高三复习讲义等差数列.doc

第一章 数列数列的定义1.按一定次序排列的一列数叫作数列.2.数列中的每一个数都叫作这个数列的项，各项依次叫作这个数列的第1项（或首项），第2项，第n项，。温馨提示：（1） a n 与a n是不同的概念， a n 表示数列a1，a 2，a 3，a n，而a n仅表示数列 a n 的第n项。（2）数列的项与它的项数（第几项）是不同的概念。数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f（n），而项数（第几项）是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f（n）中的n。（3）数列a1，a 2，a 3，a n，不可以写成 a1，a 2，a 3，a n，的形式，后者表示的是一个集合，其中的元素是与顺序无关的，而数列是与顺序相关的。例如：1、2、3、4、5、与2、1、3、4、5是两个不同的数列，但是数列a1，a 2，a 3，a n，可以简写成 a n 。例1 以下说法正确的是（ ） A数列1，2，3，可表示成1，2，3 B数列中的项与顺序无关C数列 的第k-1项是 D数列0，2，4，6，可记作2 n 知识点1 数列的通项公式如果数列 a n 的第n项a n与n之间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的通项公式。 写出数列的一个通项公式，使得它的前几项是下列各数。（1）-1，- ，；（2），3，。知识点2 数列与函数的关系1.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。2.数列是一种特殊的函数，函数可以用图像直观地表示出来，数列也可以用图像来直观表示。数列用图像来表示时，可以以序号n为横坐标，相应的项a n为纵坐标，描点画图来表示一个数列。把数列与函数作比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或是它的有限子集1，2，3，n ，其图像是无限个孤立的点。知识点3 数列的分类1.根据数列的项数可以对数列进行分类：项数有限的数列叫作有穷数列、项数无限的数列叫作无穷数列。2.按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为以下几类：一般地，一个数列 a n ，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a n +1 a n,那么这个数列叫作递增数列.一个数列 a n ,如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项,即a n +10， =，则an是（ ）A、递增数列 B、递减数列 C、摆动数列 D、常数列5 已知数列 a n 的前n项和Sn=n2+2，求此数列的通项公式及前五项。6 已知无穷数列12，23，34，n（n+1），判断420与421是否为该数列中的项，若是，应为第几项？等差数列1.等差数列的含义如果第一数列从_起，每一项与前一项的差是_，则这样的数列为等差数列。称这个_为等差数列的公差，通常用字母_表示.2.等差数列的通项公式已知条件通项公式首项，公差d第m项，公差d3. 等差中项如果在a与b中间插入一个数A,使a、A、b成_,则A叫做a与b的等差中项,由定义可知A=_.4.等差数列的性质在等差数列中（1）若m+n=p+q，m、n、p、qN+，则am+an=ap+aq。（2）由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是正整数,其中公差d是该直线的斜率.（3）(4)（5）4.等差数列的前n项和(1)等差数列的前n项和公式（1） （2） (2)如果一个数列的前n项和Sn=An2+Bn（其中A、B为常数），那么这个数列是等差数列，其首项为_.公差为_.(3)若等差数列an的前n项和Sn，公差为d，则当_时，Sn有最大值，当_时，Sn有最小值。题型一 等差数列的概念及通项公式1.一个数列的前4项分别是1，2，3，4，则下列说法正确的是（ ）A它一定是等差数列 B.它不一定是等差数列C. 它的通项公式为=n D.以上结论都不一定正确2.已知等差数列， =3-4n,则它的首项与公差分别为 （ ）A. 1, 4 B. -1, -4 C. 4, 1 D. -4, -13.在ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于（ ）A . B. C . D. 例1 （1）已知数列为等差数列且=11，=5,求.（2）求等差数列10，8，6，的第20项。 （3）100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.例2 中，试判断该数列是否为等差数列。题型二 等差数列性质的应用1 在数列an中，a1=2，2an+1=2an+1，则a101的值是（ ）A52 B.51 C.50 D.492 设数列an，bn都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，则a2010+b2010=（ ）A.0 B.2009 C.100 D.503.在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值等于( )A.45 B.75 C.180 D.3004.若an是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9等于( )A.12 B.16 C.20 D.335 已知，成等差数列，求证：，也成等差数列。6 设等差数列an中,a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,求这个数列的通项公式.7 将本例的叙述改为：“有三个数成等差数列，它们的和为9，积为-21，求这三个数”，将如何解答？题型三 等差数列中前n项和问题。1.已知Sn是等差数列an的前n项和，且S11=35+S6，S17的值为（ ）A.1 B.118 C.119 D.1202.已知等差数列 an 的前n项和为Sn,若a2=3,a8=13.则S9=（ ）A16 B.64 C.72 D.1003已知等差数列 an 中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列bn的前5项和等于( )A.30 B.45 C.90 D.86例1等差数列an中，a1=-10，且S4=S7，求Sn的最小值及此时的n的值。例2已知数列 an 的前n项和Sn=5n2-2n+1,求数列 an 的通项公式.例3项数为奇数的等差数列，奇数项的和为44，偶数项的和为33，求这个数列的中间项及项数。等比数列一 知识点回顾1. 等比数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于_,那么这个数列叫做等比数列,这个常数列叫做等比数列的_,用字母_表示(q0)2. 等比数列的通项公式已知条件通项公式首项a1,公比q第m项am,公比q3. 等比中项(1)如果在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成_,则称G为a,b的等比中项.(2)若G是a,b的等比中项,则a,G,b满足_,即G=4. 等比数列的常见性质(1)公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m,所得数列仍是等比数列,公比仍为q;(2)若m+n=p+q, m,n,p,qN+,则aman=apaq；(3)若等比数列an的公比为q,则是以为公比的等比数列;(4)一组等比数列an中,下标成等差数列的项依次构成等比数列;(5)若an与bn均为等比数列,则anbn也为等比数列.5. 等比数列前n项和公式 设有等比数列an，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为：Sn=(1) (2) 等比数列前n项和公式的推导 一般地，设有等比数列a1，a2，a3，an，它的前n项和是Sn=a1+a2+a3+an。根据等比数列的通项公式，上式可写成Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-2+a1qn-1。 式两边乖q，得qSn=a1q+a1q2+a1qn-2+a1qn-1+a1qn。 的两边分别减去的两边，得（1-q）Sn=a1-a1qn。当q1时，等比数列前n项和公式因为a1qn=（a1qn-1）q=anq，所以上面的公式还可以写成当q=1时，数列an变为a1，a1，a1，a1，易得它的前n项和Sn=na1。二 例题精讲题型一 等比数列的概念及通项公式1. 下列数列中,一定是等比数列的有几个( )-1, ,-,- m,m,m,m；1，3，9，27，81 a，a2，a3，anA1 B.2 C.3 D.42.已知等比数列的bn的通项公式为bn=（-2）n，则它的公比为（ ）A2 B.1 C.-2 D.-13.已知一个等比数列an的第2项为2，第3项与第4项的和为4，则a6=（ ）A.2 B.32 C.2或32 D.-2或-324已知等比数列an中，a3=6，a4=18，则a1+a2等于（ ）A B. C. D. 5. 已知数列an是公比为q的等比数列,则数列an+1-an是( )A.公比为q的等比数列 B.公比为q2的等比数列C.是等比数列,但公比不为q D.不一定是等比数列6 等比数列an中,a4=4,则a2a6等于( )A.4 B.8 C.16 D.327 在等比数列an中，a6-a4=24，a3a5=64，求an。题型二 等比数列的判定例2 已知数列an的前n项和Sn，Sn=（an-1）（nN+）。（1） 求a1，a2；（2） 求证：数列an是等比数列。变式训练 1.已知数列an是等差数列，c为常数，且c0，bn=can，求证：数列 bn 是等比数列。2.已知数列an中,a1=2,an+1=,数列 bn 满足bn=,(1)证明数列 bn 是等比数列; (2)求an.题型三 等比中项问题例1 若a,2a+2,3a+3成等比数列,求实数a的值.例2. 设an是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3a30=230，求a2a5a8a29的值。题型四 等比数列求和问题1、错位相减法求和例1 求数列1，3a，5a2，7a3，（2n-1）an-1的前n项和。方法点拨：（1）一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法。（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式。（3）应用等比数列求和公式，必须注意公比q1这一前提条件。如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在高考中经常考查。2、分组求和法例2 求和：方法点拨：如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项可组成等差数列或等比数列，该数列的前n项和可考虑用拆项法求解。变式训练1 求数列2n+2n的前n项和。一、 裂项法求和例4 求的和。方法点拨：常见的拆项公式有：（1）；（2）。题型五 用等比数列的性质解题例1 在等比数列an中，a1+an=66，a2an-