椭球大地测量学.doc

614 贝塞尔微分方程的其他解法 推导贝塞尔大地问题解算公式，关键在于求解贝塞尔微分方程： ， (1)解算这组微分方程要用到椭圆积分。而椭圆积分的原函数一级不能用初等函数表示；贝塞尔将被积函数展开，逐项积分，把原函数表示为具有一定精度的比较简单的表达式。此外，还有其他各种不同的解法：或者将微分方程的形式加以改变，或者采用不同的积分方法。因而出现了各式各样的公式。详细评述各种解法是因难的。下面只对一些主要公式作简单的介绍。了解前人的工作，可能对后来的工作有所启发。一、维罗维茨方法利用d、d与du的关系，将(1)式改化为 ， （1）式中 (2 )然后将被积函数展开，逐项积分。公式结构比较复杂。二、安德列也夫方法将(1)式改化为， （3） 同样展开被积函数积分，公式也很复杂。 三、鼓尔默持法赫尔默特同样采用贝塞尔辅助球，但规定大地线及其投影后的大圆弧从其纬度最高点起算，向东为正；如图610。 由图知代入（1）第一式，得引入辅助量： 代入前式，经变换，可得同样对于（1）式的第二个微分方程有 （6）然后将上式展开积分。 赫尔驮特采用级数回求法，在由s求时，消除了迭代计算。用予正解比较方便，而反解仍需迭代。 1954年博德米勒曾依据海福特椭球将贝塞尔赫尔默特公式各系数编成了算表。1957年史腊德又对该算表作了改进。1974年总参测绘局第二测绘大队编制过依据克拉索夫基斯椭球的算表。 四、韦贝尔方法 韦贝尔在贝塞尔和赫尔默特方法的基础上，作了一些改进。他把子午线弧长的计算公式转化为大地线的长度计算，并且采用具有一定精度的封闭公式，结构比较简单。同赫尔默特方法一样，在正解中由s求无需达代，而反解仍需迭代。详细说明可参考13。 五、勒瓦路易杜皮方法参考6-8，有 设 ， 积分得 (7) 同样可以改化经差计算公式。 J2、J4人可由瓦利斯积分数值表中查取。瓦利斯积分表是法国人编算的，间隔太大，内插不甚方便，计算精度不太高。因此，这种方法没有在大地测量中得到广泛的应用。 六、约尔旦方法已知 贝塞尔微分方程(1)式可以写成 ， (1) 约尔旦方法仍以贝塞尔微分方程为基础，但是，不是将v展为e2或e2的幂级数逐项积分，而是利用台劳级数值直接将展为S的幂级数，将展为l的幂级数。它们的一般形式是：， （8）式中下标“1”表示这些倒数应依据P1点的B1和A1计算。由 (1) 式知道 ， ， （9） 注意到， 可得 进而有又因得到进而将求得的各阶导数代入（9）式，再代入（8）式，即可实现与S、与l的变换。显然，约尔旦方法在使用上受到距离的限制。为了便于实际应用，约尔旦公式还要作一些技术性处理，见51。七、数值积分法解算贝塞尔微分方程在于求解积分 ， （10）现将第二式加以改变：由6-8（19）式知代入前式，得 （11）数学文献上讲述许多数值积分方法。文献290认为高斯数值积分法所需的节点最少，精度最高。依据高斯数值积分公式 （12）式中 n是节点数，x i 是第i个节点的自变量，f( x i )是第i个节点处的函数值。R i和Vi是高斯积分公式的常数，见附录七。将高斯积分公式用于(10)和(11)式，得 （13）式中 (14)于是有 ， （15）或者写成， （16） 为了计算E、E，需要计算出节点Pi处的u i。由图6 - 11可以写出：(17 ) 据文献731研究，如果取五个节点，对于任意长距离，长度计算误差为0.001米，经纬度、方位角的计算误差为0.0001。八、嵌套系数法 68导出的(10)式、（12)式和(20)式中，含有A、B、C、 以及、等系数。而这些系数中包含有K2 ( e 2 cos2 m ) 和 K2 (e2 cos2 m )的各次幂。为了便于在电子计算机上计算，在保持原有精度的条件下(仍取至e 4项)，将公式加以调整。由68(10)式顾及6-8（13）式， ，前式可以写成 （18）同样，对于经差变换公式，由68（20）式有 ， 可以写成 （19）上述类型的公式有的文献叫嵌套系数公式文献 262 和 136 给出扩展至e 6 项嵌套公式，并在其他细节上给予不同的说明。嵌套系数公式与68给出的相应公式精度相同，但结构紧凑些，适于电算。当然，应用恢套公式仍然需要迭代。615 保持纬度不变的大地投影张志新公式贝塞尔投影是保持方位角不变的大地投影。张志新在推导长距离大地问题解公式时，采用了保持纬度不变的大地投影。椭球面上的大地线投影到辅助球面上仍为大圆弧，但球面纬度和方位角度按下式确定183184185： , （1）Bn是椭球面大地线最高点的大地纬度（90-m），90-Bn相当于贝塞尔公式中的m 。（1）式给出了球面上的三个元素，还需要推求另外三个元素2、和。首先讨论2和A2的转换关系将克莱劳定理用于球面上的大圆弧：依据（1）式，有 （2）即 （3）另外，由循球面上大地线的克架劳定理： （4）（4）式除（3）式，得 （i=1,2） （5）顾及 得到 或者顾及（4）式可得 ， （6）张志新投影方法同贝塞尔投影方法相比，纬度计算简单了，但方位角的计算复杂了。 下面讨论ds和d。、以与dA的微分方程。球面上大圆的微分方程为 ， 依据(1)式，上式可写成 ， 而椭球面上大地线微分方程为 ， 比较以上两组方程，可以得到， （7）上式就是边长和经差的微分方程。类似于贝塞尔的方法，对上式进行积分，即可求得S与、l与的关系式：（8）式中（9）上式展开至e6项，同贝塞尔公式展开至e6 项的精度相当。616 椭球面对球面的正形投影椭球面对球面的正形投影是数学制图学中的一个基本问题。这里用它来解算大地问题。椭球面正形投影到球面上的方法，是高斯1844年提出的。下面说明这种投影的要点。设辅助球的半径为R，球面经差为，球面纬度为。可以写出于午圈投影长度比 （1）平行圈投影长度比 （2）依据正形投影的理论(详细说明见第十章)，投影长度比与方向无关，即m为任意方向投影长度比。将上式代入(1)式、（2）式，得或 （3）设 （4） （5）（3）式可以写成 （6）现提出以下条件；椭球面子午线投影到球面仍为子午线，即球面经度仅为大地经度的函数；椭球面平行圈投影到球面仍为平行圈，即球面纬度仅为大地纬度的函数。因此，可设 （7） （8）进而由（6）式，得 （9） （10）A、K是投影常数。 (8)式和(10)式建立起椭球面上点位(q、l)与球面上相应点位（q、）的投影关系。q叫等量纬度。至于等量纬度与对应的纬度之间的关系，可按以下方法确定： 为便于计算第二个积分，设两端微分： 因此有 而 因此 （11） (11)式是大地纬度B与椭球面等量纬度q之间的关系式。 对于球面，因为e0，球面纬度与球面等量纬度q的关系式为 （12） 在上述投影过程中，除了辅助球半径R以外，还有两个待定常数A和K。确定这三个常数，需要三个条件。 前面讲到，正形投影的长度比与方向无关，仅与点位(纬度)有关： （13）展开上式： （14）为了使投影长度比接近于1，且随纬差的增大而作缓慢的变化，现提出一下三个条件： （15） （16） （17） 上式表明，在纬度为B1的平行圈上，长度比等于1。这个平行圈叫做标准平行圈。从标准平行圈向南向北延神，长度比的变化十分缓慢，仅与m对B的三阶导数有关。 将（7）式代入（3）式，得 （19）由此得 （20）顾及（16）式，有即 （21）为了满足（17）式，可以要求而因而有 （22）或 由（21）式有因此于是确定了常数A： （23） 常数K按下述方法确定，由B1和A按（21）式计算1。依据B1、1由（11）式、 （12）式计算q1和q1。按（10）式求K： （24）最后，由条件，写出顾及（22）式，有 （25）由此得出，辅助球的半径等于标准纬度处的平均曲率半径。至此三个待定常数已经完全确定了。于是通过（7）式可由l求得，通过（10）式可由q求得q。而由（11）式、（12）式知道，q是B的函数，q是的函数。因此，椭球面上的一定点（B、l），在球面上有唯一的点（、）与之相应。 下面讨论长度比的变化。略去推导，约出长度比对纬度的三阶导数：代入（18）式，得 （26）取B1=45，B- B1=1.5，则 由此知道，当纬差小于3度时，长度变形（m1）的最大值小于110-8。这个误差通常可以不计。因此，对于纬幅小于3度的地区，如果以平均纬度处的平均曲率半径为半径作辅助球，那么，可用辅助球面代替椭球面。两个面上对应的角度相等，长度变形可以忽略。就是说，在一定的范围（）和精度要求（）之内，可将椭球面上的大地问题解算转化到球面上来解算。6-17 应用椭球面对球面的正形投影解算大地问题(一)高斯平均引数公式的另一推导方法现在利用上节的结果解算大地问题。1椭球面元素正形投影到球面上设椭球面上P1、P2两点的大地纬度为B1、B2，大地经度为L1、L2，两点间的距离为S，前进大地方位角为A1、A2。经差、纬差、方位角差为 ， ， （1）又设中纬度、中方位角为 （2）， （3）将椭球面三角形PlP2N正形投影到半径为的辅助球面上，得。P1、P2的球面纬度为1、2，经差为。设， （4）由上节(8)式知道 （5）由上节(22)式知道 （6）而的方位角与PlP2的方位角相等。因为长度变形可以忽略，因此，而。 2解算球面三角形利用球面三角的高斯德兰布尔公式，顾及（1）、（2）、（3）、（4）各式，可以写出： ， ，（7）将上式中的小角度正弦、余弦函数展开，得 （8）最后一式可以写为 （9）由(8)式前三式略去高次项，化简得到（10）3.球面元素转化到椭球面上将（5）式、（6）式代入（10）式的第一式，顾及，得 （11）另外，由于 （12）代入（10）式的第二式，得 （13）最后，方位角公式可以写为 （14）顾及 最后得到 (15)上式与6-4（17）式相同。这里应用完全不同于6-4的方法，又一次导出了高斯平均引数大地问题解算公式。可以看到，在高斯解法中，不是直接特大地纬度化为球面纬度，而是运用根简单的方法将球面纬差化为椭球面纬差，避开了等量纬度，计算大为简易。618 应用椭球面对球面的正形投影解算大问题(二)博林公式1981年博林应用椭球面对面的正形投影，导出了一组大地问题解算公式202。与高斯解法不同（高斯取平均纬圈为标准平行圈），博林取通过P1点的平行圈作为标准平行圈，因此在正解中无需迭代。对于短距离（S150公里）大地问题，仍能保持足够的精度。博林公式的推导有某些特点，结构不算复杂。文献232曾推荐博林公式作为短距离大地问题解算的实用公式。下面依据随林的基本思想，采用本书惯用的锗号和已有公式，详细叙述解算方法。公式推演过程有所简化，而最终形式基本与原著相同。 一、大地问题正解仍然使用图6-13，有以下关系 （1） （2）顾及 （6-16（21）式） （3） （4）式中 ，（3）、（4）式代入(1)式，得 （5）另外有 （6）（3）式、（4）式代入上式，顾及得，或 （7）为了计算P2、P1之间的纬差，利用球面子午弧长X等于椭球面对