平面平行的判定定理证明平面ade平面fnb，最后由面面平行的性质证明fb平面ade（3）由am平面bcd，am=，由此能求出四棱锥abcde的体积解答：（1）证明：ade是等边三角形，de=2，m是de的中点，amde，am=，底面bcde是等腰梯形，且cdbe，de=2，cd=4，cde=60，m为de的中点，f为ac的中点，且ac=4在dmc中，dm=1，mc2=16+1241cos60=13，即mc=，在amc中，am2+mc2=3+13=16=ac2，ammc，又amde，mcde=m，am平面bcd，am平面ade，平面ade平面bcd（2）证明：取dc的中点n，连结fn，nb，f，n分别是ac，dc的中点，fnad，fn不包含于平面ade，ad平面ade，fn平面ade，n是dc的中点，bc=nc=2，又cde=60，bcn是等边三角形，bnde，fnbn=n，平面ade平面fnb，fb平面fnb，fb平面ade（3）解：由（1）知am平面bcd，am=，底面bcde是等腰梯形，且cdbe，de=2，cd=4，cde=60，be=411=2，等腰梯形bcde的高为，四棱锥abcde的体积：v=3点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（14分）已知公差不为0的等差数列an的前n项和为sn，若s5=25，且s1，s2，s4成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）求证：对一切正整数n，有+考点：数列与不等式的综合；数列的求和 专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由题意列方程组求得首项和公差，则数列an的通项公式可求；（2）由（1）中求得的通项公式得到，代入有+整理得答案解答：（1）解：设等差数列an的首项为a1，公差为d（d0），由s5=25，且s1，s2，s4成等比数列，得，解得：或d0，则an=1+2（n1）=2n1；（2）证明：an=2n1，+=点评：本题是数列与不等式综合题，考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题20（14分）在平面直角坐标系xoy中，动点p到两点，的距离之和等于4，设点p的轨迹为曲线c，直线l过点e（1，0）且与曲线c交于a，b两点（1）求曲线c的轨迹方程；（2）是否存在aob面积的最大值，若存在，求出aob的面积；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由椭圆定义可知，点p的轨迹c是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆，由此能求出曲线c的方程（2）存在aob面积的最大值由直线l过点e（1，0），设直线l的方程为 x=my1，由，得（m2+4）y22my3=0由=（2m）2+12（m2+4）0设a（x1，y1），b（x2，y2）解得，由此能求出saob的最大值解答：解：（1）由椭圆定义可知，点p的轨迹c是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆（3分）故曲线c的方程为 （5分）（2）存在aob面积的最大值（6分）因为直线l过点e（1，0），设直线l的方程为 x=my1或y=0（舍）则整理得 （m2+4）y22my3=0（7分）由=（2m）2+12（m2+4）0设a（x1，y1），b（x2，y2）解得，则 因为= （10分