第2章2.1.1（一）.docx

21.1函数的概念和图象(一)明目标、知重点1.理解函数的概念，明确决定函数的三个要素.2.学会求某些函数的定义域.3.掌握判定两个函数是否相同的方法.4.理解静与动的辩证关系1函数的概念设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为yf(x)，xA.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域2求函数定义域的基本方法求函数的定义域实质上是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围已知函数yf(x)：(1)若f(x)为整式，则定义域为R；(2)若f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；(3)若f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合；(4)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；(5)若f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合情境导学初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质对于y1(xR)是不是函数，如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要探究点一函数的概念思考1分析课本上的实例，谈谈函数的概念如何从集合及对应的角度定义？函数的定义域是怎么定义的？答一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为yf(x)，xA.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域思考2理解函数的定义，我们应该注意什么？答函数是非空数集到非空数集上的一种对应符号“f：AB”表示A到B的一个函数，它有三个要素：定义域、值域、对应法则，三者缺一不可集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性f表示对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示例1判断下列对应是否为函数：(1)x，x0，xR；(2)xy，这里y2x，xN，yR.解(1)对于任意一个非零实数x，被x唯一确定，所以当x0时x是函数，这个函数也可以表示为f(x)(x0)(2)考虑输入值为4，即当x4时输出值y由y24给出，得y2和y2.这里一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应)，所以，xy(y2x)不是函数反思与感悟判断一个对应是不是函数，关键看与自变量x对应的y值是不是唯一，函数可以允许多个不同的x的值对应一个y值，但不允许一个x对应两个或两个以上的y值跟踪训练1判断下列对应是否为集合A到B的函数，若不是，说明原因(1)A1,2,3,4,5，B2,4,6,8,10，f：x2x；(2)A1,2,3,4,5，B0,2,4,6,8，f：x2x；(3)A1,2,3,4,5，BN，f：x2x.解(1)是A到B的函数；(2)不是，因为A中的元素5在B中没有值对应；(3)是A到B的函数探究点二求函数的定义域思考1函数概念用集合对应的语言叙述后，思考y1(xR)是函数吗？yx与y是同一个函数吗？答y1(xR)是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应法则“函数值是1”，在R中y都有唯一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数yx与y不是同一个函数，因为尽管它们的对应法则一样，但yx的定义域是R，而y的定义域是x|x0所以yx与y不是同一个函数思考2如果两个函数的对应法则和定义域相同，这两个函数相等吗？答由于函数的值域由函数的定义域和对应法则确定，所以当两个函数的对应法则和定义域相同时，这两个函数相等例2求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)g(x).解(1)因为当x10，即x1时，在实数范围内有意义；当x10，即x1时，在实数范围内没有意义，所以这个函数的定义域是x|x1(2)因为当x10，即x1时，有意义；当x10，即x1时，没有意义，所以这个函数的定义域是x|x1，且xR反思与感悟函数的定义域通常由问题的实际背景确定如果只给出解析式yf(x)，而没有指明它的定义域那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合函数的定义域可用两种方法表示：集合、区间跟踪训练2求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x).解(1)当x20，即x2时，有意义，这个函数的定义域是x|x2(2)当3x20，即x时，有意义，函数y的定义域是，)(3)由，这个函数的定义域是x|x1x|x21,2)(2，)探究点三求抽象函数的定义域例3(1)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x2)的定义域；(2)已知函数f(2x1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域解(1)f(x)的定义域为(0,1)，要使f(x2)有意义，须使0x21，即1x0或0x1，函数f(x2)的定义域为x|1x0或0x1(2)f(2x1)的定义域为(0,1)，即其中的函数自变量x的取值范围是0x1，令t2x1，1t3，f(t)的定义域为1t3，函数f(x)的定义域为x|1x0，对应法则f：“对M中的三角形求面积与N中元素对应”是集合M到集合N上的函数的有_个答案1解析M中有的元素在N中无对应元素如M中的元素0；M中的元素不是实数，即M不是数集；只有满足函数的定义2设f：xax1为从集合A到B的函数，若f(2)3，则f(3)_.答案5解析f(2)3，2a13，解得a2.f(3)3a15.3在对应法则：xy，y|x|b，xR，yR中，若25，则2_，_6.答案53解析由25得b3，故x2时，y5；y6时，x3.4下列各组函数中，表示同一函数的有_个yx1和y；f(x)x2和g(x)(x1)2；f(x)和g(x).答案1解析中两函数的定义域不同；中两函数的对应法则不同，中两个函数都能化为f(x)1(x0)，表示同一个函数5下列关于符号yf(x)表示的意义解释正确的是_(填序号)y等于f与x的积；y是x的函数；对于同一个x，y的取值可能不同；f(1)表示当x1时，y1.答案解析显然不对；不符合函数的定义；中f(1)表示当x1时的函数值，并不一定等于1；只有正确6函数yf(x)的图象与直线x2的公共点有_个答案0或1解析当x2在函数yf(x)的定义域中时，公共点是1个；当x2不在函数yf(x)的定义域中时，公共点是0个7判断下列对应是否为集合A到集合B的函数(1)AR，Bx|x0，f：xy|x|；(2)AZ，BZ，f：xyx2；(3)AZ，BZ，f：xy；(4)Ax|1x1，B0，f：xy0.解(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应法则f：xyx2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数(3)集合A中的负整数没有平方根，故在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则f：xy0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数二、能力提升8设Mx|2x2，Ny|0y2，函数yf(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数yf(x)的图象的是_ 答案解析由函数定义可知，任意作一条直线xa，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知中图象不表示y是x的函数9下列函数中，不满足f(2x)2f(x)的是_f(x)|x|；f(x)x|x|；f(x)x1；f(x)x.答案解析将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等对于，f(2x)|2x|2|x|2f(x)；对于，f(2x)2x|2x|2(x|x|)2f(x)；对于，f(2x)2x12f(x)；对于，f(2x)2x2f(x)，故只有不满足f(2x)2f(x)，所以填.10若函数f(x)ax21，a为一个正常数，且ff(1)1，那么a的值是_答案1解析f(1)a(1)21a1，ff(1)a(a1)21a32a2a11.a32a2a0，a1或a0(舍去)11已知函数f(x).(1)求函数f(x)的定义域(用区间表示)；(2)求f(1)，f(12)的值解(1)根据题意知x10且x40，x4且x1，即函数f(x)的定义域为4,1)(1，)(2)f(1)3.f(12)4.12已知函数f(x)的定义域为集合A，Bx|x2所以，这个函数的定义域是x|x3x|x2x|2x3即Ax|2x3(2)因为Ax|2x3，Bx|x3.(3)因为Ux|x4，Ax|2x3，所以UA(，2(3,4因为a1，所以Bx|x1，所以UB1,4，所以AUB1,3三、探究与拓展13如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象解(1)横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(22h)m