高三数学总复习 93空间点、直线、平面之间的位置关系练习 新人教B版.doc

9-3空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固强化1.已知e、f、g、h是空间内四个点，条件甲：e、f、g、h四点不共面，条件乙：直线ef和gh不相交，则甲是乙成立的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件答案a解析点e、f、g、h四点不共面可以推出直线ef和gh不相交；但由直线ef和gh不相交不一定能推出e、f、g、h四点不共面，例如：ef和gh平行，这也是直线ef和gh不相交的一种情况，但e、f、g、h四点共面故甲是乙成立的充分不必要条件2(文)(2011浙江文，4)若直线l不平行于平面，且l，则()a内的所有直线与l异面b内不存在与l平行的直线c内存在唯一的直线与l平行d内的直线与l都相交答案b解析由题意知直线l与平面相交，不妨设直线lm，对a，在内过m点的直线与l不异面，a错误；对b，假设存在与l平行的直线m，则由ml得l，这与lm矛盾，故b正确，c错误；对d，内存在与l异面的直线，故d错误综上知选b.(理)a、b、c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()a若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面b若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交c若ab，则a、b与c所成的角相等d若ab，bc，则ac答案c解析如图(1)知a错；如图(2)知b错；如图(3)知d错在直线c上任取一点p，过p作直线ma，则mb，因此a，b与c所成的角都等于m与c所成的角，故选c.3(文)(2011威海质检)已知直线l、m，平面，且m，则lm是l的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件答案d解析由lm可知l或l，所以“lm”不是“l”的充分条件，l且m，则直线lm或直线l与m异面，所以“lm”也不是“l”的必要条件，故选d.(理)已知直线l平面，直线m平面，则是lm的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案a解析若，则由l知l，又m，可得lm；若与相交(如图)，设n，当mn时，由l可得lm，而此时与不平行于是是lm的充分不必要条件故选a.4平行六面体abcda1b1c1d1中，既与ab共面也与cc1共面的棱的条数为()a3b4c5d6答案c解析如图，平行六面体abcda1b1c1d1中，既与ab共面，也与cc1共面的棱为bc、c1d1、dc、aa1、bb1，共5条5(2012武汉市模拟)空间中一条线段ab的三视图中，俯视图是长度为1的线段，侧视图是长度为2的线段，则线段ab的长度的取值范围是()a(0,2 b2，c2,3 d2，答案b解析以线段ab为体对角线构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则由题意知，ab2x2y2z25y2，x20，1y20，0y21，4ab25，2ab.特别地，当ab为面对角线时，ab2或成立，2ab.6如图是正方体或四面体，p、q、r、s分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()答案d解析a中，psqr；b中如图可知此四点共面；c中psqr；d中rs在经过平面pqs内一点和平面pqs外一点的直线上，故选d.7(2011金华模拟)在图中，g、h、m、n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则使直线gh、mn是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案解析图中，直线ghmn；图中，g、h、n三点在三棱柱的侧面上，mg与这个侧面相交于g，m平面ghn，因此直线gh与mn异面；图中，连接mg，gmhn，因此gh与mn共面；图中，g、m、n共面，但h平面gmn，因此gh与mn异面所以图、中gh与mn异面8(文)(2011南京模拟)如图，直三棱柱abca1b1c1中，ab1，bc2，ac，aa13，m为线段bb1上的一动点，则当ammc1最小时，amc1的面积为_答案解析将三棱柱的侧面a1abb1和b1bcc1以bb1为折痕展平到一个平面上，在平面内ac1与bb1相交，则交点即为m点，易求bm1，am，mc12，又在棱柱中，ac1，cosamc1，amc1120，samc1ammc1sinamc12.(理)在三棱锥pabc中，pa底面abc，acbc，paacbc，则直线pc与ab所成角的大小是_答案60解析分别取pa、ac、cb的中点f、d、e连接fd、de、ef、ae，则fde是直线pc与ab所成角或其补角设paacbc2a，在fde中，易求得fda，dea，fea，根据余弦定理，得cosfde，所以fde120.所以pc与ab所成角的大小是60.9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_答案解析由三视图知，该几何体是一个四棱柱，底面为直角梯形，上底长1，下底长2，高为1，其面积s(12)1，侧棱垂直于底面，侧棱长为1，体积v1.10(文)(2012福建四地六校联考)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，侧棱pd底面abcd，pddc，e是pc的中点，作efpb交pb于点f.(1)证明：pa平面edb；(2)证明：pb平面efd.证明(1)连接ac交bd于o，连接eo.底面abcd是矩形，点o是ac的中点又e是pc的中点，在pac中，eo为中位线，paeo.而eo平面edb，pa平面edb.pa平面edb.(2)由pd底面abcd得pdbc.底面abcd是矩形，dcbc，bc平面pdc，而de平面pdc，bcde.pddc，e是pc的中点，depc.由和得de平面pbc.pb平面pbc，depb.又efpb，且deefe，pb平面efd.(理)如图，平面abef平面abcd，四边形abef与abcd都是直角梯形，badfab90，bc綊ad，be綊fa，g、h分别为fa、fd的中点(1)证明：四边形bchg是平行四边形；(2)c、d、f、e四点是否共面？为什么？(3)设abbe，证明：平面ade平面cde.解析解法一：(1)由题设知，fgga，fhhd，所以gh綊ad.又bc綊ad，故gh綊bc，所以四边形bchg是平行四边形(2)c、d、f、e四点共面理由如下：连接eg，由be綊af，g是fa的中点知，be綊gf，所以efbg，由(1)知bgch，所以efch，故ec、fh共面又点d直线fh上，d平面cef.所以c、d、f、e四点共面(3)由abbe，be綊ag，及bag90知abeg是正方形，故bgea.由题设知，fa、ad、ab两两垂直，故ad平面fabe，因此ea是ed在平面fabe内的射影，bged.又eceae，所以bg平面ade.由(1)知，chbg，所以ch平面ade.由(2)知f平面cde，故ch平面cde，得平面ade平面cde.解法二：由题设知，fa、ab、ad两两互相垂直如图，以a为坐标原点，射线ab为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系axyz.(1)设aba，bcb，bec，则由题设得a(0，0,0)，b(a,0,0)，c(a，b,0)，d(0,2b,0)，e(a,0，c)，g(0,0，c)，h(0，b，c)，f(0,0,2c)所以，(0，b,0)，(0，b,0)，于是.又点g不在直线bc上，所以四边形bchg是平行四边形(2)c、d、f、e四点共面理由如下：由题设知，f(0,0,2c)，所以(a,0，c)，(a,0，c)，又cef，hfd，故c、d、f、e四点共面(3)由abbe，得ca，所以(a,0，a)，(a,0，a)又(0,2b,0)，因此0，0即chae，chad，又adaea，所以ch平面ade.故由ch平面cdfe，得平面ade平面cde.点评如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来时，可用向量法求解如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时，可不用向量法求解.能力拓展提升11.(文)(2011北京市西城区模拟)正方体abcda1b1c1d1中，与对角线ac1异面的棱有()a3条 b4条c6条 d8条答案c解析在正方体abcda1b1c1d1中，与对角线ac1有公共点a的和有公共点c1的各有3条，其余6条所在正方体的面与ac1均相交，且交点不在这些棱上，由异面直线判定定理知，这6条与ac1都异面，故选c.(理)已知a、b、c是相异直线，、是相异平面，下列命题中正确的是()aa与b异面，b与c异面a与c异面ba与b相交，b与c相交a与c相交c，da，b，与相交a与b相交答案c解析如图(1)，正方体abcda1b1c1d1中，a、b、c是三条棱所在直线满足a与b异面，b与c异面，但aca，故a错；同样在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故b错；如图(3)，c，ac，则a与b不相交，故d错12(文)(2011四川文，6)l1、l2、l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()al1l2，l2l3l1l3bl1l2，l2l3l1l3cl1l2l3l1、l2、l3共面dl1、l2、l3共点l1、l2、l3共面答案b解析举反例，由教室内共点的三条墙角线可知a、d是错误的；由三棱柱的三条侧棱可知c是错误的故选b.(理)(2011浙江省嘉兴市高三教学测试)如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是bc1、cd1的中点，则下列判断错误的是()amn与cc1垂直bmn与ac垂直cmn与bd平行dmn与a1b1平行答案d解析由于c1d1与a1b1平行，mn与c1d1是异面直线，所以mn与a1b1是异面直线，故选项d错误点评取cd中点q，bc中点r，则nq綊d1d，mr綊cc1，cc1綊d1d，nq綊mr，mnqr，qrbd，acbd，acmn，b正确；mnqr，qrbd，mnbd，c正确；cc1平面abcd，cc1pq，cc1mn，a正确13(文)(2011石家庄测试)平面、相交，在、内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面答案1或4解析当这四点中任意两点的连线与另外两点连线相交或平行时，确定一个平面；否则由这四点可确定四个平面(理)直三棱柱abca1b1c1中，若bac90，abacaa1，则异面直线ba1与ac1所成的角等于_答案60解析将原来的直三棱柱补成一个正方体abdca1b1d1c1，ac1bd1，a1bd1即为异面直线ba1与ac1所成的角a1bd1为正三角形，a1bd160.点评异面直线所成的角是重点考查的一个内容，难点在于寻找异面直线的平行线，本题巧妙地构造一个正方体，借助于正方体的特点，很容易找出异面直线所成的角14(2012河南商丘二模)一个四棱锥的底面是正方形，其顶点在底面的射影为正方形的中心已知该四棱锥的各顶点都在同一个球面上，且该四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积是_答案16解析由条件知，该四棱锥为正四棱锥，设底面边长为a，则a236，a，o1c，设球半径为r，则r3，r2，s球4r216.15已知在正方体abcdabcd中，m、n分别是ad、ab的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面amn平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由分析假设存在经过b点与平面amn平行的平面，则平面abcd与这两平行平面的交线应平行，由于m、n分别为ad、ab的中点，取cd的中点f，bc的中点e，则mnef，可证明平面bdfe平面amn，过其他点的截面同理可分析找出解析存在与平面amn平行的平面有以下三种情况(e、f分别为所在棱的中点)：下面以图(1)为例进行证明四边形abem是平行四边形，beam，又be平面bde，am平面bde，am平面bdfe.mn是abd的中位线，mnbd，四边形bddb是平行四边形，bdbd，mnbd，又bd平面bde，mn平面bde，mn平面bdfe，又am平面amn，mn平面amn，且ammnm，由平面与平面平行的判定定理可得，平面amn平面bdfe.16(文)如图，在四棱锥pabcd中，pd底面abcd，底面abcd为正方形，pddc，f是pb的中点求证：(1)dfap.(2)在线段ad上是否存在点g，使gf平面pbc？若存在，说明g点的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由证明(1)取ab的中点e，则paef.设pddca，易求得dea，fepaa，dfpba.由于de2ef2df2，故dfef，又efpa，dfpa.(2)在线段ad上存在点g，使gf平面pbc，且g点是ad的中点取ad的中点g，连接pg、bg，则pgbg.又f为ab的中点，故gfpb.f为pb中点，f点在底面abcd上的射影为正方形abcd的中心o，fo平面abcd，bc平面abcd，fobc.g为ad中点，o为正方形abcd中心，gobc，又gofo0，bc平面gof，gfbc.bc、pb是平面pbc内的两条相交直线，gf平面pbc.(理)如图所示，在长方体abcda1b1c1d1中，abad1，aa12，m是棱cc1的中点(1)求异面直线a1m和c1d1所成的角的正切值；(2)证明：平面abm平面a1b1m.解析方法1：(1)如图，因为c1d1b1a1，所以ma1b1为异面直线a1m与c1d1所成的角因为a1b1平面bcc1b1，所以a1b1m90，而a1b11，b1m，故tanma1b1.即异面直线a1m和c1d1所成的角的正切值为.(2)证明：由a1b1平面bcc1b1，bm平面平面bcc1b1，得a1b1bm由(1)知，b1m，又bm，b1b2，所以b1m2bm2b1b2，从而bmb1m又a1b1b1mb1，bm平面a1b1m，而bm平面abm，因此平面abm平面a1b1m.方法2：以a为原点，的方向分别作为x、y、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，a1(0,0,2)，b1(1,0,2)，c1(1,1,2)，d1(0,1,2)，m(1,1,1)(1)(1,1，1)，(1,0,0)，cos，.设异面直线a1m与c1d1所成角为，则cos，tan.即异面直线a1m和c1d1所成的角的正切值是.(2)证明：(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1，1)，0，0，即bma1b1，bmb1m，又b1ma1b1b1，bm平面a1b1m，而bm平面abm，因此abm平面a1b1m.1(2012山西联考)已知直线m、n与平面、，下列命题中正确的是()am，则mb平面内不共线三点到平面的距离相等，则cm，nm且，则ndm，n且，则mn答案d解析当m时，也可满足m，故错；当l，三点a、b、c位于l的两侧，abl，直线ab到l的距离与点c到l的距离相等时，满足a、b、c三点到平面的距离相等，故错；由面面垂直的性质知，c错，因为只有在满