高考数学 能力加强集训 专题三第3讲 第3讲　推理与证明（含详解）.doc

专题三 第3讲推理与证明一、选择题(每小题4分，共24分)1用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是a假设a、b、c都是偶数b假设a、b、c都不是偶数c假设a、b、c至多有一个是偶数d假设a、b、c至多有两个是偶数解析至少有一个的否定是一个也没有，即a，b，c都不是偶数答案b2(2012济南模拟)在实数的原有运算法则(“”和“”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“”如下：当ab时，aba；当ab时，abb2.则当x2,2时，函数f(x)(1x)x(2x)的最大值等于a1b1c6d12解析易知f(x)当x2时，f(x)的最大值为2326.答案c3(2012厦门模拟)将石子摆成如图的梯形形状称数列5,9,14,20，为“梯形数”根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a2 0125a2 0182 012 b2 0182 011c1 0092 012 d1 0092 011解析观察可知a2 0122342 0142 013(22 014)2 0131 008，a2 01252 0131 00851 0092 011.答案d4(2012枣庄模拟)22 012个位上的数字为a2 b4c6 d8解析由212,224,238,2416,2532,2664,27128,28256，观察可知，24k的个位数为6,24k1的个位数为2,24k2的个位数为4,24k3的个数为8，kn，22 01224503的个位数为6.答案c5由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：由“mnnm”类比得到“abba”；由“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；由“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；由“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”以上结论正确的是a bc d解析因为向量运算满足交换律、乘法分配律，向量没有除法，不能约分，所以正确，错误又因为|ab|a|b|cosa，b|，所以错误故选b.答案b6现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为a. b.c. d.解析由平面类比到空间，将面积和体积进行类比，容易得出两个正方体重叠部分的体积恒为，所以选b.答案b二、填空题(每小题5分，共15分)7(2012烟台一模)若实数x、y、m满足|xm|ym|，则称x比y远离m.若x21比1远离0，则x的取值范围是_解析据题意知|x210|10|，即|x21|1，x211或x211，解得x或x.答案(，)(，)8(2012苏州模拟)观察下列等式：11123123612341012345151311323913233336132333431001323334353225可以推测：132333n3_(nn，用含有n的代数式表示)解析由数表知132333n3(12n)32.答案9(2012昆明模拟)设f(x)axb，其中a，b为实数，f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，n1,2,3，若f7(x)128x381，则ab_.解析由递推式可得f2(x)a2xabb，f3(x)a3xa2babb，f4(x)a4xa3ba2babb，f7(x)a7xa6babb128x38，a7128，a2，(a6ba5babb)b(1aa6)b127 b381，b3.故ab5.答案5三、解答题(每小题12分，共36分)10已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c226，并确定a、b、c为何值时，等号成立证明因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，所以a2b2c2abbcac，同理，故a2b2c22abbcac6.所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立；当且仅当abc，(ab)2(bc)2(ac)23时，式等号成立即当且仅当abc时，原式等号成立11已知函数f(x)ax(a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明f(x)0没有负根证明(1)任取x1，x2(1，)，不妨设x1x2，则x2x10，且0.所以 (1)0.又因为x110，x210，所以0，于是f(x2)f(x1)0，故函数f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在x00(x01)满足f(x0)0，则ax0，又01，所以01，即x02，与x00(x01)假设矛盾，故f(x0)0没有负根12某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n2，数列的前n项之积为n2.(1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明解析(1)已知a11，由题意，得a1a222，a222，a1a2a332，a3；同理，可得a4，a5.因此这个数列的前五项为1,22，.(2)观察这个数列的前五项，猜测这个数列的通项公式应为an下面用数学归纳法加以证明当n2时，an.当n2