中考数学 压轴题一元二次方程精选解析（一）.doc

2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一)例1已知abc的两边ab、ac的长是关于x的一元二次方程x 2( 2k3 )xk 23k20的两个实数根，第三边长为5（1）当k为何值时，abc是以bc为斜边的直角三角形；（2）当k为何值时，abc是等腰三角形，并求abc的周长解析：（1）ab、ac方程x 2( 2k3 )xk 23k20的两个实数根abac2k3，aback 23k2abc是以bc为斜边的直角三角形，且bc5ab 2ac 2bc 2，( abac )2abac25即(2k3)22( k 23k2 )25k 23k100，k15，k,22当k5时，方程为x 27x120，解得x13，x24（均不合题意，舍去）当k2时，方程为x 27x120，解得x13，x24当k2时，abc是以bc为斜边的直角三角形（2）若abc是等腰三角形，则有abac；abbc；acbc三种情况( 2k3 )24( k 23k2 )10abac，故第种情况不成立当abbc或acbc时，5是方程x 2( 2k3 )xk 23k20的根5 25( 2k3 )k 23k20即k 27k120，解得k13，k24当k3时，方程为x 29x200，解得x14，x25此时abc的三边长分别为5、5、4，周长为14当k4时，方程为x 211x300，解得x15，x26此时abc的三边长分别为5、5、6，周长为16例2已知abc的三边长为a、b、c，关于x的方程x 22( ab )xc 22ab0有两个相等的实数根，又sina、sinb是关于x的方程( m5 )x 2( 2m5 )xm80的两个实数根（1）求m的值；（2）若abc的外接圆面积为25，求abc的内接正方形的边长解析：（1）关于x的方程x 22( ab )xc 22ab0有两个相等的实数根4( ab )24( c 22ab )0，即a 2b 2c 2abc是直角三角形sina、sinb是关于x的方程( m5 )x 2( 2m5 )xm80的两个实数根sinasinb ，sinasinb 在rtabc中，sin2asin2bsin2acos2a1( sinasinb )22sinasinb1即( )22 1m 224m800，解得m14，m220当m4时，方程为9x 23x40，解得x1 ，x2 0在rtabc中，sina0，sinb0m4不合题意，舍去当m20时，方程为25x 235x120，解得x1 ，x2 ，符合题意abcttm20（2）abc的外接圆面积为25外接圆半径为5，c10由（1）知，sina 或sina abc的两条直角边长分别为6，8abcttt设abc的内接正方形的边长为t若正方形的两边在abc的两直角边上，则 解得t 若正方形的一条边在abc的斜边上，易得斜边上的高为 ，则 解得t 例3已知关于x的方程x 2( mn1)xm0（n0）的两个实数根为、，且（1）试用含有、的代数式表示m和n；（2）求证：1；（3）若点p（，）在abc的三条边上运动，且abc顶点的坐标分别为a（1，2），b（ ，1），c（1，1），问是否存在点p，使mn ？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）解：、为方程x 2( mn1)xm0（n0）的两个实数根( mn1)24m( mn1)24n0，且mn1，mm，nm11 2分（2）证明：( 1 )( 1 )1( )n0（n0），又1 4分（3）解：要使mn 成立，只需mn1 当点p（，）在bc边上运动时由b（ ，1），c（1，1），得 1，1而 1 1在bc边上不存在满足条件的点 6分当点p（，）在ac边上运动时由a（1，2），c（1，1），得1，12此时 1 ，又1 2在ac边上存在满足条件的点，其坐标为（1，）8分当点p（，）在ab边上运动时由a（1，2），b（ ，1），得 1，12由对应线段成比例得 ，2由