2015年高考试题数学理（湖南卷）解析版.doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.已知（为虚数单位），则复数=（ ）A. B. C. D.【答案】D.2.设A,B是两个集合，则”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，反之，故为充要条件，选C.考点：集合的关系.3.执行如图1所示的程序框图，如果输入，则输出的( )A. B. C. D.【答案】B.考点：1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.4.若变量满足约束条件，则的最小值为（ ）A.-7 B.-1 C.1 D.2【答案】A.【解析】试题分析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当，时，的最小值是，故选A.考点：线性规划.5.设函数，则是（ ）A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数【答案】A.考点：函数的性质.6.已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ）A. B. C.6 D-6【答案】D.【解析】试题分析：，令，可得，故选D.考点：二项式定理.7.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.2386 B.2718 C.3413 D.4772【答案】C.【解析】试题分析：根据正态分布的性质，故选C.考点：正态分布.8.已知点A,B,C在圆上运动，且.若点P的坐标为（2,0），则的最大值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B.考点：1.圆的性质；2.平面向量数量积.9.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ）A. B. C. D.【答案】D.【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到，又，不妨，又，故选D.考点：三角函数的图象和性质.10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）A. B. C. D.【答案】A.【解析】考点：1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. .【答案】.【解析】试题分析：.考点：定积分的计算.12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是 .【答案】.【解析】试题分析：由茎叶图可知，在区间的人数为，再由系统抽样的性质可知人数为人.考点：1.系统抽样；2.茎叶图.13. 设F是双曲线C：的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 .【答案】.【解析】试题分析：根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，.考点：双曲线的标准方程及其性质.14. 设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 .【答案】.【解析】试题分析：，成等差数列，又等比数列，.考点：等差数列与等比数列的性质.15. 已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围 是 .【答案】.考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.三、解答题16.()如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB、CD的中点分别是M、N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）；（2）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）首先根据垂径定理可得OME=， ENO=，再由四边形的内角和即可得证；（2）由（1）中的结论可得O,M,E,N四点共圆，再由割线定理即得试题解析：（1）如图a所示， 因为M，N分别是弦AB,CD的中点，所以OMAB,ONCD,即OME=， ENO=，OME+ENO =，又四边形的内角和等于，故MEN+NOM=；（2）由（I）知，O,M,E,N四点共圆，故由割线定理即得考点：1.垂径定理；2.四点共圆；3.割线定理.（）已知直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点M的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为A，B，求的值.【答案】（1）；（2）.考点：1.极坐标与直角坐标的互相转化；2.直线与圆的位置关系.（）设，且.（1）；（2）与不可能同时成立.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）将已知条件中的式子可等价变形为，再由基本不等式即可得证；（2）利用反证法，假设假设与同时成立，可求得，从而与矛盾，即可得证试题解析：由，得，（1）由基本不等式及，有，即；（2）假设与同时成立，则由及得，同理，从而，这与矛盾，故与不可能成立.考点：1.基本不等式；2.一元二次不等式；3.反证法.17.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B为钝角(1)证明：（2）求的取值范围【答案】（1）详见解析；（2）（，.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为inB=sin（+A），从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将转化为只与有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解.试题解析：（1）由a=btanA及正弦定理，得,所以sinB=cosA，即sinB=sin（+A）.又B为钝角，因此+A（，A），故B=+A，即B-A=；（2）由（I）知，C=-（A+B）=-(2A+)=-2A0，所以A，于是sinA+sinC=sinA+sin（-2A）= sinA+cos2A=-2A+sinA+1 =-2（sinA-）+，因为0A,所以0sinA,因此-2由此可知sinA+sinC的取值范围是（，.考点：1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）记事件=从甲箱中摸出的1个球是红球，=从乙箱中摸出的1个球是红球 = 顾客抽奖1次获一等奖=顾客抽奖1次获二等奖，C=顾客抽奖1次能获奖，则可知与相互独立，与互斥，与互斥，且=，=+，C=+，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知XB（3，），分别求得P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，即可知的概率分布及其期望.试题解析：（1）记事件=从甲箱中摸出的1个球是红球，=从乙箱中摸出的1个球是红球 = 顾客抽奖1次获一等奖=顾客抽奖1次获二等奖，C=顾客抽奖1次能获奖.由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且=，=+，C=+.因P（）=，P()=，所以P（）=P()=P()P()=，P（）=P（+）=P（）+P（）=P（）(1- P()+(1- P（）)P() =(1-)+(1-)=，故所求概率为P(C)= P(+)=P（）+ P（）=+=.；（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（I）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以XB（3，）.于是 P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=故X的分布列为X0123PX的数学期望为 E（X）=3=.考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.19.如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，且底面ABCD，点P、Q分别在棱、BC上.（1）若P是的中点，证明：；（2）若PQ/平面，二面角P-QD-A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）若P是的中点，则P（0,，3），=(3,0 ,6)，于是=18-18=0，所以，即；（2）由题设知，=(6，m-6,0),=(0,-3,6)是平面PQD内的两个不共线向量.设=（x，y，z）是平面PQD的一个法向量，则，即，取y=6，得=（6-m，6,3）.又平面AQD的一个法向量是=（0，0，1），所以 cos=而二面角P-QD-A的余弦值为，因由题设知，BCAB,BC,所以BC平面,因此BC因为tan=tan,所以tan=tan，因此=，于是BR，再由即知平面PRBC，又PQ平面PRBC，故PQ.（2）如图d，过点P作PM/交AD于点M，则PM/平面.因为平面ABCD，所以OM平面ABCD,过点M作MNQD于点N，连结PN，则PNQD，为二面角P-QD-A的平面角，所以cos=，即=,从而. 连结MQ，由PQ/平面，所以MQ/AB，又ABCD是正方形，所以ABQM为矩形，故MQ=AB=6.设MD=t，则 MN=.过点作交AD于点E，则为矩形，所以=6，AE=3，因此ED=AD-AE=3，于是,所以PM=2MD=2t，再由得=，解得t=2，因此PM=4.故四面体ADPQ的体积 .考点：1.空间向量的运用；2.线面垂直的性质；3.空间几何体体积计算.20.已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.（1）求的方程；（2）过点F的直线与相交于A、B两点，与相交于C、D两点，且与同向（）若，求直线的斜率（）设在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线绕点F旋转时，总是钝角三角形【答案】（1）；（2）（i），（ii）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据已知条件可求得的焦点坐标为，再利用公共弦长为即可求解；（2）（i）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1.由得+16kx-64=0，根据条件可知=，从而可以建立关于的方程，即可求解；（ii）根据条件可说明=-=+10，因此是锐角，从而是钝角，即可得证试题解析：（1）由:知其焦点F的坐标为（0,1），因为F也是椭圆的一焦点，所以 又与的公共弦的长为2，与都关于y轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为（），所以 ，联立，得=9，=8，故的方程为 ；（2）如图，设A（）B（）C（）D（）.（i）因与同向，且|AC|=|BD|,所以=，从而=，即=，于是-4= -4设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1.由得+16kx-64=0.而，是这个方程的两根.所以=4k，=-4 ，由得（9+8）+16kx-64=0.而，是这个方程的两根.所以 =-，=-，将带入 ，得16（+1）=+,即16（+1）=，所以=，解得k=，即直线l的斜率为.（ii）由得=，所以在点A处的切线方程为y-=（x-），即 y=-.令y=0得x=，即M（,0）,所以=(,-1).而=().于是=-=+10，因此是锐角，从而是钝角.故直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.21.已知，函数