第2讲 数学建模初等模型.ppt

第2讲初等模型 2 1 船艇回合问题2 2 双层玻璃的功效2 3 崖高的估算2 4 经验模型2 5 量纲分析2 6 几个实例 某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行员 护卫舰找到飞行员后 航母通知它尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方向 问护卫舰应怎样航行 才能与航母汇合 2 1舰艇的会合 即 可化为 护卫舰的路线方程 航母的路线方程 即可求出P点的坐标和 2的值 本模型虽简单 但分析极清晰且易于实际应用 2 2双层玻璃的功效 在寒冷的北方 许多住房的玻璃窗都是双层玻璃的 现在我们来建立一个简单的数学模型 研究一下双层玻璃到底有多大的功效 比较两座其他条件完全相同的房屋 它们的差异仅仅在窗户不同 设玻璃的热传导系数为k1 空气的热传导系数为k2 单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为Q 解得 此函数的图形为 类似有 一般 故 记h l d并令f h 考虑到美观和使用上的方便 h不必取得过大 例如 可取h 3 即l 3d 此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗时的3 2 3崖高的估算 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器 你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度 假定你能准确地测定时间 你又怎样来推算山崖的高度呢 请你分析一下这一问题 方法一 我学过微积分 我可以做得更好 呵呵 令k K m 解得 代入初始条件v 0 0 得c g k 故有 再积分一次 得 若设k 0 05并仍设t 4秒 则可求得h 73 6米 听到回声再按跑表 计算得到的时间中包含了反应时间 进一步深入考虑 不妨设平均反应时间为0 1秒 假如仍设t 4秒 扣除反应时间后应为3 9秒 代入式 求得h 69 9米 多测几次 取平均值 再一步深入考虑 最小二乘法插值方法 2 4经验模型 最小二乘法 设经实际测量已得到n组数据 xi yi i 1 n 将数据画在平面直角坐标系中 见图 如果建模者判断这n个点很象是分布在某条直线附近 令该直线方程为y ax b 进而利用数据来求参数a和b 由于该直线只是数据近似满足的关系式 故yi axi b 0一般不成立 但我们希望 最小 此式对a和b的偏导数均为0 解相应方程组 求得 例1 举重成绩的比较 模型1 线性模型 模型2 幂函数模型 模型3 经典模型 1 举重成绩正比于选手肌肉的平均横截面积A 即L k1A 2 A正比于身高l的平方 即A k2l2 3 体重正比于身高l的三次方 即B k3l3 根据上述假设 可得 显然 K越大则成绩越好 故可用来比较选手比赛成绩的优劣 模型4 O Carroll公式 1 L k1Aa a 1 2 A k2lb b 2 3 B Bo k3l3 假设 1 2 是解剖学中的统计规律 在假设 3 中O Carroll将体重划分成两部分 B B0 B1 B0为非肌肉重量 故有 根据三条假设可得L k B B0 k和 为两个常数 此外 根据统计结果 他得出B0 35公斤 模型5 Vorobyev公式 上述公式具有各不相同的基准 无法相互比较 为了使公式具有可比性 需要对公式稍作处理 例如 我们可以要求各公式均满足在B 75公斤时有L L 则上述各公式化为 将公式 1 4 用来比较1976年奥运会的抓举成绩 各公式对九个级别冠军成绩的优劣排序如表所示 比较结果较为一致 例如 对前三名的取法是完全一致的 其他排序的差异也较为微小 例2体重与身高的关系 插值方法 2 5量纲分析法建模 例3在万有引力公式中 引力常数G是有量纲的 根据量纲齐次性 G的量纲为M 1L3T 2 其实 在一量纲齐次的公式中除以其任何一项 即可使其任何一项化为无量纲 因此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变量的函数 例如 与万有引力公式相关的物理量有 G m1 m2 r和F 现考察这些量的无量纲乘积的量纲为由于是无量纲的量 故应有 此方程组中存在两个自由变量 其解构成一个二维线性空间 取 a b 1 0 和 a b 0 1 得到方程组解空间的一组基 1 0 2 2 1 和 0 1 1 0 0 所有由这些量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示 两个基向量对应的无量纲乘积分别为 而万有引力定律则可写成f 1 2 0 其对应的显函数为 1 g 2 即 万有引力定律 定理2 1 Backingham 定理 方程当且仅当可以表示为f 1 2 0时才是量纲齐次的 其中f是某一函数 1 2 为问题所包含的变量与常数的无量纲乘积 例4 理想单摆的摆动周期 考察质量集中于距支点为l的质点上的无阻尼单摆 如图 其运动为某周期t的左右摆动 现希望得到周期t与其他量之间的关系 考察 的量纲为MaLb dTc 2b若无量纲 则有 此方程组中不含e 故 0 0 0 0 1 为一解 对应的 1 即为无量纲量 为求另一个无纲量可令b 1 求得 0 1 2 1 0 对应有 其中 此即理想单摆的周期公式 当然k 是无法求得的 事实上 需要用椭圆积分才能表达它 2 6几个实例 例5 最短路径问题 设有一个半径为r的圆形湖 圆心为O A B位于湖的两侧 AB连线过O 见图 现拟从A点步行到B点 在不得进入湖中的限制下 问怎样的路径最近 以上只是一种猜测 现在来证明这一猜测是正确的 为此 先介绍一下凸集与凸集的性质 下面证明猜想 猜测证明如下 还可用微积分方法求弧长 根据计算证明满足限止条件的其他连续曲线必具有更大的长度 此外 本猜测也可用平面几何知识加以证明等 到此为止 我们的研讨还只局限于平面之中 其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间中去 1973年 J W Craggs证明了以上结果 例6雨中行走问题 一个雨天 你有件急事需要从家中到学校去 学校离家不远 仅一公里 况且事情紧急 你来不及花时间去翻找雨具 决定碰一下运气 顶着雨去学校 假设刚刚出发雨就大了 但你不打算再回去了 一路上 你将被大雨淋湿 一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走 以减少雨淋的时间 但如果考虑到降雨方向的变化 在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略 试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度 1建模准备建模目标 在给定的降雨条件下 设计一个雨中行走的策略 使得你被雨水淋湿的程度最小 主要因素 淋雨量 降雨的大小 降雨的方向 风 路程的远近 行走的速度 2 降雨大小用降雨强度厘米 时来描述 降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度 在这里可视其为一常量 3 风速保持不变 4 你一定常的速度米 秒跑完全程米 2模型假设及符号说明1 把人体视为长方体 身高米 宽度米 厚度米 淋雨总量用升来记 3模型建立与计算 1 不考虑雨的方向 此时 你的前后左右和上方都将淋雨 淋雨的面积 雨中行走的时间 降雨强度 模型中 结论 淋雨量与速度成反比 这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量 从而可以计算被淋的雨水的总量为2 041 升 经仔细分析 可知你在雨中只跑了2分47秒 但被淋了2升的雨水 大约有4酒瓶的水量 这是不可思议的 表明 用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际 原因 不考虑降雨的方向的假设 使问题过于简化 2 考虑降雨方向 人前进的方向 若记雨滴下落速度为 米 秒 雨滴的密度为 雨滴下落的反方向 表示在一定的时刻在单位体积的空间内 由雨滴所占的空间的比例数 也称为降雨强度系数 所以 因为考虑了降雨的方向 淋湿的部位只有顶部和前面 分两部分计算淋雨量 顶部的淋雨量 前表面淋雨量 总淋雨量 基本模型 可以看出 淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关 问题转化为给定 如何选择使得最小 情形1 结果表明 淋雨量是速度的减函数 当速度尽可能大时淋雨量达到最小 假设你以6米 秒的速度在雨中猛跑 则计算得 情形2 结果表明 淋雨量是速度的减函数 当速度尽可能大时淋雨量达到最小 假设你以6米 秒的速度在雨中猛跑 则计算得 情形3 此时 雨滴将从后面向你身上落下 出现这个矛盾的原因 我们给出的基本模型是针对雨从你的前面落到身上情形 因此 对于这种情况要另行讨论 当行走速度慢于雨滴的水平运动速度 即 这时 雨滴将淋在背上 而淋在背上的雨水量是 淋雨总量为 再次代如数据 得 结果表明 当行走速度等于雨滴下落的水平速度时 淋雨量最小 仅仅被头顶上的雨水淋湿了 若雨滴是以的角度落下 即雨滴以的角从背后落下 你应该以 此时 淋雨总量为 这意味着你刚好跟着雨滴前进 前后都没淋雨 当行走速度快于雨滴的水平运动速度 即 你不断地追赶雨滴 雨水将淋湿你的前胸 被淋得雨量是 淋雨总量为 4结论 若雨是迎着你前进的方向向你落下 这时的策略很简单 应以最大的速度向前跑 若雨是从你的背后落下 你应控制你在雨中的行走速度 让它刚好等于落雨速度的水平分量 5注意关于模型的检验 请大家观察 体会并验证 雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性 模型的阶段适应性 例7席位分配问题 某校有200名学生 甲系100名 乙系60名 丙系40名 若学生代表会议设20个席位 问三系各有多少个席位 按惯例分配席位方案 即按人数比例分配原则 表示某单位的席位数 表示某单位的人数 表示总人数 表示总席位数 1问题的提出 20个席位的分配结果 现丙系有6名学生分别转到甲 乙系各3名 10 6 4 10 6 4 现象1丙系虽少了6人 但席位仍为4个 不公平 为了在表决提案时可能出现10 10的平局 再设一个席位 21个席位的分配结果 11 7 3 现象2总席位增加一席 丙系反而减少一席 不公平 惯例分配方法 按比例分配完取整数的名额后 剩下的名额按惯例分给小数部分较大者 存在不公平现象 能否给出更公平的分配席位的方案 2建模分析 目标 建立公平的分配方案 反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量 一般地 当 席位分配公平 但通常不一定相等 席位分配的不公平程度用以下标准来判断 此值越小分配越趋于公平 但这并不是一个好的衡量标准 C D的不公平程度大为改善 2 相对不公平 表示每个席位代表的人数 总人数一定时 此值越大 代表的人数就越多 分配的席位就越少 则A吃亏 或对A是不公平的 定义 相对不公平 对A的相对不公平值 同理 可定义对B的相对不公平值为 对B的相对不公平值 建立了衡量分配不公平程度的数量指标 制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小 3建模 若A B两方已占有席位数为 用相对不公平值 讨论当席位增加1个时 应该给A还是B方 不失一般性 有下面三种情形 情形1 说明即使给A单位增加1席 仍对A不公平 所增这一席必须给A单位 情形2 说明当对A不公平时 给A单位增加1席 对B又不公平 计算对B的相对不公平值 情形3 说明当对A不公平时 给B单位增加1席 对A不公平 计算对A的相对不公平值 则这一席位给A单位 否则给B单位 结论 当 成立时 增加的一个席位应分配给A单位 反之 应分配给B单位 记 则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方 这样的分配席位的方法称为Q值方法 若A B两方已占有席位数为 4推广有m方分配席位的情况 设 方人数为 已占有 个席位 当总席位增加1席时 计算 则1席应分给Q值最大的一方 从 开始 即每方 至少应得到以1席 如果有一方1席也分不到 则把它排除在外 5举例 甲 乙 丙三系各有人数103 63 34 有21个席位 如何分配 按Q值方法 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13