第八章 多元函数的微分法及其应用 练习题.doc

第8章 多元函数的微分法及其应用8.1 多元函数的基本概念一、 填空题1已知 ，则f(x,y)= 。2函数的定义域为 。3= 。二、 判断题1 如果P沿任何直线y=kx趋于（0，0）,都有，则。 （ ）2 从和知不存在。 （ ）3 下面定义域的求法正确吗？解：所以定义域为x1/2的一切实数。三、 选择题1 有且仅有一个间断点的函数是（ ）（A）、 （B）、 （C）、 （D）、arctanxy2.下列极限存在的是（ ）（A）、 （B）、 （C）、 （D）、四、 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。1 2. 3五、 求下列极限，若不存在，说明理由。1 2. 38.2 偏导数一、 判断题1 如果f(x,y)在(x0,y0) 处，存在，则一元函数f(x,y0)在（x,y0）处连续。 （ ）2 如果f在P处不连续，则f在点P偏导数均不存在。 （ ）3 （ ）二、 填空题1. 设f(x,y)=,则 。 。2. 设u(x,y)有对x,y的连续偏导，且当y=x2时， y=x(x)时，= 。三、 选择题1. f(x,y)在(x0,y0)处，均存在是f(x,y)在(x0,y0)处连续的（ ）条件。（A）、充分 （B）、必要 （C）、充分必要 （D）、既不充分也不必要2 已知0，则（ ）（A）、f(x,y)关于x为单调递增 （B）、f(x,y)0 （C）、0 （D）、f(x,y)=x(y2+1)3.设函数Z=f(x,y), =2,且f(x,0)=1, x,则f(x,y)=( )(A)、x2+xy-1 (B)、y2+xy+1 （C）、y2+xy+c （D）、x2+xy+y2+1 四、 求下列函数的一阶偏导数。1. z 2. u3.u= 4.F(x,y)=5.z=(1+xy)xy 6.f(x,y)= 五、 求下列函数的二阶偏导数。 1.z=x4+y4-4x2y2 2.u=ln 3.u= 4。 六、 设z=，求证：七、 若u=，求证：八、 求f(x,y)=在（0，0）点的偏导数。九、 设f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求， 。8.3 全微分及其应用一、 判断题1.如果f(x,y)在(x0,y0)满足条件：，存在且连续，则f(x,y)在(x0,y0)可微。（ ）2.f(x,y)有二阶连续偏导且df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则 （ ）二、 填空题1.F(x,y,z)=,则df(1,1,1)= 。 2.设Z=ln(x+y2),则= 。三、 选择题1 在点P处，f可微的充分条件是（ ）（A）、f的全部二阶偏导连续。 （B）、f连续 （C）、f的全部一阶偏导连续。 （D）、f连续且，均存在 。 2 肯定不是某个二元函数的全微分的为（ ）（A）、ydx+xdy (B)、ydx-xdy （C）、xdx+ydy （D）、xdx-ydy3.使的函数f为（ ）（A）、ax+by+c （B）、sinxy （C）、ex+ey （D）、x2+y2 四、 求下列函数的全微分.1.z=exysin(x+y) 2.u=xxyz3.z= 4.五、 设讨论f(x,y)在（0，0）（1）.偏导数是否存在。 （2）.是否可微。 8.4 多元复合函数的求导一、 判断题1f(x,y)具有一阶连续偏导，u=f(x,y,z)则= （ ）2设z=z（x,y）有二阶连续偏导，变换把6+-=0简化为=0， 则常数a,b满足条件：a=3,b=3 ( )二、 填空题 1. z=xy+x3,则+= 。2. z=，其中f(x,y)可微,则= 。3. 设有二阶连续导数。则= 。三、 选择题1设z=sin(xy2)，则+=（ ）（A）、cos(xy2) （B）、2ycos(xy2) （C）、2xcos(xy2) （D）、ycos(xy2)2.z=f(x,y,z) ,则=（ ）（A）、 （B）、/ （C）、/（1-） （D）、（+）/（1-）四、 设u=,z=x2siny,求，。五、 设u=f(xy,x2+y2)且f可微，求，。六、 设。七、 已知z=f(x2y,ln(xy), ,.。八、 设z=f(u,x,y),u=xey.f有连续偏导，求，。九、 若z=f(ax+by),f可微，求证：b-a=0.十、 若f(x+y,x-y)=x2-y2,求证：+=x+y十一、 u=xf(2x+3y,ey+z),求十二、 设函数u满足+=0，作变换，求证：=08.5 隐函数求导一、 填空题1 由方程确定的函数z=z（x,y）,在点（1，0，-1）处的全微分dz= 。2.设zsin(x+2y-3z)=x+2y-3z,则+= 。3.设，其中可微，则= 。二、选择题1 设z=z(x,y)由方程F（x-az,y-bz）确定，其中F（u,v）可微，a,b为常数，则（ ）（A）、a-b （B）、b-a （C）、a+b （D）、b+a2 设z=z(x,y)由方程x2+y3-xyz2=0确定，yx+y=( )(A)、 (B)、 (C)、 （D）、三、设确定y 与x的函数。用两种方法求。四、由x+y+z=确定z是xy的函数，求dz。 五、3-3xyz=a3,求。六、 设，求，。，。七、设z=f(u),u=(u)+确定u=u(x-y),连续且可微，求证：P（u）+P(x) =0八、设f(x,y)=,求证：-+=0。8.6 微分在几何上的应用一、 判断题1为曲线T在t0处的切向量，则-也为切向量。 （ ）2曲面F(x,y,z)=0一般有两个法方向，如果FZ0,法向量=Fx,Fy,Fz一定指向曲面.（ ）3xoy平面中曲线F（）=0的一个法向量为Fx,Fy（如果Fx,Fy不全为0）。 （ ）二、 填空题1曲线x=t3,y=t2,z=t在点（1，1，1）的切向量= 。2x2+y2+z2=12在点（2，-2，2）的切平面方程为 。三、 选择题1 曲面Z=F(x,y,z)的一个法向量为（ ）（A） （B）（C） （D）2 旋转抛物面z=2x2+2y2-4在点（1，-1，0）处的法线方程为（ ）（A） （B）（C） （D）四、 求曲线l：x=cost,y=sint,z=2t在t=处的切线和法平面方程。五、 求曲线在点M0（）处的切线方程。六、 求曲面Z=xy在（1，2，2）处的切平面与法线方程。七、 求曲线x=t2,y=t,z=t3上的点使该点的切线平行于平面2x+y+z=4.八、 设M（1，-1，2）为曲面Z2=上的一点，且，求曲面在点M处的切平面指向该曲面下侧的法向量轴正向的夹角的余弦。九、 求证Ax2+By2+Cz2=D上任一点（x0,y0,z0）处的切平面方程为Ax0x+By0y+Cz0z=D.8.7 方向导数与梯度一、 判断题1平行于z轴，则。 （ ）2若均存在，则 任何方向的方向导数均存在。 （ ）二、 填空题1函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与 ，而它的模为方向导数的 。2设f(x,y,z)=ln(x2+y2+z2)，则 。三、 选择题1设是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,则在点P沿方向的方向导数为 （ ）(A) (B) (C) (D)22.已知V=（x,y,z）= ( )（A） （B）（C）2x，2y，2z （D）四、 求Z=x2+y2在点(1,2)沿P(1,2)到Q(2,2+)的方向的方向导数。五、 求z=1-在点M0（）处沿曲线的内法向量的方向导数。六、 求u=x+xy+xyz在点M0（1，2，-1）处的梯度，并求该梯度方向的方向导数。七、 f(x,y)在（x0,y0）可微，且该x轴正向到射线的转角方向的方向导数分别为1，0，求f(x,y)增长反映的方向的反大增长率。八、 v=，求v。8.8 极值一、 填空题1 函数f(x,y)=(6x-x2)(4y-y2)的极值点有 。2 函数f(x,y)=xy-xy2-x2y 的可能极值点为 和 。二、 选择题1如果点(x0,y0)有定义且f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内有连续二阶偏导，=B2-AC，A=，B=，C=，则当（ ），f(x,y)在(x0,y0) 取 极大值。（A）、0,A0 (B)、0 （C）、0,A0,A02.函数Z=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值点有（ ）（A）、（1，0）和（1，2） （B）、（1，0）和（1，4） （C）、（1，0）和（-3，2） （D）、（-3，0）和