圆的几何综合题.doc

圆的几何综合题圆的几何综合题 一 历年圆的几何综合题回顾一 历年圆的几何综合题回顾 1 一般分成三个问题 三个问题由易到难 由一般到特殊或由特殊到一般层层递进的方式设置问题 2 一般三个问题涉及到圆的切线的证明 线段相等 角相等 线段与角的计算 图形面积的计算 几何 变量之间的函数关系探究 线段关系式的证明 角的关系式的证明等 3 常见的知识点有 垂径定理及其推论 圆心角定理及其推论 圆周角定理及其推论 切线的性质与判 定 等腰三角形的性质与判定 解直角三角形 全等三角形与相似三角形的性质与判定 锐角三角函数 定义 特殊角的三角函数值等 4 常见的数学思想方法有 方程思想 函数思想 由特殊到一般或由一般到特殊的探究思想等 二 命题规律 二 命题规律 1 圆中的如下定理出现的频率很高 垂径定理及其推论 圆心角定理及其推论 圆周角定理及其推论 切线的性质及其判定定理 2 常与等腰三角形 两半径加弦 直角三角形 直径 半圆 相似三角形 全等三角形和锐角三角函数 的概念结合考查 3 相似三角形基本图形的分解是关健 如 正 A 字形 A1 形 斜 A 字形 A2 形 正八字形 X1 形 斜八字形 X2 形或蝴蝶形 射影定理图 共角共边相似 A3 形 图等出现的频率很高 4 结合重要的几何定理命题 及其逆定理 的基本图形 如弦切角定理的逆定理 切线长定理的逆定理 相交弦定理 切割线定理 割线定理等 具体见后面的例题 三 常见的几何模板回顾三 常见的几何模板回顾 1 三角形 三角形 图中若有角平分线 可向两边作垂线图中若有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平角平分线平 行线 等腰三角形来添行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 线段垂直平分线 常向两端把线连 要证 线段倍与半 延长缩短可试验 三角形中两中点 连接则成中位线三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 2 2 四边形 四边形 平行四边形出现 对称中心等分点 梯形里面作高线 平移一腰试试看 平行移动对角 线 补成三角形常见 证相似 比线段 添线平行成习惯证相似 比线段 添线平行成习惯 等积式子比例换 寻找线段很关键 直接证 明有困难 等量代换少麻烦 斜边上面作高线 比例中项一大片斜边上面作高线 比例中项一大片 3 3 圆 圆 半径与弦长计算 弦心距来中间站半径与弦长计算 弦心距来中间站 圆上若有一切线 切点圆心半径连圆上若有一切线 切点圆心半径连 切线长度的计算 勾股定理最方便 要想证明是切线 半径垂线仔细辨要想证明是切线 半径垂线仔细辨 是直径 成半圆 想成直角径连弦是直径 成半圆 想成直角径连弦 弧有中点圆弧有中点圆 心连 垂径定理要记全心连 垂径定理要记全 圆周角边两条弦 直径和弦端点连 弦切角边切线弦 同弧对角等找完圆周角边两条弦 直径和弦端点连 弦切角边切线弦 同弧对角等找完 如果 遇到相交圆 不要忘作公共弦 内外相切的两圆 经过切点公切线 若是添上连心线 切点肯定在上面 要作等角添个圆 证明题目少困难 四 四 27 题解题程序题解题程序 1 画 画 生长性画图 边画图边解决三个小问 2 标 标 将题中的已知条件标在图中 3 标 标 将未知问题 猜想的结论标在图中 4 联 联 联系知识点 联想常见的几何模块 不同知识进行联结 将前面小问已证明的结论串联起来 5 写 写 写出解题过程 五 常见定理及基本图形分析五 常见定理及基本图形分析 1 垂直于弦的直径 径连弦得射影定理 如 2007 成都 2010 成都 2011 成都 2 角平分线加 相似三角形的斜八字形 会出现 共边共角相似 如 2009 成都 2010 成都 3 以切线长定理的基本图形 关于切线的性质与判定的证明 出现两公共底边的两等腰三角形 如 2007 成都 2012 辽宁朝阳 2012 北京 4 直径与切线 性质或判定 相结合命题 如 2007 成都 2012 成都 2012 湖北天门 2012 辽宁朝 阳 2012 北京 2012 福建甫田 2012 辽宁锦州 1 圆中常见的二级图 部分中考题图形选 2007 成都 2008 成都 2009 成都 2010 成都 2011 成都 2012 成都 2012 湖北天门 2012 辽宁朝阳 2012 北京中考 2012 福建甫田 2012 辽宁锦州 六 中考真题分析六 中考真题分析 1 成都中考 2007 10 分 如图 是以为直径的上一点 于点 过点作ABCOAADBC DB 的切线 与的延长线相交于点是的中点 连结并延长与相交于点 延长OACAEG ADCGBEF 与的延长线相交于点 AFCBP 1 求证 BFEF 2 求证 是的切线 PAOA 3 若 且的半径长为 求和的长度 FGBF OA3 2BDFG H 2 成都中考 2008 共 10 分 如图 已知 O 的半径为 2 以 O 的弦 AB 为直径作 M 点 C 是 O 优弧上的一个动点 不与点 A 点 B 重合 连结 AC BC 分别与 M 相交于点 D 点 E 连结 DE 若 A AB AB 2 1 求 C 的度数 2 求 DE 的长 3 如果记 tan ABC y x 0 x 3 那么在点3 AD DC C 的运动过程中 试用含 x 的代数式表示 y F E B C D O M A 3 成都中考 2009 共 10 分 如图 Rt ABC 内接于 O AC BC BAC 的平分线 AD 与 0 交于点 D 与 BC 交于点 E 延长 BD 与 AC 的延长线交于点 F 连结 CD G 是 CD 的中点 连结 0G 1 判断 0G 与 CD 的位置关系 写出你的结论并证明 2 求证 AE BF 3 若 求 O 的面积 3 22 OG DE C G F D BO A F D C BO A G F D C BO A 4 成都中考 2010 共 10 分 已知 如图 ABC 内接于OA AB为直径 弦CEAB 于F C是AAD的中点 连结BD并延长交EC的延长线于点G 连结AD 分别交CE BC于点P Q 1 求证 是的外心 PACQ 2 若 求的长 3 tan 8 4 ABCCF CQ 3 求证 2 FPPQFP FG A F P Q Q G E F P D C O BA 5 成都中考 2011 共 10 分 已知 如图 以矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点为圆心 以 OA 长为半径 作 O O 经过 B D 两点 过点 B 作 BK AC 垂足为 K 过点 D 作 DH KB DH 分别与 AC AB O 及 CB 的延长线相交于点 E F G H 1 求证 AE CK 2 如果 AB a AD 为大于零的aa 3 1 常数 求 BK 的长 3 若 F 是 EG 的中点 且 DE 6 求 O 的半径 6 成都中考 2012 共 10 分 如图 AB 是 O 的直径 弦 CD AB 于 H 过 CD 延长线上一点 E 作 O 的切线交 AB 的延长线于 F 切点为 G 连接 AG 交 CD 于 K 1 求证 KE GE 2 若 2 KG KD GE 试判断 AC 与 EF 的位置关系 并说明理由 3 在 2 的条件下 若 sinE 3 5 AK 2 3 求 FG 的长 7 2012 上海 如图 在半径为 2 的扇形 AOB 中 AOB 90 点 C 是弧 AB 上的一个动点 不与点 A B 重合 OD BC OE AC 垂足分别为 D E 1 当 BC 1 时 求线段 OD 的长 2 在 DOE 中是否存在长度保持不变的边 如果存在 请指出并求其长度 如果不存在 请说明理由 3 设 BD x DOE 的面积为 y 求 y 关于 x 的函数关系式 并写出它的定义域 E B DC O A E D C B O A F E D C B O A 8 2012 湖北天门 8 分 如图 D为O 上一点 点C在直径BA的延长线上 CDACBD 1 求证 CD是O 的切线 2 过点B作O 的切线交CD的延长线于点E 若 2 6tan 3 BCCDA 求BE的长 E O D BC A O D BC A E O D BC A 9 2012 北京中考 已知 如图 AB 是 O 的直径 C 是 O 上一点 于点 D 过点 C 作ODBC O 的切线 交 OD 的延长线于点 E 连结 BE 1 求证 BE 与 O 相切 2 连结 AD 并延长交 BE 于点 F 若 求 BF 的长 9OB 2 sin 3 ABC E D C B O A H F E D C B O A 10 2012 辽宁朝阳 如图已知 P 为 O 外一点 PA 为 O 的切线 B 为 O 上一点 且 PA PB C 为 优弧上任意一点 不与 A B 重合 连接 OP AB AB 与 OP 相交于点 D 连接 AC BC A AB 1 求证 PB 为 O 的切线 2 若 O 的半径为 求弦 AB 的长 2 tan BCA 3 13 O PD C B A 11 2012 辽宁锦州 如图 在 ABC 中 AB BC 以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 D 过 D 做直线 DE 垂直 BC 于 F 且交 BA 的延长线于点 E 1 求证 直线 DE 是 O 的切线 2 若 cos BAC O 的半径为 6 求线段 CD 的长 3 1 O B F C D E A F E D C B O A 12 福建甫田 2012 本小题满分 10 分 如图 点 C 在以 AB 为直径的半圆 O 上 延长 BC 到点 D 使得 CD BC 过点 D 作 DE AB 于点 E 交 AC 于点 F 点 G 为 DF 的中点 连接 CG OF FB 1 5 分 求证 CG 是 O 的切线 2 5 分 若 AFB 的面积是 DCG 的面积的 2 倍 求证 OF BC E F G D C B O A E F G D C B O A E F G D C B O A 13 福建厦门 2012 本题满分 9 分 已知 如图 8 O 是 ABC 的外接圆 AB 为 O 的直径 弦 CD 交 AB 于 E BCD BAC 1 求证 AC AD 2 过点 C 作直线 CF 交 AB 的延长线于点 F 若 BCF 30 则结论 CF 一定是 O 的切线 是否正确 若正确 请证明 若不正确 请举反例 图 8 F B C E D O A 14 肇庆 2012 本小题满分 10 分 如图 7 在 ABC 中 AB AC 以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 E 交 BC 于点 D 连结 BE AD 交于点 P 求证 1 D 是 BC 的中点 2 BEC ADC 3 AB CE 2DP AD O D C B A E O D C B A P E O D C B A 15 如图 已知 AB 为 O 的直径 过 O 上的点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E AD EC 于点 D 且 交 O 于点 F 连接 BC CF AC 1 求证 BC CF 2 若 AD 6 DE 8 求 BE 的长 3 求证 AF 2DF AB O F E D C B A O F E D C B A G O F E D C B A 16 湖北十堰 2012 如图 1 O 是 ABC 的外接圆 AB 是直径 OD AC 且 CBD BAC OD 交 O 于点 E 1 求证 BD 是 O 的切线 2 若点 E 为线段 OD 的中点 证明 以 O A C E 为顶点的四边形是菱形 A B C E D P O G A O D E C B F 3 作 CF AB 于点 F 连接 AD 交 CF 于点 G 如图 2 求 FG FC 的值 E D C B O A D C B O A E D C B O A F G E D C B O A 17 2012 年湖北襄阳市 如图 PB 为 O 的切线 B 为切点 直线 PO 交 于点 E F 过点 B 作 PO 的垂线 BA 垂足为点 D 交 O 于点 A 延长 AO 与 O 交于点 C 连接 BC AF 1 求证 直线 PA为 O 的切线 2 试探究线段 EF OD OP 之间的等量关系 并加以证明 3 若 BC 6 1 tan 2 F 求 cos ACB 的值和线段 PE 的长 F EDO B A P C F EDO B A P C F EDO B A P 18 2012 广西桂林 10 分 如图 等圆 O1和 O2相交于 A B 两点 O1经过 O2的圆心 顺次连 接 A O1 B O2 1 求证 四边形 AO1BO2是菱形 2 过直径 AC 的端点 C 作 O1的切线 CE 交 AB 的延长线于 E 连接 CO2交 AE 于 D 求证 CE 2O2D 3 在 2 的条件下 若 AO2D 的面积为 1 求 BO2D 的面积 O2 O1 B A D C E O2 O1 B A 19 内蒙古包头 内蒙古包头 12 分 分 如图 已知 ABC 90 AB BC 直线 l 与以 BC 为直径的圆 O 相切于点 C 点 F 是圆 O 上异于 B C 的动点 直线 BF 与 l 相交于点 E 过点 F 作 AF 的垂线交直线 BC 与点 D 1 如果 BE 15 CE 9 求 EF 的长 2 证明 CDF B