上海交通大学第08届物理竞赛.pdf

第八届上海交通大学 大学生物理竞赛 试题及参考答案试题及参考答案 上海交通大学物理协会版权所有 未经授权不得修改 复制 翻录 传播 翻译 汇编 公之于众 第一试 1 一雨滴的初始质量为 0 m 在重力的影响下 由静止开始降落 假定此雨滴从 云中得到质量 其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬时速度的乘积 kmv dt dm 式中k为常量 试证明雨滴的速率实际上最后成为常量 并给出终极速率的表达 式 忽略空气的阻力 答 由变质量的运动方程 mdm vdvmvudmmgdt 此处 0u 2 2 kvg dt dv mg dt dv mkmv kmv dt dm mg dt dv mv dt dm Q 速度增加到右边为0时 加速度为0 速度不再变化 2 考虑一个平面 一条直线把平面分为左右两边 质点在两边的势能分别为 l U 和r U 当一个质点以速率v斜入射并通过这条直线时 方向如何变化 答 设左右两边分界线为直线l 粒子运动速度与l的法线夹角为 l 当粒子经 过l后 速度为r v 与法线夹角r 平行于界面动量不变 sinsin lrr mvmv 机械能守恒 22 11 22 lrr mvUmvU 由此解出 2 2 v m UU v rl r 2 sin arcsin 2 2 v m UU v rl l 3 一个理想成像的薄凸透镜 一个直的傍轴物体 与主光轴有一定倾斜角 它 的像是直的还是弯的 1 请回答此问题并根据成像公式给出严格的数学证明 只需在平面坐标下 证明 2 你能从物理角度给出一个非常简洁的的证明么 答 1 设y轴为凸透镜 焦距f 物所在直线方程为y kx b x 222 0 cossin 固有长度分量 sin cos 0 0 ll ll y x 可以看出 它与x轴夹角并不是 而是比 小 设为1 在杆的参照系下 栅栏的长度也发生了变化 如下 sin cos cos sin 2 2 2 ll l l lll y x 0 0 0 1 求粒子的能级和波函数 2 处于第n个能级的粒子 求其位置平均值的和涨落 3 求出经典力学下的 x 和 2 xx 并与 2 中的结果比较 4 计算粒子处在区间 0 a 2 1 内的量子概率和经典概率 比较其结果 5 若在t 0时 粒子处在状态 01 2 3 2 1 求位置 x 和动量 p 随时间的演化 6 下面给出了氢原子电子在n 2 l 1状态下的波函数 n为主量子数 l为角量 子数 m为磁量子数 表达式为求坐标下的表达式 053 0 2 1 3 1 1 2 sin 8 3 1 1 cos 4 3 0 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 1 0 1 1 nm e r rRln eYml Yml rRYr r i lnml 请定性描述这种状态下的各种可能电子云形状 并通过一些简单的计算支持你的 观点 答题字数 500以上 前五问要给出尽量详细的计算过程 答 1 薛定谔方程 t iV xm h h 0 2 22 2 把波函数方程的解写为 h iEt ex tTxtx 求解定态的薛定谔方程 ExV m 2 2 2 h 对于势阱内部 0 V 方程转化为 0 2 2 22 E dx d m h 求解此微分方程有 sin kxA 考虑边界条件 波函数在 ax 0 处为零 即得常数 0 且有量子化条件 2 1 nnka 于是定态的波函数解为 2 1 8 sin 2 22 n ma hn E a xn Ax n n 作归一化处理 aA 2 粒子波函数为 2 1 0 sin 2 n axe a xn atx tiE n n h 2 对于第n能级 位置平均值和涨落 6 1 12 2 2 22 2 0 22 0 n a dx a xxx adxxx a nn a nn 3 在经典力学下 粒子在陷阱中任一处都是等概率的即 aP 1 所以 12 2 2 2 0 22 0 a dx a xPxx axdxPx a a 可以看到 由量子力学解出的位置平均值和经典力学下的结果是一样的 这是由 对称性决定的 而量子力学解出的涨落在取 n 的极限就是经典力学下的解 可见经典力学下的解不过是量子力学在取量子数趋向于无穷大的极限 这一点对 位置平均值也是适用的 这恰好反映了波尔的对应原理 4 由对称性 其结果显然都为1 2 5 对于 01 2 3 2 1 它并不是一个新的状态 若粒子的波函数满足以上等 式 我们能肯定的只是粒子在任一时刻要么处在1 要么处在 0 且二者必居 其一 这实际上是粒子在不同能级间跃迁时所处的状态 考虑波函数的时间部分 sin 2 32 sin 2 1 2 2 3 2 1 01 12 hhtiEtiE e a x e a x a 据此求解粒子位移和速度与时间的关系 cos sin 2 sin 4 3 sin 4 32 sin 4 12 0 22 0 2121 tBA dxee a x a x a x a x x a dxxx a tEEitEEi a nn hh 其中A B为常数 h 12 EE 由上式可见 粒子位置的平均值是随时间变化的 且形式为简谐振子 由电 磁辐射原理 若此粒子为电子 它会发出频率为 hEE 12 的光子 其能量恰 好为12 EE dx tEEi a x a xtEEi a x a x a x aa x aa i dxe a x a e a x a e a x e a x a i dx x ip a a tiEtiEtiEtiE a nn 0 2121 0 0 exp cos 2 sin exp 2 cossin 2 sin 8 34 sin 4 2 cos 2 32 cos 2 2 1 sin 2 32 sin 2 1 2 1212 hh h h h hhhh tDFtFtDCi tEEi iF tEEi iDiC sin coscos exp exp 2121 hh 其中C D F为常数 取实部 可见其动量平均值亦符合简谐振子的运动形式 角速度 h 21 EE 6 根据计算可以得到p能态电子云应该是绕z轴旋转对称的 经计算 m 0 的电子云主要分布在z轴附近 形状类似于一个哑铃 m 1或m 1的电子云分 布在xy平面 形状如同中间薄边缘厚的饼或面包圈 注 对应原理 波尔认为 在原子范畴内的现象与宏观范围内的现象可以各自遵循本范围内 的规律 但当把微观范围内的规律延伸到经典范围内时 则它所得到的数值结果应该与经典 规律所得到的相一致 2 1 如果一个物理过程在自然界中发生 它是满足某一个物理规律 如果有 一面镜子 那么你在镜子中将看到一个与这个过程 对称 的过程在镜子中发生 请问 在镜子中的那个物理过程是否也满足同一个物理规律 2 把一块牛排放在镜子旁 在镜子中会出现一个虚像 如果在现实生活中存 在一块与那个虚像全等的牛排 那么你吃下这块牛排 将会对你造成什么影响 3 如图 一根直导线旁边放一个磁针 那么磁针会在磁场的作用下旋转 在 这个系统旁边放一块镜子 那么镜子中的那个直导线产生的磁场和原来的磁场时 相同的 但你看到镜子中的磁针却像另一个方向偏转 这是否说明在我们这个世 界中适用的物理规律在镜子中的那个 世界 是不适用的呢 请详细分析 4 放开你的眼界 你能否找到一个现象 说明在我们这个世界中适用的规律 在镜子中的世界不适用 5 谈谈你对对称性的理解 答题字数 500以上 3 1 电影 黑客帝国 描述了未来人类与机器人发生战争的情景 人类为了 战胜机器 就引爆核弹 让激起的尘埃遮蔽天空 以为没有了太阳能 机器就失 去了能源从而失去动力 可是机器却俘虏大量人类 利用人的新陈代谢释放的能 量给他们提供电能 死去的人就被分解后给其他人提供营养 就这样 利用这个 巨大的