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文档简介

第四册高等数学第2章 （之11）第12次作业教学内容：2.5 高阶导数*1. 解: .*2. 设 均存在 2 阶导数试推导公式。解：由，得 .*3. 解: *4. 求由方程 所确定的隐函数 的二阶导数。解：两边同时对 求导数，得 ， 两边同时再对求导数，得 ，整理得 .*5.设 ，试证 .证：，.*6.设是的反函数，且存在，证明：(1) ； (2) .证：（1）由反函数与直接函数导数的关系，知有 。于是.（2） .*7. 解: ，.*8. .解: ，.*9. 设都是n次可微函数，有如下莱布尼兹公式. 利用莱布尼兹公式，求函数的 阶导数.解：由于当时，。所以，利用莱布尼兹公式可求得 .第3章 （之1）第13次作业教学内容：3.1微分*1. 解: .*2. 解:.*3. 解: ， 则.*4. 解: 由, 得 .*5. 解: .*6. 解:.*7.解: ,.*8.解: ， .*9. 解: .*10.设扇形的圆心角，半径，如果保持不变，减少，问扇形面积约改变多少？如果不变，增加，问扇形面积约改变多少？解：扇形面积公式为，（1） 视为变量，则。（2） 视为变量，则.*11.测得一个角大小为，若已知其相对误差为，问由此计算这个角的正弦函数值所产生的绝对误差和相对误差各是多少？解：设角度为，于是，由微分近似计算，有 （1）； （2）.第3章 （之2）第14次作业教学内容：3.2微分中值定理*1. ,使.*2. （ ） *3.设（其中），不用求，说明方程有几个实根，指出它们所在的区间。解：显然，在三个闭区间上连续，且在内可导，又因为有，由罗尔中值定理，至少存在三点，使得. 又是一个实系数一元三次多项式函数，所以方程在实数范围内最多只有三个根，亦即。它们的所在区间为 .*4.若已知方程有一个正根，证明方程至少有一个小于的正根.证：考虑闭区间，显然函数在上连续，在内可导，且有。所以由罗尔中值定理值必存在一个，使得.*5.设在上连续，在内可导，试证：存在，使.证：令，显然在上连续，在内可导，且。由罗尔中值定理知，存在，使得，即.*6.证明下列不等式：.证：令，显然在上连续,在内可导，故由拉格朗日定理，知必存在一个，使得 由式，显然有 ， 即 ， 亦即 ，证毕.*7.设在上可微，且。试证明：在上恒成立（其中是常数）。证：对任意的，显然在由与构成的闭区间或上满足拉格朗日条件,所以，在与之间必存在一个，使得 , 由已知，及，代入式，即得 ；而当时，于是可得对任意的，都有 .*8. ，其中.，.*9. 若，计算极限.解：依题意，函数在闭区间上必连续，在内必可导，故符合Lagrange中值定理的条件。所以，使 ，其中 ，当时，有 ，.*10.设在上具有1阶连续导数，在内存在，且。又存在常数，使。试证，至少存在一点，使.证：依题意，在及上均满足拉格朗日中值定理的条件，
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