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1 第八章 采样系统理论 8 1采样过程与采样定理 主要内容 8 2信号的恢复与零阶保持器 8 3z变换与z逆变换 8 4脉冲传递函数 8 5采样系统的性能分析 8 6采样系统的数字校正 返回主目录 3 基本要求 正确理解采样过程 采样定理 信号复观和零阶保持器的作用 了解采样系统与连续系统的区别与联系 z变换和z逆变换 熟练掌握几种典型信号的z变换和通过部分分式分解进行逆变换 了解用z变换法解差分方程的主要步骤和方法 正确理解脉冲传递函数的概念 熟练掌握简单采样系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法 掌握典型闭环采样系统输出的z变换表达式 返回子目录 4 熟练掌握z域稳定性的判别方法 熟练掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法 正确理解终值定理的使用条件 积分环节与系统的型别的关系 熟练掌握瞬态响应与极点分布的对应关系 掌握最小拍采样系统的设计步骤 5 图8 1机载火力控制系统原理图 6 8 1采样过程与采样定理 一 采样过程 将连续信号转换成离散信号的过程 返回子目录 7 图8 3信号的采样过程 8 实现上述采样过程的装置称为采样开关可用图8 3 d 所示的符号表示 8 1 8 2 9 则采样信号可以表示为 8 4 8 3 其中 为采样频率 Fourier系数由下式给出 10 若连续信号的Fourier变换为 则采样信号的Fourier变换为 连续信号与离散信号的频谱曲线如图8 4所示 8 5 11 图8 4连续信号与离散信号的频谱 12 当时 主分量与补分量不再发生重叠 如图8 5所示 图8 5连续信号与离散信号的频谱 13 香农 Shannon 采样定理 若存在一个理想的低通滤波器 其频率特性如图8 6所示 便可以将采样信号完全恢复成原连续信号 由此可得如下著名的 图8 6 香农 Shannon 采样定理 14 如果采样频率满足以下条件 式中为连续信号频谱的上限频率 则经采样得到的脉冲序列可以无失真地恢复为原连续信号 8 6 15 二 理想采样过程 为了简化采样过程的数学描述 引入如下理想采样开关的概念 载波信号可以近似成如下理想脉冲序列 8 7 16 再设当时 则采样过程的数学描述为 此时 采样过程如图8 7所示 理想采样开关的输出是一个理想脉冲序列 8 8 17 图8 7理想采样开关的采样过程 18 同样 可以展成如下Fourier级数 19 图8 9连续信号和采样信号的频谱 20 注意 上述香农采样定理要求满足以下两个条件 频谱的上限频率是有限的 2 存在一个理想的低通滤波器 但可以证明理想的低通滤波器在物理上是不可实现的 在实际应用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器 21 8 2信号的恢复与零阶保持器 信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的过程 能够实现这一过程的装置称为保持器 可将 展成如下泰勒级数 时 8 13 返回子目录 22 各阶导数的近似值 由此类推 计算n阶导数的近似值需已知n 1个采样时刻的瞬时值 若式 8 13 的右边只取前n 1项 便得到n阶保持器的数学表达式 8 14 23 零阶保持器的数学表达式为 8 16 24 理想采样开关的输出Laplace变换为 零阶保持器的输出为 8 17 8 18 25 由上式可知零阶保持器的 8 20 8 19 传递函数 26 零阶保持器的频率特性为 相频特性为 8 22 8 23 其幅频特性为 27 其中 零阶保持器的频率特性曲线如图8 11所示 对比图8 6可知零阶保持器是一个低通滤波器 但不是理想的低通滤波器 它除了允许信号的主频谱分量通过外 还允许部分高频分量通过 28 图8 11零阶保持器的频率特性曲线 29 8 3z变换与z逆变换 一 z变换连续信号经采样后得到的脉冲序列为 对上式进行Laplace变换 得 8 25 8 26 返回子目录 30 引入一个新的复变量 将式上式代入式 8 26 可得z变换的定义式如下 称为的z变换 记作或 由此可看出是关于复变量的幂级数 8 28 8 29 31 例8 1求单位脉冲信号的z变换 解 设 则由于在时刻的脉冲强度为1 其余时刻的脉冲强度均为零 所以有 32 例8 2求单位阶跃信号的z变换 解 设 则该级数的收敛域为 在该收敛域内 上式可以写成如下闭合形式 33 例8 3求单位斜坡信号的z变换 设 则上式两边对z求导数 并将和式与导数交换 得上式两边同乘 便得单位斜坡信号的z变换 解 34 例8 4求指数函数的z变换 解 设 则 35 例8 5 设 求的z变换 解 上式两边求Laplace逆变换 得 再由例8 2和例8 4有 36 注意 不能直接将代入来求 因为z变换是针对采样信号进行z变换 37 二 z变换的基本定理 其中和为任意实数 1 线性定理 8 30 38 证明 39 2 实数位移定理 若的z变换为 则 8 31 8 32 40 证明 证明式 8 31 由于当时 所以有 41 证明式 8 32 42 3 复位移定理 已知的z变换函数为 则 43 4 z域尺度定理 若已知的z变换函数为 则 44 三 z逆变换 z逆变换是z变换的逆运算 其目的是由象函数求出所对应的采样脉冲序列 或 记作 8 35 45 1 部分分式法 上式两边同乘z 再取z反变换得 8 36 8 37 8 38 若象函数是复变量z的有理分式 且的极点互异 则可展成如下形式 46 例8 6 已知z变换函数求其z逆变换 47 解 首先将展成部分分式 48 2 长除法 对比式 8 29 可知 若z变换函数是复变量z的有理函数 则可将展成的无穷级数 即 49 例8 7 已知z变换函数为求其z逆变换 50 解 由 运用长除法得 由此得 于是脉冲序列可以写成 51 3 留数计算法 由z变换的定义可知 8 43 52 设的极点为 则 包围了 的所有极点 53 例8 8 已知z变换函数为试用围线积分方法求z逆变换 54 解 上式有两个极点和 且 所以 55 四 初值定理和终值定理 1 初值定理设的z变换为 并且有极限存在 则 8 49 56 2终值定理 设的z变换为 且的极点均在z平面的单位圆内 则 8 50 57 五 用z变换法解线性常系数差分方程 1 差分的定义假设在图8 1所示的采样系统中 模拟 数字转换器在离散时间对误差信号进行采样 并将瞬时值记为或 则的一阶前项差分定义为 58 二阶前向差分定义为 n阶前向差分定义为n阶后向差分定义为 59 2 线性定常差分方程 线性n阶差分方程可表示为 3 线性差分方程的求解 例8 9已知差分方程为 输入信号 初始条件 求响应 60 解对差分方程两边进行z变换 可得 其中 由所给初始条件得 z逆变换得 61 例8 10已知差分方程为 初始条件为 解对方程两边进行z变换 得 则 逆变换得 62 8 4脉冲传递函数 一 脉冲传递函数的定义 脉冲传递函数定义为输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之比 8 59 返回子目录 图8 12 63 系统输出的采样信号为 经虚设采样开关得到的脉冲序列反映的是连续输出在采样时刻的瞬时值 64 二 开环脉冲传递函数 1 开环脉冲传递函数的推导 65 66 求该开环系统的脉冲传递函数 例8 11 系统结构如图8 12所示 其中连续部分的传递函数为 67 解 连续部分的脉冲响应函数为 脉冲传递函数为 68 或由得 查表得 69 2 串联环节的脉冲传递函数 1 串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数 8 67 70 例8 12 系统结构如图8 13所示 其中求开环脉冲传递函数 71 解 72 2 串联环节间有采样开关时的脉冲传递函数 如图8 14所示 其脉冲传递函数为各个连续环节z变换的乘积 记为 8 68 图8 14串联环节间有采样开关的开环系统 73 例8 13 系统结构如图8 14所示 其中求开环脉冲传递函数 74 解 所以 由于 75 3 有零阶保持器时的脉冲传递函数 开环脉冲传递函数为 图8 15带零阶保持器的开环采样系统 76 例8 14 系统结构如图8 15所示 其中采样周期s 求其开环脉冲传递函数 77 解 由于所以 78 三 闭环脉冲传递函数 图8 16闭环采样系统 79 采样开关的输入和系统的输出分别为 80 整理得 于是闭环系统的脉冲传递函数为 81 例8 15 闭环采样系统的结构如图8 16所示 其中采样周期s 求闭环脉冲传递函数 若 求 82 解 对于阶跃输入函数有 83 则输出信号的z变换为 于是 84 注意 有些闭环采样系统不可能求出形式的闭环脉冲传递函数 而只能求出输出信号的表达式 如图8 17所示的闭环采样系统 8 17 85 8 5采样系统的性能分析 一 稳定性1 从s平面到z平面的影射关系 返回子目录 86 左半s平面上的带称为主带 其他称为次带 图8 18从s平面到z平面的影射 87 2 z域的稳定条件和稳定性判据 在z平面上系统稳定的充分必要条件是 系统的特征根必须全部位于z平面的单位圆内 设采样系统的闭环脉冲传递函数为 88 1 朱利 Jury 稳定判据 且 根据特征方程的系数构造朱利阵列 则特 征方程 的根均位于单位圆内的充分必要条件为 共 n 1 个约束条件 8 86 8 87 89 例8 16 已知采样系统的闭环特征方程为试判断该系统的稳定性 解 90 朱利阵列 系统是稳定的 91 2 劳思 Routh 稳定判据 在分析连续系统时 曾应用Routh稳定判据判断系统的特征根位于s右半平面的个数 并依此来判断系统的稳定性 对于采样系统 也可用Routh判据分析其稳定性 但由于在z域中稳定区域是单位圆内 而不是左半平面 因此不能直接应用Routh判据 92 引入如下双线性变换 此时可用Routh判据判断采样系统的稳定性 93 3 z平面的根轨迹方法 以上述例8 15的闭环采样系统为例 其特征方程为 可知使系统稳定的最大K值为4 33 例8 19的根轨迹图 94 二 闭环极点与瞬态响应之间的关系 设采样系统的闭环传递函数为 8 91 若输入信号为单位阶跃 则 95 将按部分分式展开 得 上式中第一项为稳态分量 第二项为瞬态分量 显然瞬态分量的变化规律取决于极点在z平面中的位置 96 图8 20不同极点所对应的瞬态响应 97 三 稳态误差 图8 21单位负反馈采样系统 8 97 在输入信号作用下 误差的z变换表达式为 98 1 当输入为阶跃函数时 定义静态位置误差系数为 99 2 当输入是斜坡函数时 定义静态速度误差系数为 稳态误差为 100 3 当输入是等加速信号时 定义静态加速度误差系数为 稳态误差为 101 例8 17 已知采样系统的结构如图所示 其中 采样周期s 求在输入信号的作用下 系统的稳态误差 图8 22 102 解 采样系统的闭环特征方程为 采样系统的开环脉冲传递函数为 103 该采样系统稳定 在阶跃和斜坡函数作用下的稳态误差为零静态加速度误差系数为 因此 在输入作用下的稳态误差为 104 8 6采样系统的数字校正 如图所示的闭环采样系统 闭环脉冲传递函数为 图8 23含数字校正装置的采样系统 返回子目录 105 系统的误差为 其中为的有限次多项式 若能选择合适的 使 其中为关于的多项式 并且不含因子 设输入为时间的幂函数Atq 其中为正整数 则 106 则稳态误差为零 将代入上式 便可确定所需要的数字校正装置的脉冲传递函数 又为了使系统能在尽可能少的周期内实现对输入的完全跟踪 应使中所含项的数目最少 为此应取 107 1 当时 最少拍无差系统的闭环传递函数为此时误差信号的z变换为 系统经过1拍便可以完全跟踪上输入信号 8 110 8 111 108 2 当时 最少拍无差系统的闭环传递函数为此时误差信号的z变换为 系统经过2拍便可以完全跟踪上输入信号 8 112 8 113 109 3 当时 最少拍无