高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5 夹角的计算 2.5.1 直线间的夹角 2.5.2 平面间的夹角课件 北师大版选修21(1).ppt

2 5 1直线间的夹角2 5 2平面间的夹角 1 掌握两直线的夹角的概念 范围 能够用向量法计算两直线的夹角 2 掌握平面间的夹角的概念 能够用向量法计算平面间的夹角 1 直线间的夹角 1 如图所示 当两条直线l1与l2共面时 我们把两条直线交角中 范围在内的角叫作两直线的夹角 2 如图所示 当直线l1与l2是异面直线时 在直线l1上任取一点a作ab l2 我们把直线l1和直线ab的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角 说明 用方向向量所成的角表示异面直线所成角的大小时 若向量夹角为锐角 或直角 则等于异面直线所成的角 若向量夹角为钝角 则它的补角等于异面直线所成的角 3 空间直线由一点和一个方向确定 所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定 如图所示 已知直线l1与l2的方向向量分别为s1 s2 当0 时 直线l1与l2的夹角等于 当 时 直线l1与l2的夹角等于 2 平面间的夹角 1 如图所示 平面 1与 2相交于直线l r为直线l上任意一点 过点r在平面 1上作直线l1 l 在平面 2上作直线l2 l 则l1 l2 r 我们把直线l1和l2的夹角叫作平面 1与 2的夹角 2 如图所示 平面 1和 2的法向量分别为n1和n2 mrn为两个平面的夹角 它由确定 说明 用法向量求两个平面的夹角时 应结合图形来判断求出的是两个平面的夹角还是它的补角 做一做2 已知三条射线pa pb pc的两两夹角都是60 则平面abp与平面bcp夹角的余弦值为 答案 a 题型一 题型二 题型三 例1 如图所示 在三棱柱oab o1a1b1中 平面obb1o1 平面oab o1ob 60 aob 90 且ob oo1 2 oa 求异面直线a1b与ao1所成角的余弦值 分析 先建立空间直角坐标系 求出点a1 b a o1的坐标 进而求得的坐标 再利用向量的夹角公式计算即可 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 例2 如图所示 正三棱柱abc a1b1c1的所有棱长都是2 d为cc1的中点 求平面aa1d与平面ba1d的夹角的余弦值 分析 求平面aa1d与平面ba1d的夹角 可以先建立空间直角坐标系 求出平面aa1d和平面ba1d的法向量 再利用向量的夹角公式计算 题型一 题型二 题型三 解 如图所示 取bc的中点o 连接ao abc是等边三角形 ao bc 在正三棱柱abc a1b1c1中 平面abc 平面bcc1b1 ao 平面bcc1b1 取b1c1的中点o1 以o为坐标原点 以直线ob oo1 oa分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思求两平面夹角的大小时 既可以作出平面角 利用解三角形的知识求解 也可以用向量知识求解 在用向量法求解时 应注意两个问题 一是建系后两个平面的法向量求解要正确 二是求出了两法向量的夹角后 应判断求出的是两平面夹角的大小 还是它的补角的大小 题型一 题型二 题型三 变式训练2 在底面是直角梯形的四棱锥s abcd中 abc 90 sa 平面abcd sa ab bc 1 ad 求平面scd与平面sba的夹角 的正切值 分析 可建立空间直角坐标系 求出两个平面的法向量 通过法向量的夹角进行求解 题型一 题型二 题型三 解 如图所示 以a为坐标原点 直线ad ab as分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 易错点忽略向量的夹角与所求角的关系导致出现错误 例3 在正方体abcd a1b1c1d1中 求二面角a bd1 c的大小 错解 以d为原点 建立如图所示的空间直角坐标系 设正方体的棱长为1 则由题意可知d 0 0 0 a1 1 0 1 c1 0 1 1 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 变式训练3 在一个二面角的两个面内各有一个与二面角的棱垂直的向量n1 0 1 3 和n2 2 2 4 则这个二面角的余弦值为 12345 12345 2 如图所示 长方体abcd a1b1c1d1中 ab aa1 2 ad 1 e为cc1的中点 则a1e与bd所成角的余弦值为 12345 解析 如图所示 以d为坐标原点 直线da dc dd1分别为x y z轴建立空间直角坐标系 则a1 1 0 2 e 0 2 1 b 1 2 0 d 0 0 0 答案 b 12345 3 自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线 则它们所成的角与这个二面角的平面角 a 互补b 互余c 相等d 无法确定答案 a 12345 4 如图所示 过边长为1的正方形abcd的顶点a作线段ea 平面abcd 若ea 1 则平面ade与平面bce夹角的大小是 a 30 b 45 c 90