非齐次线性微分方程的几种解法.doc

摘要 我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法 关键词 关键词 线性相关 通解 特解 朗斯基行列式 拉普拉斯变换 线性无关 目 录 摘要摘要 1 引言引言 3 1 1 n阶线性齐次微分方程的一般理论阶线性齐次微分方程的一般理论 3 2 2 n阶线性非齐次微分方程的一般理论阶线性非齐次微分方程的一般理论 6 2 1 常数变易法 7 2 2 待定系数法 9 2 1 1 第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 9 2 2 2 第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 12 2 3 拉普拉斯变换法 13 总结总结 15 参考文选参考文选 16 致致 谢谢 17 引言 非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一 非齐次线性微分方 程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之 和 这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解 下面我们主要介绍求特解 的方法 1 阶线性齐次微分方程的一般理论 n 1 11 nn nn ya x yax yax yf x 1 1 11 0 nn nn ya x yax yax y 2 定理定理 1 1 设方程 2 有个线性无关的解 这个线性无关的解称为方程nn 的基本解组 定理定理 2 2 方程 2 的基本解组一定存在 方程 2 的基本解组的个数不 能超过个 n 定理定理 3 3 阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它n 本身的一个特解之和 定理定理 4 4 齐次方程 2 的个解在其定义区间上线性无关的n 12 n yyy I 充要条件是在上存在点 使得它们的朗斯基行列式 I 0 x 0 0W x 目前为止没有求方程 2 线性无关解的一般方法 下面我们研究几个例子 例 例 方程的两个解是 2 1220 x yxyy 12 1 ln1 21 xx yxy x 它的通解为 12 1 ln1 21 xx yC xC x 定理定理 5 5 设是方程 2 的任意个解 是它的朗斯基行 12 n yyy n W x 列式 则对区间上的任一有 3 上述关系式称为刘维刘维I 0 x 1 0 0 x x p t dt W xW x e 尔尔 Liouvlle 公式 我们手上有了这个定理 以后如果我们有二阶线性齐次微分方程的一个特 解 我们求了它的另一个解 对于二阶齐次线性方程 0yp x yq x y 如果已知它的一个非零特解 依刘维尔公式 3 可用积分的方法求出 1 y 与线性无关的另一个特解 从而可求出它的通解 1 y 设是已知二阶齐次方程一个解 根据公式 3 有y 1 1 p x dsyy Ce yy 或 11 p x dx y yyyCe 为了积分上面这个一阶线性方程 用乘上式两端 整理后可得 2 1 1 y 2 11 p x dxdyC e dxyy 由此可得 1 2 11 p x dx yCe dxC yy 易见 是已知方程的一个解 即 1 2 1 1p x dx yyedx y 1 0 1CC 所对应的解 此外 由于 1 1 0 p x dxyy Ce yy 所以 所求得的解是线性无罐解 从而 可得已知方程的通解 1 y 1121 2 1 1p x dx yC yC ye y 4 其中和是任意常数 1 CC 例例 2 2 方程的一个解是 试求其通解 1 0 xyxyy 1 yx 解 解 容易看出 已知方程有特解 1 1 x yx p x x 根据公式 4 立刻可求得通解 1121 2 1 1p x dx yC yC yedy y 1 12 2 1 x dx x yC xC xedx x 1 12 2 1 dx dx x yC xC xedx x ln 1 12 2 1 xx C xC xeedx x 12 2 1 x x C xC xe dx x 122 2 1 x x e C xC xdxC xe dx xx 122 1 x x e C xC xdxC x e d xx 122 11 x xx e C xC xdxC xee dx xxx 1222 xx x ee C xC xdxC eC xdx xx 12 x C xC e 通解为 12 x yC xC e 在这里我们不讨论三阶 四阶 阶变系数线性非齐次微分方程 n 根据定理 3 我们的关键的要求试求线性非齐次微分方程的一个特解和对 应齐次方程的一个基本解组的问题了 2 阶线性非齐次微分方程的一般理论 n 定理定理 6 6 阶线性非齐次方程 1 的通解等于它的对应齐次方程的通解与它n 本身的一个特解之和 求对应齐次方程的通解的方法我们不能加强讨论 我们 加强讨论的是它本身的一个特解 求特解的方法有下面的三种 1 常数变易法 2 待定系数法 3 拉普拉斯法 下面我们介绍一下常数变易法 2 12 1 常数变易法常数变易法 设为方程 2 的基本解组 12 n x tx tx t 则方程 2 的通解为 1 122 nn y tC x tC x tC x t 现在设一组函数 12 n C x CxCx 使 1122 nn y tC t x tC t x tC t x t 为 1 的一个特解 式中 是待定系数 i C t 1 2 in 满足以下代数方程组 1 2 i C tin 1122 1122 222 1122 111 1122 0 0 0 nn nn nnn nn nnn nn Ct x tCt x tCt x t Ct xtCt xtCt xt Ct xtCt xtCt xt Ct xtCt xtCt xtf t 这个方程组的系数行列式是基本解组的朗斯基行列式 1 2 i x tin 所以由以上方程组唯一确定 通过求积分可得求 1 2 i C tin 的表达式 这种求解线性非齐次方程解的方法称为常数变易 1 2 i C tin 法 ii C xx ii C xx dx 例 例 求非齐次方程的通解 1 cos yy x 解 解 知道对应齐次方程的基本解组 1 cosyx 2 sinyx 对应齐次方程的通解为 12 cossinycxcx 设方程的特解为 12 cos sinyc xxc xx 由关系式 5 满足方程组 12 C xCx 12 12 cos sin0 1 sin cos cos CxxCxx CxxCxx x 解上述方程组 得 1 sin cos x Cx xa 2 1Cx 积分 1 ln cosC xx 2 Cxx cos ln cossinyxxxx 通解为 12 cossincos ln cossinyCxCxxxxx 常数变易法是求非齐次线性微分方程特解的一般方法 但计算比较麻烦 例 例 求方程的解 2 1 x yyex 解 解 知道对应齐次方程基本解组是 1 x ye 2 x ye 对应齐次方程的通解为 12 xx yC eC e 设方程的特解为 12 xx yC x eCx e 由关系式 5 1 Cx 2 Cx 满足方程组 12 2 12 0 1 xx xxx Cx eCx e Cx eCx eex 解上述方程组 得 2 xx xx ee ee 2 2 1 2 22 2 0 1 1 1 22 0 1 1 1 22 x xx x xx x e exe Cxx e eex Cxex 求求 比较麻烦 12 C xCx 所以下面我们介绍一下待定系数法 其计算较为简便 但是主要使用于非 齐次项的某些情形 2 22 2 待定系数法待定系数法 这里 我们考虑如下几种类型的非齐次项 1 2 cos sin x m x mm f xpx e f xepxxpxx 其中 是多项式 是常数 首先求对应齐次微分方程 1 2 mmm pxpxpx 的特征根 求特征根的方法我们不能加强讨论 2 1 1 第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 现在 考虑时 非齐次方程 1 的特解的求法 x m f xpx e 先从最简单的二阶方程 6 x ypyqye 开始 因为经过求任意阶导数再与常数线性组合后 仍是原类型函数 所以 x e 自然猜想到 6 有形如 x yAe 7 的特解 其中为待定常数 将 7 代入 6 得到A 2xx Apq ee 则 2 1 A pq 8 这样 当不是特征方程 2 0pq 9 的根时 则用 8 所确定的代入 7 便得到 6 的特解 A 当是 9 的单根时 即 这时 8 无法确定 此时 2 0pq A 可设特解为 x yAxe 10 并将它作为形式解代入 6 式 得 2 2 xxx Apq xeAp ee 因是当特征根 故可解出 1 11 2 A p 这时 6 便有形如 10 的特解 其中由 11 确定 A 如果是 9 的重根 则 这时 10 的形式已不可用 此时 可 2 p 设特解为 2x yAx e 将它作为形式解 代入得到 6 22 222 xxxx Apq x eAp xeAee 由于是二重根 故上式左端前两个括号内的数为零 由此得到 1 2 A 综上所述 可以得到如下结论 设是次实或复系数的多项式 m pxm 1 011 1 xxmm mmm f xepxep xp xpxpm 1 当不是特征根时 10 有形如 的特解 其中 1 x m y xQx e 1 011 mm mmm Qxq xq xqxq 2 当是重特征根时 1 有形如 的特解 1k 1 kx m y xx Qx e 其中也是形如上述的次多项式 m Qxm 上面考虑常数变易法不能解决的问题 下面讨论用待定系数法来解决 例 例 求方程 2 1 x yyex 解 解 先求齐次通解 特征方程为 特征根为 故 2 10 12 1 1 齐次方程的通解为由于是特征根 故已知方程有形如 12 xx yC eC e 1 的解 将它代入原方程 得到 2 012 x ye x B xB xB 322 001122 32 xxxxxx yB e xB e xBe xBe xB e xB e 3222 0000111122 336222 xxxxxxxxxx yB e xB e xB e xB e xBe xBe xBe xBeB xeB e 所以代入原方程得 012 111 642 BBB 12 xxx yC eC ee 2 12 111 642 xxx yC eC ee xxx 2 2 2 第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 cos sin x f xep xxxx 时非齐次微分方程 1 的特解的求法 其中中有一个是次多项式 另外一个是次数不超过次的多项式 p xx mm 1 1 cos sin nnx n ya ya yep xxxx cossin cossin 22 ixxixx ixix ixix ss eexixeexx p xixp xix f xee R x eT x e 其中 是次多项式 ss R x T xm 1 不是特征根 有特解 i cos sin x yep xxxx 2 是重特征根时 有特解 i 1k cos sin kx yx ep xxxx 其中 都均是次多项式 p xx m 例 例 求方程的通解 2cos7sin x yyyexx 解 解 先求解对应的齐次方程 20yyy 我们有 得 2 20 12 1 2 2 12 xx yC eC e 因为数 不是特征根 故原方程具有形如1ii 的特解 1 cossin x yeAxBx 将上式代入原故方程 由于 1 cossin x yeAxBx 1 cossin x yeABxBAx 1 2 cos2 sin x yeBxAx 故代入原方程 可得 2 1AB 2cossin x yexx 2 12 2cossin xxx YexxC eC e 我们已经介绍了阶常系数线性方程n 12 1 11 nn nn ya yaya yf x 的通解结构和求解方法 但是在世界问题中往往还要求 12 初值条件 13 11 000000 nn y xyy xyyxy 的解 为此 当然可以先求 12 的通解 然后再由初值条件 13 来确定其 中的任意常数 下面我们介绍一下另外一种求解初值问题的方法 几拉普拉斯变换法 因 为他无需要先求出已知方程的通解 而是直接求出它的特解来 因而在运算上 得到很大简化 2 32 3 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法 求常系数线性非齐次微分方程的特解 求方程 1 满足 2 的特解 其中 i a 12 in 解法步骤 令首先给方程 1 的两端施行拉普拉斯变换 然后 y tX s 利用拉普拉斯变换原函数的微分性质及初始条件 将方程整理为以下形式 F sB s Y s A s 其中 1 1 111231 101200 nn nnn nnnnnn n f tF sA ssa sasa B ssa saysa sayy 最后对施行拉普拉斯逆变换则得到方程满足给定初始条件的 F sB s Y s A s 特解为 11 F sB s Y tY s A s 例 例 2 sinxa xbat 00 0 0 xx xx 解 解 2 00 22 ab s x ssxxax s sa 00 222222 1 abs x sxx sasasa 右边的第一个项分解为部分分式 22 22222222 1 2 abbsa saa sasa 22 00 222222222 11 2 basasa x sxx a saasasaa sa 作逆变换L 0 0 2 sincos cossin 2 xb x tatatatxatat aa 总结总结 本论文中利用实际问题研究了常微分方程中的非齐次线形微分方程的解的 问题 并