2005---2010年北京高考数学难题汇编.doc

2010年8. (8)如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，D（，大于零），则四面体PE的体积（）与，都有关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关14 （14）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。 说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。（19）（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.()求动点P的轨迹方程；()设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（20）（本小题共13分）已知集合对于，定义A与B的差为A与B之间的距离为（）证明：，且;（）证明：三个数中至少有一个是偶数() 设P，P中有m(m2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P). 证明：（P）.（8）D （14）4 （19）（共14分）（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为. 设点的坐标为 由题意得 化简得 . 故动点的轨迹方程为（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,. 则直线的方程为，直线的方程为令得，.于是得面积 又直线的方程为，点到直线的距离.于是的面积 当时，得又，所以=，解得。因为，所以故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为 则. 因为, 所以 所以 即 ，解得 因为，所以 故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.（20）（共13分）证明：（I）设， 因为，所以, 从而 又由题意知，.当时，; 当时，所以(II)设， ，. 记，由（I）可知 所以中1的个数为，的1的个数为。 设是使成立的的个数，则 由此可知，三个数不可能都是奇数， 即,三个数中至少有一个是偶数。（III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0则=由于所以从而2009年8 点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A直线上的所有点都是“点” B直线上仅有有限个点是“点” C直线上的所有点都不是“点” D直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”14. 14已知数列满足：则_；=_.综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.19（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.w.k.s.5.u、.c.o.m 20（本小题共13分） 已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（）证明：，且；（）证明：当时，成等比数列.8 【答案】A【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解，如图，设，则，消去n,整理得关于x的方程 （1）恒成立，方程（1）恒有实数解，应选A. 14.【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得，. 应填1，0.19【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得，解得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，所求双曲线的方程为.（）点在圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 圆在点处的切线方程为，化简得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由及得，切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，且，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设A、B两点的坐标分别为，则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，且， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m . 的大小为.w.k.s.5.u.c.o.m 【解法2】（）同解法1.（）点在圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 圆在点处的切线方程为，化简得.由及得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，设A、B两点的坐标分别为，则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ， 的大小为.w.k.s.5.u.c.o.m （且，从而当时，方程和方程的判别式均大于零）.20. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（）由于与均不属于数集，该数集不具有性质P. 由于都属于数集， 该数集具有性质P. （）具有性质P，与中至少有一个属于A，由于，故. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 从而，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ， ，故. 由A具有性质P可知.又，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 从而，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）由（）知，当时，有，即， ，由A具有性质P可知. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由，得，且，即是首项为1，公比为成等比数列.k.s.5.2008年 8如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO14. 14某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数的整数部分，例如，按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 19（本小题共14分）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1（）当直线过点时，求直线的方程；（）当时，求菱形面积的最大值20（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义设是每项均为正整数的有穷数列，令（）如果数列为5，3，2，写出数列；（）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，8B14 19（共14分）解：（）由题意得直线的方程为因为四边形为菱形，所以于是可设直线的方程为由得因为在椭圆上，所以，解得设两点坐标分别为，则，所以所以的中点坐标为由四边形为菱形可知，点在直线上， 所以，解得所以直线的方程为，即（）因为四边形为菱形，且，所以所以菱形的面积由（）可得，所以所以当时，菱形的面积取得最大值20（共13分）（）解：，；，（）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，则为，从而又，所以，故（）证明：设是每项均为非负整数的数列当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，则当存在，使得时，若记数列为，则所以从而对于任意给定的数列，由可知又由（）可知，所以即对于，要么有，要么有因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有即存在正整数，当时，2007年8对于函数，判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；命题丙：在上是增函数能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）14已知函数，分别由下表给出123131123321则的值为；满足的的值是19（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值20已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和若对于任意的，总有，则称集合具有性质（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；（II）对任何具有性质的集合，证明：；（III）判断和的大小关系，并证明你的结论88函数，函数=是偶函数；且在上是减函数，在上是增函数；但对命题丙：=在x(,0)时，为减函数，排除函数，对于函数，函数不是偶函数，排除函数只有函数符合要求，选D。14=；当x=1时，不满足条件，当x=2时，满足条件，当x=3时，不满足条件， 只有x=2时，符合条件。19（共13分）解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为点的纵坐标满足方程，解得，其定义域为（II）记，则令，得因为当时，；当时，所以是的最大值因此，当时，也取得最大值，最大值为即梯形面积的最大值为20（共13分）（I）解：集合不具有性质集合具有性质，其相应的集合和是，（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个因为，所以；又因为当时，时，所以当时，从而，集合中元素的个数最多为，即（III）解：，证明如下：（1）对于，根据定义，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，（2）对于，根据定义，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由（1）（2）可知，2006年（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、（C的机动车辆数如图所示，图中、分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（A）（B）（C）（D）（14）已知A、B、C三点在球心为O，半径为R的球面上，ACBC，且AB=R，那么A、B两点间的球面距离为 球心到平面ABC的距离为 .19. 已知点M（2，0），N（2，0），动点P满足条件| PM | PN |=2，记动点P的轨迹为W.（）求W的方程；（）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求、的最小值.20. 在数列中，若a1，a2是正整数，且3，4，5，则称为“绝对差数列”.（）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（）若“绝对差数列” 中，数列满足 n=1，2，3，分析判断当时，的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.（8）C（14）（19）（共14分） 解法一：（）由|PM|PN|=知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实 半轴长 又半焦距c=2，故虚半轴长. 所以W的方程为. （）设A，B的坐标分别为（ 当AB轴时，从而 当AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，与W的方程联立，消 去y得 故， 所以 =. 又因为，所以，从而 综上，当AB轴时，取得最小值2.解法二： （）同解法一. （）设A，B的坐标分别为（，则 令， 则且1，2）所以 = ， 当且仅当，即时“=”成立. 所以的最小值是2.（20）（共14分）（）解： （答案不惟一）（）解：因为在绝对差数列所以自第20项开始，该数列是即自第20项开始。每三个相邻的项周期地取值3，0，3. 所以当时，的极限不存在. 当（）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下： 假设中没有零项，由于，所以对于任意的n，都有，从而当时，；当时，；即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令n=1，2，3，则2，3，4，）.由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项，这与（n=1，2，3，）矛盾. 从而必有零项.若第一次出现的零项为第n项，记），则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.2005年8函数（ ）A在上递减B在上递减C在上递减D在上递减14. 已知n次多项式, 如果在一种算法中，计算（k2，3，4，n）的值需要k1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 次运算 下面给出一种减少运算次数的算法：（k0， 1，2，n1）利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要 次运算19.（本小题共12分）设数列an的首项a1=a，且, 记，nl，2，3，（I）求a2，a3；（II）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求20.5（本小题共14分） 设f(x)是定义在0, 1上的函数，若存在x*(0，1)，使得f(x)在0, x*上单调递增，在x*，1上单调递减，则称f(x)为0, 1上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间 对任意的0，l上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法（I）证明：对任意的x1，x2(0，1)，x1x2，若f(x1)f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1