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文档简介

函数图象的对称性和周期性云南昭通 昭翼培训学校 陈培泽研究函数图象的对称性和周期性，对于学习函数函数图象有重要意义。现将部分常用结论归纳于后：1 若求关于点对称的函数表达式，只需用换；若是证明图象关于点对称，则用换，证明满足.2 若求关于对称的函数表达式，只需用换；若是证明图象关于对称，则用换，证明满足.3 若函数满足：，（或），则函数的图象关于直线对称。（特点：常数减变量）4 若函数满足：，则函数是周期函数，周期.（特点：变量减常数）5 若函数图象关于和 两条直线对称，则是周期函数，周期.证明：图象关于和两条直线对称， ，令，.6 推论:偶函数图象关于 对称，是周期函数，.7 若函数的图象关于 对称，则函数的图象关于对称。证明：图象关于对称，令，函数的图象关于对称。8 若函数的图象关于点和对称，则是周期函数，周期.证明：的图象关于点和对称，令，。9 推论：奇函数图象关于点，对称，则是周期函数，周期.10 若函数，图象关于点对称，则函数图象关于点对称。证明：函数，图象关于点对称，令， ，图象关于点对称。11 若是奇函数，图象关于点对称。证明：是奇函数，令，。图象关于点对称。下面举例说明应用：1 函数有以下命题：（1） 在同一坐标系中，和的图象关于对称；（2） 若，则函数的图象关于直线对称；（3） 若则函数是周期为2的函数；（4） 若，则函数图象关于点对称。其中正确命题的序号是。解：（1）图象是由图象向左平移1个单位，图象是由向右平移1个单位，与图象关于轴对称，与图象关于轴对称。（1）错。（2），（3），（4）正确。2函数为奇函数，满足，下列命题为真命题的序号是。（1）；（2）是以4为周期的函数；（3）图象关于对称；（4）图象关于对称。解：，（1）成立；又，（2）成立；又，（3）成立，又，当，（4）不成立。3 已知是定义在上的奇函数，图象关于点对称，且在区间上为增函数，有以下四个命题，其中真命题的序号是：。（1）是周期为4的函数；（2）设，则；（3）方程在区间上所有相异根的和为8。（4）在区间上为递增函数。解：（1），又图象关于点对称，。（1）错。（2）奇函数在上递增，则在上也递增，；又；，。（2）成立。（3）且，作图知方程图形，知有两个相异根，其和为2，（3）错。（4）是周期为2的函数，在上的单调性与在上的单调性相同，图象关于点对称，为增函数，（4）成立。4是偶函数，图象向左平移1个单位后图象与原点对称，有以下四个命题，真命题的序号是。（1）图象关于点对称（2）若，则；（3）若，则时，；（4）若，则时，.解：（1）由题意知是奇函数，即：，所以图象
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