函数的单调性应用.doc

函数的单调性和奇偶性教学目的 使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤；使学生了解奇函数、偶函数的概念，掌握判断函数奇偶性的方法.重点难点 重点：函数的单调性、奇偶性的有关概念；难点：证明或判断函数的单调性或奇偶性.函数的单调性教学目的 使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数的增减性的方法；重点难点 重点：函数单调性的有关概念；难点：证明或判断函数的单调性.一、复习引入 复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数y=x2和y=x3的图象. y=x2的图象如图1，y=x3的图象如图2. 引入：从函数y=x2的图象（图1）看到：图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间0，+)上取值时，随着x的增大,相应的y值也随着增大，即如果取x1,x20，+，得到y1=f(x1),y2=f(x2),那么当x1x2时，有y1y2.这时我们就说函数y=x2在0,+ )上是增函数.图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x在区间（-，0）上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小，即如果取x1,x2（-，0），得到y1=f(x1),y2=f(x2),那么当x1y2.这时我们就说函数y=x2在(-,0)上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.二、学习、讲解新课 增函数与减函数定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2.若当x1x2时，都有f(x1)(fx2),则说f(x)在这个区间上是增函数（如图3）；若当x1(fx2),则说f(x) 在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2（图1），当x0,+)时是增函数，当x(-,0)时是减函数. 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：函数的单调区间是其定义域的子集；应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在x1,x2那样的特定位置上，虽然使得f(x1)(fx2)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x1)(fx2) ”改为“f(x1)(fx2) 或f(x1)(fx2)”即可；定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. 几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. 例题评价例1 图6是定义在闭区间-5，5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 解：函数y=f(x)的单调区间有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中y=f(x)在区间-5，-2)，1，3)上是减函数，在区间-2，1)，3，5上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.练习：1、函数的增减性的正确说法是：A单调减函数 B.在上是减函数,在上是减函数C. 在是减函数,在是减函数 D.除点外,在上是单调递减函数例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.练习：判断函数f(x)=-3x+2在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论.例3 证明函数f(x)=1/x在(0,+)上是减函数.练习：判断函数f(x)=1/x在(-，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论.说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法. 目标检测 判断函数f(x)=kx+b在R上的单调性，并说明理由.三、小 结讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;根据定义证明函数单调性的一般步骤是：设x1,x2是给定区间内的任意两个值，且x1x2；作差f(x1)-f(x2)，并将此差式变形（要注意变形的程度）；判断f(x1)-f(x2)的正负（要注意说理的充分性）；根据f(x1)-f(x2)的符号确定其增减性.四、布置作业f(x)=(x-5/2)2-1/4是以(5/2,-1/4)为顶点、对称轴平行于y轴、开口向上的抛物线（如图）;它的单调区间是(-,5/2与5/2,+ );它在(-,5/2上是减函数，在5/2,+ )上是增函数. 证明：设x1x25/2,则f(x1)-f(x2)=x12-x22-5(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-5).x1x25/2,x1+x25，x1-x20,即 f(x1)f(x2).f(x)=x2-5x+6在(-,5/2上是减函数.类似地，可以证明f(x)在5/2,+)上是增函数.f(x)=-x2+9的图象是以(0,9)为顶点、y轴为对称轴、开口向下的一条抛物线（如图）；它的单调区间是(-,0与0,+)，它在(-,0上是增函数，在0,+)上是减函数. 证明：设x1x20,则f(x1)-f(x2)=-x12+x22=(x1-x2)(x2-x1).x1x20,x1+x20，f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2).f(x)=9-x2在(-,0上是增函数.类似地，可以证明f(x)在0,+)上是减函数.(三)思考题：(四)预习：习 题 课教学目的使学生进一步巩固函数单调性的概念，熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤；初步了解复合函数单调性的判断方法.重点难点 重点：证明函数单调性的方法步骤. 难点：复合函数单调性的判断方法.教学过程 一、复习提问什么叫做增函数？什么叫做减函数？什么叫做单调区间？检查上节布置的作业：二、学习、讲解新课 课堂练习：求函数f(x)=x2-2ax+3在(-2,2)内的单调性.例 已知函数f(x)在R上是增函数，g(x)在a,b上是减函数，求证：fg(x)在a,b上是减函数.问：若将上例中的条件“函数f(x)在R上是增函数”换成“函数f(x)在R上是减函数”，其他条件不变，那么fg(x)在a,b上的增减性又如何？（答：fg(x)在a,b上是增函数）说明：讨论复合函数单调性的根据是：设y=f(u),u=g(x),xa,b,um,n都是单调函数，则y=fg(x)在a,b 上也是单调函数.若y=f(u)是m,n上的增函数，则y=fg(x)的增减性与u=g(x)的增减性相同；若y=f(u)是m,n上的减函数，则y=fg(x)的增减性与u=g(x)的增减性相反.以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.三、小 结证明函数的单调性，基本上都是利用定义，以同一种格式来进行，方法步骤就是前一节我们总结的四点：设x1,x2是给定区间内的任意两个值，且x1x2；作差f(x1)-f(x2)，并将此差式变形（要注意变形的程度）；判断f(x1)-f(x2)的正负（要注意说理的充分性）；根据f(x1)-f(x2)的符号确定其增减性；简述为“设点，作差，判断正负，下结论”. 要避免证明过程中的似是而非、含糊不清的毛病.讨论复合函数单调性的根据是：设y=f(u),u=g(x),xa,b,um,n都具有单调性，则y=fg(x)在a,b 上也既有单调性.若y=f(u)是m,n上的增函数，则y=fg(x)的增减性与u=g(x)的增减性相同；若y=f(u)是m,n上的减函数，则y=fg(x)的增减性与u=g(x)的增减性相反.四、布置作业(一) 补充题：已知函数f(x)在区间(-,+)内是增函数，a,bR. 证明命题“如果a+b0,那么f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)”; 判断中的逆命题是否正确？并证明你的结论.补充题： 证明：a+b0，a-b，又f(x)在(-,+)内是增函数，f(a)f(-b)，同理由b-a,得f(b)f(-a)，f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，原命题得证. 中命题的逆命题是正确的.即“如果f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，那么a+b0”是真命题.证明：假设a+b0，则a-b，由f(x)在(-,+)内递增可得：f(a) f(-b),同理可得f(b)f(-a),即f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),这与f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)矛盾，故假设不成立，命题得证.(三)思考题：讨论函数f(x)=ax/(x2-1)(-1x1)的单调性.函数的单调性知识点及方法 判断函数的单调性;证明函数的单调性;函数单调性的应用（解不等式、比较大小、求函数的值域和最值）判断函数的单调性1.在区间上为增函数的是:1 A. B. C. D. 4.设是函数的反函数的一个单调增区间,则实数的取值范围是A. B. C. D. 7.下列命题:(1)若是增函数,则是减函数;(2)若是减函数,则是减函数;(3)若是增函数, 是减函数,有意义,则为减函数,其中正确的个数有:A.1 B.2 C.3 D.013 在区间上是减函数,则实数的取值范围是14、已知函数f(x)=|的值随x值的增大而增大，求x的取值范围.16. 是定义在上的增函数,则不等式的解集是17、已知函数f(x)=, 用函数单调性的定义证明：在(,+)上单调递减. 18.讨论函数在区间1,1上的单调性,并证明.21.函数,求证在上是增函数.22、已知函数f(x)= 在区间上是增函数。,并由此求的最小值. 求函数（的单调区间。7、设f (x) =(a )，讨论x的单调性。二次函数的单调性1. 函数在上是减函数，求a的取值范围。2. 函数在上是减函数求a的取值范围。3. 函数在上是减函数,在上是增函数，求a。4. 函数在-1,2上是增函数,求m的取值范围。5. 已知在上是减函数,且求a的取值范围。6、在区间上是减函数,则实数的取值范围 15、 已知二次函数f(x)的二次项系数为正,且对于任意实数x,都有f(2-x)=f(x2)，讨论函数f(x)的单调性。单调性与大小关系1. 如果ax2+bx+c0(a0)的解集为x|x2或x4,设f(x)=ax2+bx+c,试比较f(1),f(2),f(5)的大小.2. 比较大小: 12.设,使一次函数都是正数,则的范围是:A. B. C. D. 16. 是定义在上的增函数,则不等式的解集是23.是定义在R上增函数,且满足(1)求的值; (2)若,解不等式函数的单调性与值域、最值、不等式恒成立1. 求函数 的值域。 2. 求函数值域. 3. 设不等式2x1m(x21)对满足|m|2的实数m的取值都成立, 求x的取值范围. 4. 二次函数f(x) ,当x2,2时, 恒成立,求实数a的取值范围. 5. 已知函数。讨论在上的单调性。6. 求使对恒成立的的最大值.函数单调性与奇偶性及其综合应用1 翰林汇若奇函数y=f(x)在R上单调递增，且f(m2)f(m)，求实数m的取值范围.2 已知函数是奇函数,又f(1)=2 f(2)3,且f(x)在1,+上递增.(1)求a,b,c的值; (2)当x0时,讨论f(x)的单调性3 已知函数的值域是1,3。（1）求（2）判断函数在上的单调性，并予以证明. 4 设是定义域为的奇函数，且它在区间上单调增.（1）用定义证明:在上的单调性;（2）若且试判断的符号;（3）若解关于的不等式.5 函数的定义域是,对任意实数都有.当时,且.（1）判断的奇偶性、单调性；（2）求在区间上的最大值、最小值；6 已知二次函数,(为常数)，满足且方程有等根求是否存在实数，使定义域和