一道课本习题的拓展、推广及变式.pdf

2 0 1 2年第 3期 中学数学研 究 3 1 一 道 课本 习题 的拓展 推广及变式 浙江省绍兴市高级中学 3 1 2 0 0 0 阮伟强 一 问题 的提 出 浙江省 自2 0 0 9年起实施新课程高考 其 中的一 个改革举措是 凡报考重点大学 的学生需外加一 门 总分为 6 0分的自选科 目 不分文理科 考生需在全 卷设置的 1 8个试题 每个 自选模块配一个 分值均 为 1 0分 中任选 6 个作答 为减轻学习压力 大多数 考生均选择其中的7 至8 个模块进行重点学习 而数 学的两个模 块 不等式选讲 与 坐标 系与参数方 程 尤其是 后者 成 了所有文 理科考生 的必 选模 块 这无疑加大了该 内容的教 与学 的要求 因此 当 笔者在进行课本 中如下例 4的教学时 面对学生不 经意的发 问 顺势开始 了一次探索之旅 人教 A版选修4 4 坐标系与参数方程 第 3 8页 P AB CD 曩 条 相 交 弦 交 点 为 两 弦 上 与 椭 圆 长 轴 的 夹 角 分 乏 方程为 X 0 为参数 代入椭 圆方程并 t y Y 0 t s i n0 整理 得 b 2 C O S 0 0 s i n 0 t 2 b 2 x o c o s O a 2 y o s i n 0 t b 2 x 0 0 2 Y o 一a 2 b 0 设此方程的两根为 2 则 l P A I I P l 理 对于直线 C D 将 0换为 万一0 可得 I PC l I PD l l 6 0 a2 Y o 一2 l b 2 C O S 7 r一0 0 s i n t7 r一0 I 6 0 a2 y o 一 2 b J 一 b 2 c o s 2 0 口 s i n 2 0 所 以 I P A 1 I P B I P C f P D I 面对上述优美结果 学生都显得有些兴奋 感觉 很像 圆中的 相交弦定理 而 圆中有 割线定理 那么椭圆中有 割线定理 吗 而从例题 的证 明过程 容易看出 若点P在椭圆外部 也必有 f f胎 f l P C l I P D l成立 这样 问题可拓展为下 例结 论 结 论 已 知 椭圆 告 1 0 b 0 的 两 条 弦 A B C D所在直线的交点为 P 且它们的倾斜角互 补 则 l P A l I P 日l I P C l l P D l 即A B C D四 点共圆 二 问题 的推广 同时为零 则 与 f 重合 B 一A B 0且 B1 C2一 B2 Cl 0 这个命题也是错误的 在例 1中 当 0时 一 3 一 2 0 即 2 a 一1 一 一0 一1 0 f A B z A z 0 但 此 时f 一 1 0 2 1 L 1 C2一 B2 C1 0 0两条直线平行 结论2 设两条直线分别为 f A B Y C 1 0 其 中A 1 B 1 不同时为零 f 2 2 B 2 Y 4 C 2 0 其 中 A 日 不 同 时 为 零 则 z 与 f 重 合 r Al B2 2 B1 0 B l C 2一 2 C 0 L A1 C2一A2 C1 0 证明 限于篇幅 证明略 参考文献 1 中学数学课程教材研究开发中心编著 普通高中数学课程标准 实验 人教 A必修 2 M 北京 人民教育 出版社 2 0 1 0年 3 2 中学数学研究 2 0 1 2年第 3期 那么 将椭圆换成抛物线或双曲线 是否还有类 似的结论 探究 已知抛物线 Y 2 p x p 0 的两条 弦 A B C D所在直线的交点为 P 且它们的倾斜角互补 试问 l P A l l P I P C 1 I P D I 成立吗 分析 将直线 A B的参数方程 X 0 把 L y Y o t s i nO 为参数 代 入抛 物线 物方 程 整 理 得 s i n 0 t 2 Y o s i n O p c o s O t Y 0 一2 p x o 0 所 以 I P A I I P B I I 2 I l I 再用 7 r 一 替 换上述结果 中的 便得 I P C I 1 P D l I l 故 l P A 1 I 船 l I P C l l P D I 对双曲线x 一 1 0 b 0 我们只需 将椭圆证 明过 程 中的 b 用 一b 替换 就可得 到 f PA f l P l l PC I I PD l l 1 于是 推广后可得到下面的 b 2 cos2 0 0 s i n 2 0 L J q 定理 定理 如果圆锥 曲线 标 准方程 下 的两条 弦 A B C D所在直线的交点为 P 且它们的倾斜角互补 则 l P A l I P l l P C I I P D l 即A B C D四点 共 圆 三 逆命题成立吗 我们知道圆中的 相交弦定理 和 割线定理 的逆定理都成立 那么上述定理的逆命题是否也成 立 呢 探究 如果 圆锥 曲线 标 准方程 下 的两条 弦 A B C D所在直线 的交点为 P 且 l P A l l P B l P C I l P D l 那么这两条直线的倾斜角是否互补 现先以椭圆为例加以分析 分析 若设 A B C D所在直线的倾斜角分别为 则依照例题的推证过程可得 半 b C O S a s i n 8 8 由 l P A l I P l l P C 1 I P D l 得 b 2 C O S s i n b 2 C O S 0 s i n 最 p b 2 1一s i n 2 口 2 s i n b 1一s i n 2 0 s i n 整理得 0 一b s i n s i n 0 考虑到 a b 则 s i n s i n 0 即s i n a s i 因为 O l 故 O l 丌 即两弦所在直线 的倾斜角互补 同理可证对抛物线和双曲线也成立 这样 便得 下列定理 定理 如果 圆锥 曲线 标准方程下 的两条 弦 A B C D所在直线 的交点为 P 且 I l I P B I I P C I I P D l 那么这两条直线的倾斜角互补 四 问题的变式 完成上述探究后 有学生意外提出 若两条 弦 A B C D所在的直线互 相垂直 想 到又一种特殊 位 置 时 是否也有优美的结论 现以椭圆为例进行研 究 分析 若设直线 A B的倾斜角为 O l 则可得 l 1 1 PB l I 二 I 考虑到直线 l 1 1 l I 下I 考 虑到直线 D coS 0c a S i n C D与 A B垂直 则其倾 斜角为 7 r 2 O l 或 O l一 r 2 代 入 上 式 可 得l P C 1 I P D l l I 经观察发现 儿 l 1 上 U 1 1 丁两 丁 b 2 c 0 s s i n 0 b 2 s i n 2 0 c o c os 6 0 一 a 2 b 6 一 般地 可得到下列命题 过定点 p x Y o 且 互相垂直的两条直线 若 与椭圆 1 口 b b 0 分别交于A 与 C DN点 则 丁 P C P D b 一 2 是一个定 I f 1 l i 0 n y o 一 口 6 I 肥 匕 值 特别地 取点 P为椭 圆中心 0 坐标原点 结合 椭 圆对称性知 O A O B O C O D 由上述命题可 得下 列推 论 自 椭圆 告 1 中 心引 互相 垂直的 两条射 线 O A O C 与 椭 圆相 交 于 A C两 点 则 L 丢 进 一 步 若 记 点D 到 直 f O A J I O C l 一 6 臼 儿 且 m A C的距离 为 d 结 合直角 三角形性质知 1 O A 0 C l 1 I l O A l 4 I O C l a 2 b OA I I OC f 一n 6 2 0 1 2年第 3期 中学数学研究 3 3 以 小 见 大 话 例 题 云南省兰坪县第一中学 6 7 1 4 0 0 汪贵平 1 问题 提 出 人教版 全 日制普通高级 中学教科 书 必修 数学 第一册 下册 第 1 1 7页有这样一个例题 如 图 1 O B不共线 A P t A B t R 用 O 4 O B表示 O P 最后得O P 1一t O A t 0B 事实上 这个例题的结论 是判断三点共 线的一个充 要一 条件 然而教材上用这个充要 图 1 条件判断三点共线的题实在少 甚至没有 笔者仔细 研究 了这个例题后面的练习 习题 复习参考题 也 没有发现有哪个题在用这个例题的结论 这就引起 笔者注意和思考 一个这么好的例题 有这么好的结 论 为何只放着例题后就不用了呢 难道说仅仅用来 判断三点共线吗 除此 以外究竟还有何用呢 带着这 个问题笔者 回顾高三复习讲过的题中有哪些题可能 会用得上这个例题 的结论 功夫不负有心人 笔者终 于找到用这个例题 的结论来解 的题 了 以下笔者用 这个例题 的结论完成高考立体几何的探索题 即 d 而面对这个优美结果 我们马上会 联想到下列两个高考题 例 1 2 0 0 9年山东高考卷理 2 2 设椭 圆 E 2 1 0 0 b 0 过M 2 2 6 1 两点 0为坐标原点 1 求椭圆 E的方程 2 是否存在圆心在原点 的圆 使得该 圆的任 意一条切线与椭圆E恒有两个交点 且0 上O B 若 存在 写出该圆的方程 并求 l A B l的取值范围 若 不存在 说 明理 由 简 析 易 得 椭 圆 方 程 为 等 1 当 上 时 由上述结 论知 点 0到直线 A B的距 离为定值 a 2 b 2 存在 y 2 的取值范 围 略 例 2 2 0 1 0年陕西高考卷 2 理 2 1 如 图 2 椭圆 C I n 2 1的顶 点为 A A B 0 B 2 焦点为 F l F 2 l A 1 B 1 I 7 s A l B A 2 口 2 2 S B 1 1 B 2 2 日 一 A 1 0 曰 图 2 1 求椭圆 C的方程 2 设 1 1 是过原点的直线 f 是与 凡垂直相交于 P点 与椭 圆相交于 A B两点的直线 1 0 Pl 1 是 否存在上述直线 z 使A 户 尸 百 1 成立 若存在 求 出 直线 2 的方程 若不存在 请说 明理 由 2 2 4 简析 易得椭圆方程为 1 由 A P P B 叶 j 1 l O P l 1可推得O A O B 0 即 D A上O B 厂 丁 而 在此 条件 下 由 上述 结论可 得I I V a 0 等 这样就产生了矛盾 故所求直线不存在 V 1 最后 需说 明的是 对于抛物线与双曲线 我们 可类似作 出探索 限于篇幅 不再赘述 五 一点感想 在数学教学 中 我们要善