高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课件 新人教A版选修22(1).ppt

2 3数学归纳法 主题数学归纳法1 有一串鞭炮相互连接在一起 点着第1个后 整串鞭炮便一个接着一个响了起来 直到最后一个 你知道为什么能响到最后一个 提示 因为这些鞭炮之间相互连接着 2 你认为多米诺骨牌游戏中骨牌链能够被成功推倒 靠的是什么条件 提示 多米诺骨牌所有的骨牌都倒下靠的是两个条件 1 第一块骨牌被推倒 2 任意相邻两块骨牌 前一块倒下一定导致后一块倒下 条件 2 给出了一个递推关系 条件 1 给出了骨牌倒下的基础 结论 1 数学归纳法原理 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取 值n0 n0 n 时命题成立 第一个 2 归纳递推 假设 k n0 k n 时命题成立 证明当 时命题也成立 只要完成这两步 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 n k n k 1 2 数学归纳法流程 n k 1 n0 n n0 微思考 1 数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1 提示 不一定 如证明n边形的内角和为 n 2 180 时 第一个值n0 3 2 在数学归纳法的定义中为何首先要验证初始值n0 提示 第一步验证n0是数学归纳法的奠基 是基础 只有当n n0时命题正确方可进行第二步 3 对第二步证明n k 1时为何必须应用n k时的假设 提示 不用n k时的假设就无法构建n k与n k 1时的关系 也就失去了它们之间的联系 从而这种证明也就不是数学归纳法 预习自测 1 用数学归纳法证明1 2 2n 1 n 1 2n 1 时 在验证n 1成立时 左边所得的代数式是 a 1b 1 3c 1 2 3d 1 2 3 4 解析 选c 当n 1时 2n 1 2 1 1 3 所以左边为1 2 3 故应选c 2 用数学归纳法证明 2n n2 1对于n n0的自然数n都成立 时 第一步证明中的起始值n0应取 a 2b 3c 5d 6 解析 选c 当n取1 2 3 4时 2n n2 1不成立 当n 5时 25 32 52 1 26 第一个能使2n n2 1的n值为5 3 用数学归纳法证明命题 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 在第二步时 正确的证明法是 a 假设n k k n 成立 证明n k 1命题成立b 假设n k k是正奇数 成立 证明n k 1命题成立c 假设n 2k 1 k n 成立 证明n k 1命题成立d 假设n k k是正奇数 成立 证明n k 2命题成立 解析 选d a c中 k 1不一定表示正奇数 b中 k 1为偶数 只有d中k为正奇数 k 2为正奇数 4 用数学归纳法证明 1 a a2 an 1 a 1 n n 在验证n 1成立时 左边计算所得的项是 解析 当n 1时 左边 1 a a1 1 1 a a2 答案 1 a a2 5 用数学归纳法证明 n n 时 类型一用数学归纳法证明等式 典例1 求证 解题指南 等式的左边共2n项 右边共n项 当n k时与当n k 1时相比左边增二项 右边增一项 而且左 右两边的首项不同 因此由 n k 到 n k 1 时要注意项的合并 方法总结 应用数学归纳法证明等式时应注意的三个问题 1 第一步的验证 对于有些问题验证的并不是n 1 有时需验证n 2 n 3 甚至需要验证n 10 2 n k 1时式子的项数 特别是寻找n k与n k 1的关系时 项数发生什么变化容易弄错 因此对n k与n k 1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障 3 假设n k k 1 k n 时命题成立 利用这一假设证明n k 1时命题成立 这是应用数学归纳法证明问题的核心环节 因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设 否则这样的证明就不再是数学归纳法了 另外在推导过程中要把步骤写完整 注意证明过程中的严谨性 规范性 易错提醒 运用数学归纳法时易犯的错误 1 对项数估算的错误 特别是寻找n k与n k 1的关系时 项数发生的变化被弄错 2 没有利用归纳假设 归纳假设是必须要用的 假设是起桥梁作用的 桥梁断了就通不过去了 3 关键步骤含糊不清 假设n k时结论成立 利用此假设证明n k 1时结论也成立 是数学归纳法的关键一步 也是证明问题最重要的环节 推导的过程要把步骤写完整 注意证明过程的严谨性 规范性 巩固训练 求证 对任何正整数n 类型二用数学归纳法证明不等式 典例2 已知n n n 2 求证 解题指南 先求出当n 3时等式左右两边的值 验证不等式成立 然后作出假设 当n k时不等式成立 接着令n k 1 将假设得到的结论与不等式的左边比较 可将所证不等式进行化简 延伸探究 1 将本例中所要证明的不等式改为 n 2 n n 如何证明 证明 1 当n 2时 不等式成立 2 将本例中所要证明的不等式改为 n 2 n n 如何证明 方法总结 用数学归纳法证明不等式的有关技巧 1 应用归纳假设 证明不等式的第二步中 从n k到n k 1的推导过程中要应用归纳假设 有时需要对目标进行适当的放缩来实现 2 证明方法 在应用归纳假设证明时 在证明过程中 方向不明确时 可采用分析法完成 经过分析找到推证的方向后 再用综合法 比较法等其他方法证明 补偿训练 1 用数学归纳法证明 类型三用数学归纳法证明整除问题 典例3 用数学归纳法证明32n 2 8n 9 n n 能被64整除 解题指南 第一步验证当n 1时结论成立 第二步假设n k k 1 k n 时等式成立 当n k 1时 凑出n k时的式子再证明结论成立 证明 1 当n 1时 32 1 2 8 1 9 64 能被64整除 所以n 1时命题成立 2 假设当n k k 1 k n 时命题成立 即32k 2 8k 9能被64整除 则当n k 1时 32 k 1 2 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 64 k 1 能被64整除 所以n k 1时命题也成立 由 1 2 可知对一切正整数n 32n 2 8n 9能被64整除 方法总结 用数学归纳法证明整除问题时 p k p k 1 的整式变形是个难点 找出它们之间的差异 从而决定n k时 p k 做何种变形 一般地 将n k 1时p k 1 的整式进行分拆凑成p k 的形式 再利用归纳假设和基本事实证明 这个变形是难点 巩固训练 用数学归纳法证明 x2n 1 y2n 1能被x y整除 n n 证明 当n 1时 x2n 1 y2n 1 x y 能被x y整除 假设当n k k 1 k n 时 命题成立 即x2k 1 y2k 1能被x y整除 那么 当n k 1时 由于x2 k 1 1 y2 k 1 1 x2 x2k 1 y2 y2k 1 x2x2k 1 x2y2k 1 x2y2k 1 y2y2k 1 x2 x2k 1 y2k 1 x y x y y2k 1 而根据归纳假设 x2k 1 y2k 1能被x y整除 又 x y x y y2k 1也能被x y整除 故上式能被x y整除 即当n k 1时命题也成立 故命题对一切n n 都成立 课堂小结 1 知识总结 2 方法总结 1 数学归纳法两个步骤的联系第一步是验证命题递推的基础 第二步是论证命题递推的依据 这两个步骤缺一不可 只完成第一步而缺少第二步就作出判断 可能得出不正确的结论 因为单靠第一步 无法递推下去 即n取n0以后的数时命题是否正确 我们无法判定 同样只有第二步而缺少第