高考数学 321精品系列 专题03 数列 文.doc

1 20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 0303 数列数列 文文 教师版 教师版 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20122012 考纲解读考纲解读 考纲原文 考纲解读 数列难度降底 得分率提高 但要全对还得加大基本功训练 选择填空题重点考查等差 比 数列的性质 解答题中重点考查通项公式 求和 重视求和中的错位相减法 裂项 相消求和等 递推数列不要研究太深 只掌握基本的就行 近几年考点分布数列是高中代数的重要内容之一 由于它既具有函数特征 又能构成独 特的递推关系 使得它既与中学数学其他部分知识如 函数 方程 不等式 解析几何 二项式定理等有较紧密的联系 又有自己鲜明的特征 因此它是历年高考考查的重点 热 点和难点 在高考中占有极其重要的地位 试题往往综合性强 难度大 承载着考查学生数 学思维能力和分析 建模 解决问题的能力以及函数与方程的思想 转化与化归的思想 分类讨论的思想 通过对 2012 年高考试题的研究 本专题在高考试题中占有较大比重 分 值约占总分的 12 大多为一道选择题或填空题 一道解答题 试题注重基础 着重考查等 差 等比数列的通项公式 前 n 项和公式 数学归纳法及应用问题 选择题和填空题 突 出 小 巧 活 的特点 而解答题大多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题 考点考点 pk pk 名师考点透析名师考点透析 考点一考点一 等差 等比数列的概念与性质等差 等比数列的概念与性质 例 1 已知 n a为等比数列 且 3647 36 18 aaaa 1 若 1 2 n a 求n 2 设数列 n a的前n项和为 n s 求 8 s 2 名师点睛名师点睛 关于等差 等比数列的问题 首先应抓住a1 d q 通过列方程组来 解 此方法具有极大的普遍性 需用心掌握 但有时运算繁杂 要注意计算的正确性 若 能恰当地运用性质 可减少运算量 例 2 设 a1 d 为实数 首项为 a1 公差为 d 的等差数列 an 的前 n 项和为 sn 满足 56 s s 15 0 若 5 s 5 求 6 s及 a1 求 d 的取值范围 名师点睛名师点睛 在解决等差数列或等比数列的相关问题时 基本量法 是常用的方法 但 有时灵活地运用性质 可使运算简便 而一般数列的问题常转化为等差 等比数列求解 考点二考点二 求数列的通项与求和求数列的通项与求和 例 3 已知数列 n a满足且0 1 a 1 2 1 2 1 nnnnss nn 1 求 23 a a 并证明 1 2 nn aan nn 2 设 1 nnaab nnn 求证 12 1 nn bb 3 求数列 nnan 的通项公式 解 1 由已知12 12 ss 即1 12 2121 aaaa 3 3 由 2 1 21 1 nn bb而211 121 aab 1 n b是以 2 为首项 2 为公比的等比数列 nn n b2221 1 12 n n b即12 1 n nn aa 而naa nn 2 1 有 122 n nn ana 12nnna n n 名师点睛名师点睛 一般地 含有 n s的递推关系式 一般利用 1 1 1 2 n nn sn a ssn 化 和 为 项 例 4 在数列 n a 中 3 1 1 a 并且对任意2 nnn都有 nnnn aaaa 11 成立 令 1 nn a b n n 求数列 n b 的通项公式 求数列 n an 的前 n 项 和 n t 解 1 当 n 1 时 3 1 1 1 a b 当2 n时 由 nnnn aaaa 11 得 1 11 1 nn aa 所 以1 1 nn bb 所以数列 n b是首项为 3 公差为 1 的等差数列 所以数列 n b的通项公式为 2 nbn 2 11 11 2 22 n a nn nnn 11111111 1 23243511 n t nn 4 11 2nn 2 2 1 3113534 1 2 2 2124 32 44 1 2 nnn nnnnnn 名师点睛名师点睛 裂项相消法 主要用于通项为分式的形式 通项拆成两项之差求和 正负 项相消剩下首尾若干项 注意一般情况下剩下正负项个数相同 考点三考点三 数列与不等式 函数等知识的联系数列与不等式 函数等知识的联系 例例 5 5 已知数列 n a是等差数列 nnaac nnn 2 1 2 1 判断数列 n c是否是等 差数列 并说明理由 2 如果 为常数kkaaaaaa13143 130 26422531 试写出数列 n c的通 项公式 3 在 2 的条件下 若数列 n c得前 n 项和为 n s 问是否存在这样的实数k 使 n s当且仅当12 n时取得最大值 若存在 求出k的取值范围 若不存在 说明理由 3 因为当且仅当12n 时 n s最大 1213 0 0cc 有 即 22 222 24 1 25305018190 36 1 25305022210 kkkkk kkkkk 119 1921 211 kk kk kk 或 或 或 名师点睛名师点睛 解综合题的成败在于审清题目 弄懂来龙去脉 透过给定信息的表象 抓 住问题的本质 揭示问题的内在联系和隐含条件 明确解题方向 形成解题策略 例 6 已知数列 n a的首项 1 21aa a是常数 且1a 242 2 1 nnaa nn 2n 数列 n b的首项 1 ba 2 nab nn 2n 5 1 证明 n b从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列 2 设 n s为数列 n b的前 n 项 和 且 n s是等比数列 求实数a的值 3 当0 a时 求数列 n a的最小项 提示 当3 n时总有122 n n 解 1 2 nab nn 222 11 1 2 1 4 1 2 1 nnnanab nnn nn bna222 2 n 2 由 1 21aa 得 2 4aa 22 444baa 1a 2 0b 3 由 1 知当2n 时 2 44 2 1 2 nn n baa 所以 2 21 1 1 2 2 n n an a an n 1223 12 2 1 2 1 nnnaaan nn nn 有 nn aan 1 3时显然最小项是前三项中的一项 当 1 0 4 a 时 最小项为18 a 当 1 4 a 时 最小项为a4或18 a 当 1 1 4 2 a 时 最小项为a4 当 1 2 a 时 最小项 为a4或12 a 当 1 2 a 时 最小项为12 a 名师点睛名师点睛 对数列中的含 n 的式子 注意可以把式子中的 n 换为n1 或n1 得到 相关的式子 再进行化简变形处理 也可以把 n 取自然数中的具体的数 1 2 3 等 得 到一些等式归纳证明 例 7 已知数列 n a中 11 2 202 nn aaannnn 1 写出 23 aa 的值 只 6 写结果 并求出数列 n a的通项公式 2 设 1232 1111 n nnnn b aaaa 若对任 意的正整数n 当 1 1m 时 不等式 2 1 2 6 n tmtb 恒成立 求实数t的取值范围 解 1 11 2 202 nn aaannnn 23 6 12aa 2 分 111111 1223221nnnnnn 2 111 1 121231 2 3 n nnnn n n 令 1 21f xxx x 则 2 1 2fx x 当 1 0 xfx 时恒成立 f x在 1 x 上是增函数 故当1x 时 13f xf m i n 即当1n 时 1 6 n b m ax 要使对任意的正整数n 当 1 1m 时 不等式 2 1 2 6 n tmtb 恒成立 则须使 2 max 11 2 66 n tmtb 即 2 20 1 1tmtm 对恒成立 2 2 20 22 20 tt tt tt 解得 或 实数t的取值 范围为 22 另解 1 11111111 223121221231 nn bb nnnnnnnn 22 3334 0 252253 nn nnnn 数列 n a是单调递减数列 1 1 6 n bb m ax 名师点睛名师点睛 数列是一种特殊的函数 要注意其特殊性 1 若用导数研究数列的单 调性 最值等 要构造辅助函数 因为导数是对连续函数而定义的 2 辅助函数的单调性 与数列的单调性的联系与区别 7 例 8 已知数列 n a的前n项和为 n s 对一切正整数n 点 nn snp都在函数 xxxf2 2 的图像上 且过点 nn snp的切线的斜率为 n k 1 求数列 n a的通项 公式 2 若 n k n ab n 2 求数列 n b的前n项和 n t 3 设 2 nnaxxrnnkxxq nn 等差数列 n c的任一项rqcn 其中 1 c是rq 中的最小数 115110 10 c 求 n c的通项公式 123 43445447421 4nn n t 4 由 4 得 2341 443445447421 4nn n t 4 得 231 34 3424421 4 nn n n t 4 21 1 4 1 4 34221 4 14 n n n 4 2 6116 4 99 n n n t 3 22 42 qx xnnnrx xnnn qrr 又 n cqr 其中 1 c是rq 中的最小数 1 6c n c 是公差是 4 的倍数 10 46 cmmn 又 10 110115c 11046115m mn 解得 27 所以 10 114c 设等差数列的公差为d 则 101 1146 12 1019 cc d 6 1 12126 n cnn 所以 n c的通项公式为126 n cn 8 名师点睛名师点睛 一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 主要用错位 相减法求数列的和 例9 甲 乙两容器中分别盛有浓度为10 20 的某种溶液500ml 同时从甲 乙两个 容器中各取出100ml溶液 将其倒入对方的容器搅匀 这称为一次调和 记 1 10 a 1 20 b 经1 2 nn 次调 和后甲 乙两个容器的溶液浓度为 n a n b i 试用 1n a 1n b 表示 n a n b ii 求证 数列 n a n b 是等比数列 数列 n a n b 是 常数列 iii 求出数列 n a n b 的通项公式 解 1 11 11 40010041 50055 nn nnn ab aab 11 11 40010041 50055 nn nnn ba bba 2 两式 相减 11 3 5 nnnn abab 11 0ab 所以等比 两式相加 11nnnn abab 11 30 ab 所以常数列 3 1 3 10 5 n nn ab 11 33 5 15 5 15 55 nn nn ab 名师点睛名师点睛 数列在日常经济生活中广为应用 如增长率问题 银行存款利率问题 贷 款问题等 都是与等比数列有关 另外 有些实际问题 可转化为数列问题 注意是求项 还是求和 是解方程还是不等式问题 三年高考三年高考 1010 1111 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 20122012 年高考试题及解析年高考试题及解析 一 选择题 1 2012 年高考 四川文 设函数 3 3 1f xxx n a是公差不为 0 的等差数 列 127 14f af af a 则 721 aaa a 0b 7c 14d 21 2 2012 年高考 上海文 若 n s 2 777 sinsinsin n nn 则在 10021 sss 中 正数的 9 个数是 a 16 b 72 c 86 d 100 解析 令 7 则 n n 7 当 1 n 14 时 画出角序列n 终边如图 其终边两两关于x轴对称 故有 1221 sss 均为正数 而0 1413 ss 由周期性可知 当 14k 13 n 14k时 sn 0 而0 14114 kk ss 其中k 1 2 7 所以在 10021 sss 中有 14 个为 0 其余 都是正数 即正数共有 100 14 86 个 选 c 3 2012 年高考 辽宁文 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则a2 a10 a 12b 16c 20d 24 4 2012 年高考 课标文 数列 n a 满足 1 1 21 n nn aan 则 n a 的前 60 项和为 a 3690b 3660c 1845d 1830 解析 法 1 有题设知 21 aa 1 32 aa 3 43 aa 5 54 aa 7 65 aa 9 76 aa 11 87 aa 13 98 aa 15 109 aa 17 1110 aa 19 1211 21aa 得 13 aa 2 得 42 aa 8 同理可得 57 aa 2 68 aa 24 911 aa 2 1012 aa 40 13 aa 57 aa 911 aa 是各项均为 2 的常数列 24 aa 68 aa 1012 aa 是首 项为 8 公差为 16 的等差数列 n a 的前 60 项和为 1 15 2 15 816 15 14 2 1830 法 2 可证明 1414243444342424 1616 nnnnnnnnnn baaaaaaaab 10 1123415 15 14 1010 15161830 2 baaaas 5 2012 年高考 江西文 观察下列事实 x y 1 的不同整数解 x y 的个数为 4 x y 2 的不同整数解 x y 的个数为 8 x y 3 的不同整数解 x y 的个数为 12 则 x y 20 的不同整数解 x y 的个数为 a 76b 80c 86d 92 解析 本题主要为数列的应用题 观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先 为 4 公差为 4 的等差数列 则所求为第 20 项 可计算得结果 6 2012 年高考 湖北文 定义在 0 0 上的函数 f x 如果对于任意给 定的等比数列 nn af a仍是等比数列 则称 f x为 保等比数列函数 现有定 义在 0 0 上的如下函数 2 f xx 2xf x f xx ln f xx 则其中是 保等比数列函数 的 f x的序号为 a b c d 合条件 由 保等比数列函数 的定义知应选 c 点评 本题考查等比数列的新应用 函数的概念 对于创新性问题 首先要读懂题意 然后 再去利用定义求解 抓住实质是关键 来年需要注意数列的通项 等比中项的性质等 7 2012 年高考 福建文 数列 n a的通项公式cos 2 n n an 其前n项和为 n s 则 2012 s等于 a 1006b 2012 c 503d 0 解析 由cos 2 n n an 可得 2012 1 02 1 3 04 12012 1s 246201020122 5031006 考点定位 本题主要考察数列的项 前 n 项和 考查数列求和能力 此类问题关键是 并项求和 8 2012 年高考 大纲文 已知数列 n a的前n项和为 n s 1 1a 1 2 nn sa 则 n s 11 a 1 2n b 1 3 2 n c 1 2 3 n d 1 1 2n 解析 由 1 2 nn sa 可知 当1n 时得 21 11 22 as 当2n 时 有 1 2 nn sa 1 2 nn sa 9 2012 年高考 北京文 某棵果树前n年得总产量 n s与n之间的关系如图所示 从目前记录的结果看 前m年的年平均产量最高 m的值为 a 5b 7 c 9d 11 解析 由图可知 6 7 8 9 这几年增长最快 超过平均值 所 以应该加入 因此选 c 考点定位 本小题知识点考查很灵活 要根据图像识别 看出变化趋势 判断变化速度可以用导数来解 当然此题若 利用数学估计过于复杂 最好从感觉出发 由于目的是使平 均产量最高 就需要随着n的增大 n s变化超过平均值的加 入 随着n增大 n s变化不足平均值 故舍去 10 2012 年高考 北京文 已知 n a为等比数列 下面结论中正确的是 a 132 2aaa b 222 132 2aaa c 若 13 aa 则 12 aa d 若 31 aa 则 42 aa 解析 当 1 0 0aq 时 可知 132 0 0 0aaa 所以 a 选项错误 当1q 时 c 选项错误 当0q 时 323142 aaa qa qaa 与 d 选项矛盾 因此根据均值 定理可知 b 选项正确 12 考点定位 本小题主要考查的是等比数列的基本概念 其中还涉及了均值不等式的知 识 如果对于等比数列的基本概念 公比的符号问题 理解不清 也容易错选 当然最好选 择题用排除法来做 11 2012 年高考 安徽文 公比为 2 的等比数列 n a 的各项都是正数 且 3 a 11 a 16 则 5 a a 1b 2c d 解析 22 3117755 1616421a aaaaa 选a 二 填空题 12 2012 年高考 重庆文 首项为 1 公比为 2 的等比数列的前 4 项和 4 s 解析 4 4 1 2 15 1 2 s 考点定位 本题考查等比数列的前 n 项和公式 13 2012 年高考 上海文 已知 x xf 1 1 各项均为正数的数列 n a满足1 1 a 2nn afa 若 20122010 aa 则 1120 aa 的值是 14 2012 年高考 辽宁文 已知等比数列 an 为递增数列 若 a1 0 且 2 a n a n 2 5a n 1 则数列 an 的公比 q 解析 22 21 1 2 5 2 1 5 2 1 5 2 2 nnnnn aaaaqa qqqqq 解得或 因为数列为递增数列 且 1 0 1 2aqq 所以 点评 本题主要考查等比数列的通项公式 转化思想和逻辑推理能力 属于中档题 15 2012 年高考 课标文 等比数列 n a 的前n项和为 sn 若 s3 3s2 0 则公比 13 q 解析 当q 1 时 3 s 1 3a 2 s 1 2a 由 s3 3s2 0得 1 9a 0 1 a 0 与 n a 是等比 数列矛盾 故q 1 由 s3 3s2 0得 32 11 1 3 1 0 11 aqaq qq 解得q 2 16 2012 年高考 江西文 等比数列 n a的前n项和为 n s 公比不为 1 若 1 1a 且 对任意的 nn 都有 21 20 nnn aaa 则 5 s 17 2012 年高考 湖南文 对于nn 将n表示为 110 110 2222 kk kk naaaa 当ik 时1 i a 当01ik 时 i a为 0 或 1 定义 n b如下 在n的上述表示中 当 01 a a 2 k a a中等于 1 的个数为奇数时 1 n b 否则0 n b 1 2468 bbbb 2 记 m c为数列 n b中第m个为 0 的项与第1m 个为 0 的项之间的项数 则 m c的最大值是 解析 1 观察知 0 001 12 1 1aab 10 102 21 20 2 1 0 1aab 一次类推 10 3 31 21 2 0b 210 4 41 20 20 2 1b 210 5 51 20 21 2 0b 210 61 21 20 2 6 0b 78 1 1bb b2 b4 b6 b8 3 2 由 1 知cm的最大值为 2 点评 本题考查在新环境下的创新意识 考查运算能力 考查创造性解决问题的能力 需要在学习中培养自己动脑的习惯 才可顺利解决此类问题 mainmain documentdocument only only 2012 年高考 湖北文 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经 常在沙滩上面画点或用小石子表示数 他们研究过如图所示的三角形数 将三角形数 1 3 6 10 记为数列 n a 将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组 10631 14 成一个新数列 n b 可以推测 2012 b是数列 n a中的第 项 21k b 用k表示 解析 由以上规律可知三角形数 1 3 6 10 的一个通项公式为 1 2 n n n a 写出其 若干项有 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 110 发现其中能被 5 整除的为 10 15 45 55 105 110 故 142539410514615 ba ba ba bababa 从而由上述 规律可猜想 25 5 51 2 kk kk ba k为正整数 2151 51 51 1 5 51 22 kk kkkk ba 故 20122 10065 10065030 baaa 即 2012 b是数列 n a中的第 5030 项 点评 本题考查归纳推理 猜想的能力 归纳推理题型重在猜想 不一定要证明 但猜 想需要有一定的经验与能力 不能凭空猜想 来年需注意类比推理以及创新性问题的考 查 18 2012 年高考 广东文 数列 若等比数列 n a满足 24 1 2 a a 则 2 135 a a a 解析 1 4 2 243 1 2 a aa 所以 2 24 1353 11 24 a a aa 19 2012 年高考 北京文 已知 n a为等差数列 n s为其前n项和 若 1 1 2 a 23 sa 则 2 a n s 解析 23 sa 所以 11121 1 21 2 aadaddaad 1 1 4 n sn n 考点定位 本小题主要考查等差数列的基本运算 考查通项公式和前n项和公式的计 算 三 解答题 20 2012 年高考 重庆文 本小题满分 13 分 小问 6 分 小问 7 分 已知 n a为等差数列 且 1324 8 12 aaaa 求数列 n a的通项公式 记 n a的前n项和为 n s 若 12 kk a a s 成等比数列 求正整数k的值 15 21 2012 年高考 浙江文 已知数列 an 的前 n 项和为 sn 且 sn 2 2nn n n 数列 bn 满足 an 4log2bn 3 n n 1 求 an bn 2 求数列 an bn 的前 n 项和 tn 22 2012 年高考 天津文 本题满分 13 分 已知 n a是等差数列 其前n项和为 n s n b是等比数列 且 114444 27 10ab absb i 求数列 n a与 n b的通 项公式 ii 记 1 122 nnn taba ba b nn 证明 11 8 2 nnn tabnnn 解析 1 设等差数列 n a的公差为d 等比数列 n b的公比为q 由 11 2ab 得 16 3 444 23 2 86ad bq sd 由条件得方程组 3 3 232273 2 86210 dqd q dq 故 31 2 n nn anbnn 2 证明 由 1 得 23 2 25 28 2 31 2n n tn 2341 22 25 28 2 31 2n n tn 由 得 231 2 23 23 23 2 31 2 nn n tn 11 6 1 2 31 22 34 28 1 2 n nn nn 即 1 8 34 2n n tn 而当2n 时 1 11 34 2n nn abn 所以 11 8 2 nnn tabnnn 23 2012 年高考 四川文 已知数列 n a的前n项和为 n s 常数0 且 11nn a ass 对一切正整数n都成立 求数列 n a的通项公式 设 1 0a 100 当n为何值时 数列 1 lg n a 的前n项和最大 解析 取 n 1 得0 2 22a 11111 aaas 若 a1 0 则 s1 0 当 n0a 0a2 1 nnnn ss所以时 若 a1 2 0 1 a 则 当 n 2 a22 nn s 时 2 a2 11 nn s 上述两个式子相减得 an 2an 1 所以数列 an 是等比数列 综上 若 a1 0 0 n a则 若 a1 n a 2 0 n 则 17 24 2012 年高考 上海文 对于项数为m的有穷数列数集 n a 记 max 21kk aaab k 1 2 m 即 k b 为 k aaa 21 中的最大值 并称数列 n b是 n a的控制数列 如 1 3 2 5 5 的控制数列是 1 1 3 3 5 5 1 若各项均为正整数的数列 n a的控制数列为 2 3 4 5 5 写出所有的 n a 2 设 n b是 n a的控制数列 满足cba kmk 1 c为常数 k 1 2 m 求证 kk ab k 1 2 m 3 设m 100 常数 1 2 1 a 若nana nn n 2 1 1 2 n b是 n a的控制数列 求 1001002211 ababab 比较大小 可得 3424 kk aa 因为1 2 1 a 所以0 38 1 2414 kaaa kk 即 1424 kk aa 18 0 14 12 2 244 kaaa kk 即 244 kk aa 又 kk aa 414 从而 3434 kk ab 2424 kk ab 2414 kk ab kk ab 44 因此 1001002211 ababab 9999141410107733 ababababab kk 999814241097632 aaaaaaaaaa kk 25 1 1424 k kk aa 25 1 38 1 k ka 1 2525a 25 2012 年高考 陕西文 已知等比数列 n a的公比为 1 2 q 若 3 a 1 4 求 数列 n a的前n项 和 证明 对任意kn k a 2k a 1k a 成等差数列 解析 由 2 31 1 4 aa q 及 1 2 q 得 1 1a 所以数列 1 a的前n项和 1 1 1 11 2 2 2 1 3 1 2 n n n s 证明 对任意kn 1112 211111 2 2 21 kkkk kkk aaaa qa qa qa qqq 由 1 2 q 得 2 21qq 0 故 21 2 kkk aaa 0 所以对任意kn k a 2k a 1k a 成等差数列 26 2012 年高考 山东文 已知等差数列 n a的前 5 项和为 105 且 205 2aa 求数 列 n a的通项公式 对任意 m n 将数列 n a中不大于 2 7 m的项的个数记为 m b 求 数列 m b的前m项和 m s 19 27 2012 年高考 江西文 已知数列 an 的前 n 项和 n n skck 其中 c k 为常 数 且 a2 4 a6 8a3 1 求 an 2 求数列 nan 的前 n 项和 tn 28 2012 年高考 湖南文 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产 该企业 第一年年初有资金 2000 万元 将其投入生产 到当年年底资金增长了 50 预计以后每 年资金年增长率与第一年的相同 公司要求企业从第一年开始 每年年底上缴资金d万 元 并将剩余资金全部投入下一年生产 设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an 万元 用d表示a1 a2 并写出 1n a 与an的关系式 若公司希望经过m m 3 年 使企业的剩余资金为 4000 万元 试确定企业每年上缴资金d的值 用m表示 20 1 3 30003 2 2 n dd 由题意 1 3 4000 30003 24000 2 n n add 解得 1 3 21000 1000 32 2 3 32 1 2 n nn nn n d 故该企业每年上缴资金d的值为缴 1 1000 32 32 nn nn 时 经过 3 m m 年企业的剩余资金为 4000 元 点评 本题考查递推数列问题在实际问题中的应用 考查运算能力和使用数列知识分 析解决实际问题的能力 第一问建立数学模型 得出 1n a 与an的关系式 1 3 2 nn aad 第二问 只要把第一问中的 1 3 2 nn aad 迭代 即可以解决 29 2012 年高考 湖北文 已知等差数列 n a前三项的和为3 前三项的积为8 1 求等差数列 n a的通项公式 2 若 231 a a a成等比数列 求数列 n a的前n项和 解析 设等差数列 n a的公差为d 则 21 aad 31 2aad 由题意得 1 111 333 2 8 ad a ad ad 解得 1 2 3 a d 或 1 4 3 a d 所以由等差数列通项公式可得 23 1 35 n ann 或43 1 37 n ann 故35 n an 或37 n an 当35 n an 时 2 a 3 a 1 a分别为1 4 2 不成等比数列 当37 n an 时 2 a 3 a 1 a分别为1 2 4 成等比数列 满足条件 21 故 37 1 2 37 37 3 n nn an nn 记数列 n a的前n项和为 n s 当1n 时 11 4sa 当2n 时 212 5saa 当3n 时 234 nn ssaaa 5 3 37 347 37 n 2 2 2 37 311 510 222 nn nn 当2n 时 满足此式 综上 2 4 1 311 10 1 22 n n s nnn 点评 本题考查等差数列的通项 求和 分段函数的应用等 考查分类讨论的数学思想 以及运算求解的能力 求等差数列的通项一般利用通项公式 1 1 n aand 求解 有 时需要利用等差数列的定义 1nn aac c为常数 或等比数列的定义 1 n n a c a c为常数 0c 来判断该数列是等差数列或等比数列 然后再求解通项 有些数列本身不是等差数列或等比数列 但它含有无数项却是等差数列或等比数列 这 时求通项或求和都需要分段讨论 来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差 中项 等比中项的性质 30 2012 年高考 广东文 数列 设数列 n a的前n项和为 n s 数列 n s的前n项和 为 n t 满足 2 2 nn tsn n n 求 1 a的值 求数列 n a的通项公式 221 2 2226 23 2 nnn n aa 所以 1 3 22 n n a 2n 当1n 时 1 1a 22 也满足该式子 所以数列 n a的通项公式是 1 3 22 n n a 31 2012 年高考 福建文 在等差数列 n a和等比数列 n b中 114 1 8 n abba 的前 10 项和 10 55s 求 n a和 n b 现分别从 n a和 n b的前 3 项中各随机抽取一项 写出相应的基 本事件 并求这两项的值相等的概率 32 2012 年高考 大纲文 已知数列 n a中 1 1a 前n项和 2 3 nn n sa 求 23 a a 求 n a的通项公式 解析 1 由 1 1a 与 2 3 nn n sa 可得 221221 22 33 3 saaaaa 331233123 322 46 33 saaaaaaaa 故所求 23 a a的值分别为3 6 2 当2n 时 2 3 nn n sa 11 1 3 nn n sa 可得 11 21 33 nnnn nn ssaa 即 11 1 21111 33331 n nnnnn n annnnn aaaaa an 故有 2 12 1 121 13 1 1212 nn n nn aaannnn aa aaann 23 而 2 1 11 1 2 a 所以 n a的通项公式为 2 2 n nn a 点评 试题出题比较直接 没有什么隐含的条件 只要充分发挥利用通项公式和前 n项和的关系式变形就可以得到结论 33 2012 年高考 安徽文 设函数 sin 2 x f xx 的所有正的极小值点从小到大排成 的数列为 n x 求数列 n x 设 n x的前n项和为 n s 求 n ssin 解析 i 12 sin cos02 223 x f xxfxxxkkz 22 022 33 fxkxkkz 24 022 33 fxkxkkz 得 当 2 2 3 xkkz 时 f x取极小值 得 2 2 3 n xn ii 由 i 得 2 2 3 n xn 123 22 2 123 1 33 nn nn sxxxxnn n 1111 年高考试题及解析年高考试题及解析 1 重庆文 1 在等差数列 n a中 2 2a 310 4 aa 则 a 12b 14c 16d 18 命题意图 本题考查等差数列通项公式 是送分题 解析 2 2 a 4 3 a 32 daa 2 10 a 3 7ad 18 故选 d 24 2 北京文 12 在等比数列 n a中 若 14 1 4 2 aa 则公比q 12n aaa 解析 由 n a是等比数列得 3 41 aa q 又 14 1 4 2 aa 所以 3 1 42 2 qq 1 12 1 1 n n aq aaa q 1 1 1 2 1 2 2 1 22 n n 3 天津文 1111 已知已知 n a是等差数列是等差数列 n s为其前为其前 n n 项和项和 nn 若若 3 16a 20 20s 则则 10 s的值为的值为 答案 110 解析 设公差为d 则 1 216ad 且 1 20 19 2020 2 ad 解得2d 1 20a 所以 10 10 9 10 20 2 110 2 s 4 安徽文 7 若数列 n a的通项公式是 n an g 则aaa l a 15 b 12 c d 5 江西文 5 设 n a 为等差数列 公差 d 2 n s为其前 n 项和 若 1011 ss 则 1 a a 18 b 20 c 22 d 24 解析 1011111111 0 10 20ssaaada 6 广东文 1111 已知 已知 n a 是递增等比数列 是递增等比数列 4 2 342 aaa 则此数列的公比 则此数列的公比 q 解析解析 2 2 由题得由题得 1 32 11 2 21 4 a q qq a qa q 或因为因为 n a是递增等比数列 所以是递增等比数列 所以 25 2 q 7 江苏 1313 设 设 127 1aaa 其中 其中 7531 aaaa成公比为成公比为 q q 的等比数列 的等比数列 642 aaa成公差为成公差为 1 1 的等差数列 则的等差数列 则 q q 的最小值是的最小值是 8 四川文 9 数列 an 的前 n 项和为 sn 若 a1 1 an 1 3sn n 1 则 a6 a 3 44 b 3 44 1 c 44 d 44 1 解析 由题意 得 a2 3a1 3 当 n 1 时 an 1 3sn n 1 所以 an 2 3sn 1 得 an 2 4an 1 故从第二项起数列等比数列 则 a6 3 44 答案 a 9 全国文 6 设 n s为等差数列 n a的前n项和 若 1 1a 公差2d 2 24 kk ss 则k a 8 b 7 c 6 d 5 解析 221111 2 1 1 1 2 21 kkkk ssaaakdakdakd 2 1 21 244245kkk 故选 d 10 浙江文 17 若数列 2 4 3 n n n 中的最大项是第k项 则k 解析 2 4 3 n n an n 则 1 1 2 1 5 2 1 5 3 2 3 4 4 3 n n n n nn ann an n n n 于是 2 2 1 5 3 4 10nnn nn 令 2 100n 得1010n 则 1 1 n n a a 4n 时递增 令 2 100n 得10n 则 1 1 n n a a 4n 时递减 故 4n 是最大项 即4k 11 陕西文 13 观察下列等式 26 照此规律 第五个等式应为 12 陕西文 10 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树 每人植一棵 相邻两棵 树相距 10 米 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边 现将树坑从 1 到 20 依次编号 为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小 树苗可以放置的两个最佳坑 位的编号为 a 1 和 20 b 9 和 10 c 9 和 11 d 10 和 11 答案 d 解析 设树苗集中放置在第i号坑旁边 则 20 名同学返所走的路程总和为 2 1 2 lii 2 1 12 19 20 10ii 2 21210 20ii 2 21399 20 24 i 即1011i 或时 min 2000l 13 湖北文 9 九章算术 竹九节 问题 现有一根 9 节的竹子 自下而下各节的容 积成等差数列 上面 4 节的容积共 3 升 下面 3 节的容积共 4 升 则第 5 节的容积为 a 1 升b 67 66 升c 47 44 升d 37 33 升 解析 设 9 节竹子的容积从上往下依次为a1 a2 a9 公差为 d 则有a1 a2 a3 a4 3 a7 a8 a9 4 即4a5 10d 3 3a5 9d 4 联立解得 5 67 66 a 所以选 b 14 福建文 16 商家通常依据 乐观系数准则 确定商品销售价格 即根据商品的最低 销售限价 a 最高销售限价 b b a 以及常数 x 0 x 1 确定实际销售价格 c a x b 27 a 这里 x 被称为乐观系数 经验表明 最佳乐观系数 x 恰好使得 c a 是 b c 和 b a 的等比中项 据此可得 最佳乐观系数 x 的值等于 答案 51 2 解析 因为 c a 是 b c 和 b a 的等比中项 所以 2 ca bc ba baacba 又 cax ba 所以 ca ba x 所以 2 ca caca ac xx 由题意知 0ca 所以 11 1 1 xx 整理得 2 10 xx 所以 51 2 x 或 51 2 x 舍去 15 辽宁文 15 sn为等差数列 an 的前 n 项和 s2 s6 a4 1 则 a5 16 重庆文 16 本小题满分 13 分 小问 7 分 小问 6 分 设 n a是公比为正数的等比数列 1 2a 32 4aa 求 n a的通项公式 设 n b是首项为 1 公差为 2 的等差数列 求数列 nn ab 的前n项和 n s 解 i 设 q 为等比数列 n a的公比 则由 2 132 2 4224aaaqq 得 即 2 20qq 解得21qq 或 舍去 因此2 q 所以 n a的通项为 1 2 22 nn n ann ii 2 12 1 12 122 n n n n sn 12 22 n n 17 全国文 17 本小题满分 l0 分 设数列 n a的前 n 项和为 n s 已知 2 6 a 12 630 aa 求 n a和 n s 解析 设等比数列 n a的公比为q 由题 1 2 11 6 630 a q aa q 解得 11 3 2 2 3 aa qq 28 18 浙江文 19 本题满分 14 分 已知公差不为 0 的等差数列 n a的首项 1 a 为a ar 且 1 1 a 2 1 a 4 1 a 成等比数列 求数列 n a的通项公式 对 nn 试 比较 2 2 22 111 n aaa 与 1 1 a 的大小 来 解析 22 214111 2 214 111 3 aa aada ad aaa 1 daa 数列 n a的通项公式 111 1 1 n aandanana 记 2 2 22 111 n n t aaa 因为 2 2 n n aa 所以 2 1 111 222 n n t a 11 1 1 22 1 1 2 n a 11 1 2 n a 从而当0a 时 1 1 n t a 当0a 时 1 1 n t a 19 课标卷文 17 本小题满分 12 分 已知等比数列 n a中 3 1 3 1 1 qa 1 n s为数列 n a前n项的和 证明 2 1 n n a s 2 设 nn aaab 32313 logloglog 求数列 n b的通项公式 1 直接用等比数列通项公式与求和公式 2 代人化简得到等差数列在求其和 解 1 2 1 3 1 3 1 3 1 1n n n n n a sa 31323 1 2 logloglog 12 2 nn n n baaan 点评 本题考查等比 等差数列的通项公式与求和公式 注意正确用公式计算 20 山东文 20 本小题满分 12 分 等比数列 n a中 123 a a a分别是下表第一 二 29 三行中的某一个数 且 123 a a a中的任何两个数不在下表的同一列 第一列第二列第三列 第一行 3210 第二行 6414 第三行 9818 求数列 n a的通项公式 若数列 n b满足 1 ln nnn baa 求数列 n b的前2n项和 2n s 解析 由题意知 123 2 6 18aaa 因为 n a是等比数列 所以公比为 3 所以 数列 n a的通项公式 1 2 3n n a 因为 1 ln nnn baa 1 2 3n 1 1 ln2 3n 所以 12nn sbbb 1212 lnlnln nn aaaaaa 2 1 3 1 3 n 12 ln n a a a 31 n 121 ln 21 333 nn 31 n 1 2 ln 23 n n n 所以 2n s 2 31 n 2 21 2 2 ln 23 nn n 91 n 2 2 ln2 2 ln3nnn 21 江苏 2020 本小题满分 本小题满分 1616 分 设分 设 m m 为部分正整数组成的集合 数列为部分正整数组成的集合 数列 n a的首项的首项 1 1 a 前 前 n n 项和为项和为 n s 已知对任意整数 已知对任意整数 k k 属于属于 m m 当 当 n kn k 时 时 2 knknkn ssss 都成立 都成立 1 1 设 设 m m 1 1 2 2 a 求 求 5 a的值 的值 2 2 设 设 m m 3 3 4 4 求数列 求数列 n a的通项公式 的通项公式 30 12122 2 6a152 255 452 adaadad 即 12122 28282 279 351aadaadad 即 2 3 2 21 n adan 22 四川文 20 本小题共 12 分 已知 n a 是以a为首项 q 为公比的等比数列 n s为它的前n项和 当 134 s s s成等差数列时 求 q 的值 当 m s n s i s成等差数列时 求证 对任意自然数 m kn ki k k aaa 也成等差数列 解析 当1q 时 134 3 4sa sa sa 因为 134 s s s成等差数列 所以 2 34aaa 解得0a 因为0a 故1q 当1q 时 34 134 1 1 11 aqaq sa ss qq 由 134 s s s成等差数列得 31 34 2 1 1 11 aqaq a qq 得 32 210qq 即 2 110qqq 15 2 q 当 mni sss成等差数列 则2 nmi sss 当1q 时 由2 nmi sss 得2namaia 即2nmi 220 m ki kn k aaaaaa 当1q 时 由2 nmi sss 得 1 1 1 2 111 nmi aqaqaq qqq 化简得20 min qqq 1111 22 2 0 m ki kn kkmin m ki kn k aaaaqaqaqaqqqq 综上 对任意自然数 m kn ki k k aaa 也成等差数列 23 湖北文 17 本小题满分 12 分 成等差数列的三个正数的和等于 15 并且这三个 数分别加上 2 5 13 后成为等比数列 n b中的 245 bbb 求数列 n b的通项公式 数列 n b的前