高中数学 324利用向量知识求空间中的角同步检测 新人教B版选修21.doc

3.2第4课时 利用向量知识求空间中的角一、选择题1平面的斜线l与它在这个平面上射影l的方向向量分别为a(1,0,1)，b(0,1,1)，则斜线l与平面所成的角为()a30b45c60d90答案c解析l与所成的角为a与b所成的角(或其补角)，cosa，b，a，b60.2(08全国)已知正四棱锥sabcd的侧棱长与底面边长都相等，e是sb的中点，则ae、sd所成的角的余弦值为()a. b. c d.答案c解析如图，设棱长为1，()()，|，cos，故选c.3如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别为a1b1和bb1的中点，那么直线am与cn所成的角的余弦值为()a. b.c. d.答案d解析解法一：，()().而|.同理，|.如令为所求角，则cos.应选d.解法二：如图以d为原点，分别以da、dc、dd1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)，m(1，1)，c(0,1,0)，n(1,1，)，(1,0,0)(0，1)，(1,1，)(0,1,0)(1,0，)故0101，|，|.cos.4把正方形abcd沿对角线ac折起成直二面角，点e、f分别是ad、bc的中点，o是正方形中心，则折起后，eof的大小为()a(0，90) b90c120 d(60，120)答案c解析()，()，()|2.又|，cos，.eof120，故选c.5把正方形abcd沿对角线ac折起，当a、b、c、d四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线bd与平面abc所成的角的大小为()a90 b60 c45 d30答案c解析翻折后a、b、c、d四点构成三棱锥的体积最大时，平面adc平面bac，设未折前正方形的对角线交点为o，则dbo即为bd与平面abc所成的角，大小为45.6在正方体abcda1b1c1d1中，若f、g分别是棱ab、cc1的中点，则直线fg与平面a1acc1所成角的正弦值等于()a. b. c. d.答案d解析解法一：过f作bd的平行线交ac于m，则mgf即为所求设正方体棱长为1，mf，gf，sinmgf.解法二：分别以ab、ad、aa1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面acc1a1的一个法向量为n(1,1,0)，f(，0,0)，g(1,1，)，设直线fg与平面a1acc1所成角，则sin|cosn，|.7从点p引三条射线pa、pb、pc，每两条的夹角都是60，则二面角bpac的余弦值是()a. b. c. d.答案b解析在射线pa上取一点o，分别在面pab，pac内作oepa，ofpa交pb，pb于ef，连接e、f，则eof即为所求二面角的平面角在eof中可求得coseof.8在边长为a的正三角形abc中，adbc于d，沿ad折成二面角badc后，bca，这时二面角badc的大小为()a30 b45 c60 d90答案c二、填空题9如图，在正三棱柱abca1b1c1中，已知ab1，点d在棱bb1上，且bd1，则ad与平面aa1c1c所成角的正弦值为_答案解析解法一：取ac、a1c1的中点m、m1，连结mm1、bm.过d作dnbm，则容易证明dn平面aa1c1c.连结an，则dan就是ad与平面aa1c1c所成的角在rtdan中，sindan.解法二：取ac、a1c1中点o、e，则obac，oe平面abc，以o为原点oa、ob、oe为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，在正三角形abc中，bmab，a，b，d，又平面aa1c1c的法向量为e(0,1,0)，设直线ad与平面aa1c1c所成角为，则sin|cos，e|.解法三：设a，b，c，由条件知ab，ac0，bc0，又cb，平面aa1c1c的法向量(ab)设直线bd与平面aa1c1c成角为，则sin|cos，|，(cb)(ab)acabbc|b|2.|2(cb)2|c|2|b|22bc2，|，|2(ab)2(|a|2|b|22ab)，|，sin.10在正方体abcda1b1c1d1中，则a1b与平面a1b1cd所成角的大小为_答案30解析解法一：连结bc1，设与b1c交于o点，连结a1o.bc1b1c，a1b1bc1，a1b1b1cb1.bc1平面a1b1c，a1b在平面a1b1cd内的射影为a1o.oa1b就是a1b与平面a1b1cd所成的角，设正方体的棱长为1.在rta1ob中，a1b，bo，sinoa1b.oa1b30.即a1b与平面a1b1cd所成的角为30.解法二：以d为原点，da，dc，dd1分别x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则a1(1,0,1)，c(0,1,0)(1,0,1)，(0,1,0)设平面a1b1cd的一个法向量为n(x，y，z)则令z1得x1.n(1,0，1)，又b(1,1,0)，(0,1，1)，cosn，.n，60，所以a1b与平面a1b1cd所成的角为30.11如图所示，abcd是直角梯形，abc90，sa平面abcd，saabbc1，ad，则sc与平面abcd所成的角的大小为_答案arccos解析是平面abcd的法向量，设与的夹角为.，()1.|1，|，cos.arccos.从而cs与平面abcd所成的角为arccos.三、解答题12在四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，侧棱pa底面abcd，ab，bc1，pa2，e为pd的中点(1)求直线ac与pb所成角的余弦值；(2)在侧面pab内找一点n，使ne平面pac.解析(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)、b(，0,0)、c(，1,0)、d(0,1,0)、p(0，0,2)，e(0，1)，(，1,0)，(，0，2)设与的夹角为，则cos，ac与pb所成角的余弦值为.(2)由于n点在侧面pab内，故可设n(x,0，z)，则(x，1z)，由ne平面pac可得，即化简得.，即n点的坐标为(，0,1)13在正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为棱d1c1、b1c1的中点，求平面efc与底面abcd所成二面角的正切值解析以d为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系如图，则c(0,1,0)，e(0，1)，f(，1,1)设平面cef的法向量为n(x，y，z)，则，令z1，则n(2,1,1)显然平面abcd的法向量e(0,0,1)，则cosn，e.设二面角为，则cos，tan.14如图，在四棱锥pabcd中，pd底面abcd，底面abcd为正方形，pddc，e、f分别是ab、pb的中点(1)求证：efcd；(2)在平面pad内求一点g，使gf平面pcb，并证明你的结论；(3)求db与平面def所成角的大小解析以da、dc、dp所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，设ada，则d(0,0,0)、a(a,0,0)、b(a，a,0)、c(0，a,0)、e(a，0)、f(，)、p(0,0，a)(1)(，0，)(0，a,0)0，efdc.(2)设g(x,0，z)，则g平面pad.(x，z)，(x，z)(a,0,0)a(x)0，x；(x，z)(0，a，a)a(z)0，z0.g点坐标为(，0,0)，即g点为ad的中点(3)设平面def的法向量为n(x，y，z)由得，即取x1，则y2，z1，n(1，2,1)cos，db与平面def所成角大小为arccos.15(2010湖南理，18)如图5所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e是棱dd1的中点(1)求直线be和平面abb1a1所成的角的正弦值；(2)在棱c1d1上是否存在一点f，使b1f平面a1be？证明你的结论解析解法一：设正方体的棱长为1，如图所示，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系(1)依题意，得b(1,0,0)，e(0,1，)，a(0,0,0)，d(0,1,0)，所以(1,1，)，(0,1,0)在正方体abcda1b1c1d1中，因为ad平面abb1a1，所以是平面abb1a1的一个法向量，设直线be与平面abb1a1所成的角为，则sin.即直线be与平面abb1a1所成的角的正弦值为.(2)依题意，得a1(0,0,1)，(1,0,1), (1,1，)设n(x，y，z)是平面a1be得一个法向量，则由n0，n0，得所以xz，yz.取z2，得n(2,1,2)设f是棱c1d1上的点，则f(t,1,1)(0t1)又b1(1,0,1)，所以(t1,1,0)，而b1f平面a1be，于是b1f平面a1ben0(t1,1,0)(2,1,2)02(t1)10tf为c1d1的中点这说明在棱c1d1上存在一点f(c1d1的中点)，使b1f平面a1be.解法二：(1)如图(a)所示，取aa1的中点m，连结em，bm.因为e是dd1的中点，四边形add1a1为正方形，所以emad.又在正方体abcda1b1c1d1中，ad平面abb1a1，所以emabb1a1，从而bm为直线be在平面abb1a1上的射影， ebm直线be与平面abb1a1所成的角设正方体的棱长为2，则emad2，be3.于是，在rtbem中，sinebm.即直线be和平面abb1a1所成的角的正弦值为.(2)在棱c1d1上存在点f，使b1f平面a1be.如图(b)所示，分别取c1d1和cd的中点f，g，连结eg，bg，cd1，fg.因a1d1b1c1bc，且a1d1bc，所以四边形a1bcd1为平行四边形，因此d1ca1b.又e，g分别为d1d，cd的中点，所以egd1c，从而