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数学(理工农医类)参考答案一、 选择题:本体考察基本概念和基本运算。每小题5分,满分60分。(1) C (2) B (3) A (4) D (5) D (6) B(7) C (8) B (9) A (10)D (11) B (12) A二、填空题:本题考查基础知识和基本运算。每小题4分,满分16分。 (13) -20 (14)4 (15) (16)三、解答题(17)本小题主要考查同角三角函数间的关系,两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。解:()、为锐角,又, 6分()由()知,. 由正弦定理得,即, , , 12分(18)本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算,考察运用概率只是解决实际问题的能力。 解:()由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”, 事件为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”, 事件为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡”。 所以在该团中随机采访3人,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。6分()的可能取值为0,1,2,3 , , 所以的分布列为0123 所以, 12分 (19)本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识,考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识,考察应用向量知识解决数学问题的能力。解法一:()因为平面平面,平面,平面平面,所以平面所以.因为为等腰直角三角形, ,所以又因为,所以,即,所以平面。 4分 ()存在点,当为线段AE的中点时,PM平面 取BE的中点N,连接AN,MN,则MNPC 所以PMNC为平行四边形,所以PMCN 因为CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内, 所以PM平面BCE 8分 ()由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知,EA平面ABCD作FGAB,交BA的延长线于G,则FGEA。从而,FG平面ABCD作GHBD于G,连结FH,则由三垂线定理知,BDFH因此,AEF为二面角F-BD-A的平面角因为FA=FE, AEF=45,所以AFE=90,FAG=45.设AB=1,则AE=1,AF=.FG=AFsinFAG=在RtFGH中,GBH=45,BG=AB+AG=1+=,GH=BGsinGBH=在RtFGH中,tanFHG= = 故二面角F-BD-A的大小为arctan. 12分解法二:()因为ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AEAB.又因为平面ABEF平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF平面ABCD=AB,所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1,则AE=1,B(0,1,0),D (1, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因为FA=FE, AEF = 45,所以AFE= 90.从而,.所以,.,.所以EFBE, EFBC.因为BE平面BCE,BCBE=B ,所以EF平面BCE. ()存在点M,当M为AE中点时,PM平面BCE. M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ). 从而=,于是=0 所以PMFE,又EF平面BCE,直线PM不在平面BCE内, 故PMM平面BCE. 8分()设平面BDF的一个法向量为,并设=(x,y,z). , 即 取y=1,则x=1,z=3。从而。取平面ABD的一个法向量为。故二面角FBDA的大小为arccos。12分(20)本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识,以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。 解:()有条件有,解得。 。 所以,所求椭圆的方程为。4分()由()知、。 若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1. 将x=-1代入椭圆方程得。 不妨设、, . ,与题设矛盾。 直线l的斜率存在。 设直线l的斜率为k,则直线的方程为y=k(x+1)。设、,联立,消y得。由根与系数的关系知,从而,又,。 。化简得解得(21)本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。解:()由题意知当当当.(4分)()因为由函数定义域知0,因为n是正整数,故0a对一切大于1的奇数n恒成立只对满足的正奇数n成立,矛盾。另一方面,当时,对一切的正整数n都有事实上,对任意的正整数k,有 当n为偶数时,设则 当n为奇数时,设则对一切的正整
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