江西省高考数学第二轮复习 专题五 立体几何第2讲 点、直线、平面之间的位置关系 理.doc

专题五立体几何第2讲点、直线、平面之间的位置关系真题试做1(2012四川高考，理6)下列命题正确的是()a若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行b若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行c若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行d若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2(2012浙江高考，理10)已知矩形abcd，ab1，bc.将abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折，在翻折过程中，()a存在某个位置，使得直线ac与直线bd垂直b存在某个位置，使得直线ab与直线cd垂直c存在某个位置，使得直线ad与直线bc垂直d对任意位置，三对直线“ac与bd”，“ab与cd”，“ad与bc”均不垂直3(2012安徽高考，理6)设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件4(2012大纲全国高考，理4)已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，ab2，cc12，e为cc1的中点，则直线ac1与平面bed的距离为()a2 b c d15(2012江苏高考，16)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，a1b1a1c1，d，e分别是棱bc，cc1上的点(点d不同于点c)，且adde，f为b1c1的中点求证：(1)平面ade平面bcc1b1；(2)直线a1f平面ade.考向分析从近几年的高考试题来看，在本讲中所涉及的主要内容是：(1)有关线面位置关系的组合判断试题以选择题的形式出现，通常是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质；(2)有关线线、线面平行与垂直的证明试题以解答题为主，常以多面体为载体，突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力；(3)有关面面平行与垂直的证明，多以解答题的形式出现，综合性强；(4)有关折叠问题，以解答题为主，通过折叠把平面图形转化为空间几何体，更好地考查学生的空间想象能力和知识迁移能力预测2013年高考中，仍以某几何体为载体，重在探索和判定线线、线面和面面的位置关系，当然也可能综合考查面积及体积的计算，作为理科考生还将进行空间角的探索和求解，题目难度为中低档热点例析热点一有关线面位置关系的组合判断【例1】已知a，b，c是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是()aac，bcabba，babc，d，规律方法 解决空间线面位置关系的组合判断题常有以下方法：(1)根据空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断；(3)应熟练掌握立体几何的三种语言符号语言、自然语言以及图形语言的相互转换变式训练1 已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面，有下列命题：若mn，n，则m；若l，m且lm，则；若m，n，m，n，则；若，m，n，nm，则n.其中正确命题的个数是()a1 b2 c3 d4热点二线线、线面平行与垂直的证明【例2】如图，在四棱台abcda1b1c1d1中，d1d平面abcd，底面abcd是平行四边形，ab2ad，ada1b1，bad60.求证：(1)aa1bd；(2)cc1平面a1bd.规律方法 (1)线线垂直的证明方法相交垂直：可借助定义或平面几何知识进行证明；异面垂直：由线面垂直的性质定理进行证明(2)证明线线平行的常用方法利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；利用平行四边形进行转换；利用三角形中位线定理证明；利用线面平行、面面平行的性质定理证明(3)证明线面平行的常用方法定义法；利用线面平行的判定定理；利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行(4)证明线面垂直的常用方法利用直线和平面垂直的定义此种方法利用向量证明较好；利用线面垂直的判定定理，此种方法要注意平面内的两条直线必须相交；利用线面垂直的性质，两平行线中一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面；利用面面垂直的性质，两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面此种方法要注意“平面内的直线”；利用面面垂直的性质，两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面；利用面面平行的性质，一条直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个平面变式训练2 如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，adc45，adac1，o为ac的中点，po平面abcd，po2，m为pd的中点求证：(1)pb平面acm；(2)ad平面pac.热点三面面平行与垂直的证明【例3】在直角梯形abcd中，adbc，abbc，ad2，bc4，p为平面abcd外一点，且papb，pdpc，n为cd的中点(1)求证：平面pcd平面abcd；(2)在线段pc上是否存在一点e使得ne平面abp？若存在，说明理由并确定e点的位置；若不存在，请说明理由规律方法 (1)证明面面平行的常用方法利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；利用面面平行的判定定理；利用两个平面垂直于同一直线；证明两个平面同时平行于第三个平面(2)证明面面垂直的方法证明一个平面经过另一个平面的垂线，一般先在现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则应借助中点、高线等添加辅助线解决；利用面面垂直的定义新课标对此要求较低变式训练3 如图，已知三棱锥abpc中，appc，acbc，m为ab中点，d为pb中点，且pmb为正三角形求证：(1)dm平面apc；(2)平面abc平面apc.热点四折叠问题【例4】如图，在abc中，b，abbc2，p为ab边上一动点，pdbc交ac于点d，现将pda沿pd翻折至pda，使平面pda平面pbcd.(1)当棱锥apbcd的体积最大时，求pa的长；(2)若点p为ab的中点，e为ac的中点，求证：abde.规律方法 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)将平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决(3)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形变式训练4 (2012江西南昌二模，理18)如图，直角梯形abcd中，adbc，abc90，e，f分别是边ad和bc上的点，且efab，ad2ae2ab4fc4，将四边形efcd沿ef折起使aead.(1)求证：af平面cbd；(2)求平面cbd与平面abfe夹角的余弦值思想渗透转化与化归思想解决立体几何中的探索性问题(1)解决立体几何中探索性问题的常用方法是：先研究特殊点(端点、中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再进行证明；(2)当特殊点或特殊位置不符合要求时，可以通过运算(向量法)或根据结论分析出点线位置，再用综合法证明；(3)解决探索性问题的一般步骤为：首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾结论就否定假设【典型例题】如图，四棱锥pabcd中，pd平面abcd，底面abcd为矩形，pddc4，ad2，e为pc的中点(1)求证：adpc；(2)求三棱锥apde的体积；(3)在ac上是否存在一点m，使得pa平面edm？若存在，求出am的长；若不存在，请说明理由(1)证明：因为pd平面abcd，所以pdad.又因为四边形abcd是矩形，所以adcd.因为pdcdd，所以ad平面pcd.又因为pc平面pcd，所以adpc.(2)解：由(1)知ad平面pcd，所以ad是三棱锥apde的高因为e为pc的中点，且pddc4，所以spdespdc4.又ad2，所以vapdeadspde24.(3)解：取ac的中点m，连接em，dm，因为e为pc的中点，m是ac的中点，所以empa.又因为em平面dem，pa平面edm，所以pa平面dem.此时amac，即在ac上存在一点m，使得pa平面edm，且am的长为.1(2012湖南株洲质检，7)若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题：(1)若m，n，则mn；(2)若，则；(3)若m，n，则mn；(4)，m，则m.其中正确的命题是()a(1)(4) b(2)(3)c(1)(2)(4) d(1)(3)2(2012山东济南二模，10)设，是两个不同的平面，m，n是平面内的两条不同直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()aml1且nl2 bm且nl2cm且n dm且l13如图，在斜三棱柱abca1b1c1中，bac90，bc1ac，则c1在底面abc上的射影h必在()a直线ab上 b直线bc上c直线ac上 dabc内部4如图所示，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，且底面各边都相等，m是pc上的一动点，当点m满足_时，平面mbd平面pcd.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)5如图所示，已知pa矩形abcd所在平面，m，n分别是ab，pc的中点(1)求证：mncd；(2)若pda45，求证：mn平面pcd.6(2012广东梅州中学三模，18)如图所示，正方形abcd与直角梯形adef所在平面互相垂直，ade90，afde，deda2af2.(1)求证：ac平面bef；(2)求四面体bdef的体积参考答案命题调研明晰考向真题试做1c解析：若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交选项a错；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，则经过这三个点的平面与这个平面相交，选项b不正确；如图，平面b，a，a，过直线a作平面c，过直线a作平面d，a，ac，a，ad，dc，c，d，d，又d，db，ab，选项c正确；若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可平行、可相交，选项d不正确2b解析：当ac1时，由dc1，ad，得acd为直角，dcac，又因为dcbc，所以dc面abc所以dcab3a解析：由面面垂直的性质定理可得，m，b，bmb又a，ab，但反之则不成立4d解析：连接ac交bd于点o，连接oe，ab2，ac2又cc12，则accc1作chac1于点h，交oe于点m由oe为acc1的中位线知，cmoe，m为ch的中点由bdac，ecbd知，bd面eoc，cmbdcm面bdehm为直线ac1到平面bde的距离又acc1为等腰直角三角形，ch2hm15证明：(1)因为abca1b1c1是直三棱柱，所以cc1平面abc又ad平面abc，所以cc1ad又因为adde，cc1，de平面bcc1b1，cc1dee，所以ad平面bcc1b1又ad平面ade，所以平面ade平面bcc1b1(2)因为a1b1a1c1，f为b1c1的中点，所以a1fb1c1因为cc1平面a1b1c1，且a1f平面a1b1c1，所以cc1a1f又因为cc1，b1c1平面bcc1b1，cc1b1c1c1，所以a1f平面bcc1b1由(1)知ad平面bcc1b1，所以a1fad又ad平面ade，a1f平面ade，所以a1f平面ade精要例析聚焦热点热点例析【例1】d解析：选项a中的结论只在平面内成立，在空间中不一定成立；对于选项b，空间线面的平行没有传递性；对于选项c，垂直于同一个平面的两个平面不一定平行；对于选项d，空间平面的平行关系具有传递性【变式训练1】b【例2】证明：(1)方法一：因为d1d平面abcd，且bd平面abcd，所以d1dbd又因为ab2ad，bad60，在abd中，由余弦定理得bd2ad2ab22adabcos 603ad2，所以ad2bd2ab2所以adbd又add1dd，所以bd平面add1a1又aa1平面add1a1，故aa1bd方法二：因为d1d平面abcd，且bd平面abcd(如图)，所以bdd1d取ab的中点g，连接dg(如图)在abd中，由ab2ad得agad又bad60，所以adg为等边三角形，因此gdgb，故dbggdb又agd60，所以gdb30，故adbadggdb603090，所以bdad又add1dd，所以bd平面add1a1又aa1平面add1a1，故aa1bd(2)如图，连接ac，a1c1设acbde，连接ea1因为四边形abcd为平行四边形，所以ecac由棱台定义及ab2ad2a1b1知a1c1ec且a1c1ec，所以四边形a1ecc1为平行四边形因此cc1ea1又因为ea1平面a1bd，cc1平面a1bd，所以cc1平面a1bd【变式训练2】证明：(1)连接bd，mo在平行四边形abcd中，因为o为ac的中点，所以o为bd的中点又m为pd的中点，所以pbmo因为pb平面acm，mo平面acm，所以pb平面acm(2)因为adc45，且adac1，所以dac90，即adac又po平面abcd，ad平面abcd，所以poad而acpoo，所以ad平面pac【例3】(1)证明：取ab中点m，连接pm，pn，mn，则pmab，pncd又abcd为直角梯形，abbc，mnabpmmnm，ab平面pmn又pn平面pmn，abpnab与cd相交，pn平面abcd又pn平面 pcd，平面pcd平面abcd(2)解：假设存在在pc，pb上分别取点e，f，使bfbp，cecp，连接ef，mf，ne，则efbc且可求得efbc3mn3且mnbc，efmn且efmnmnef为平行四边形，enfm又fm平面pab，在线段pc上存在一点e使得ne平面abp，此时cepc【变式训练3】证明：(1)m为ab中点，d为pb中点，mdap又md平面apc，ap平面apc，dm平面apc(2)pmb为正三角形，且d为pb中点，mdpb又由(1)知mdap，appb又appc，pbpcp，ap平面pbc，apbc又acbc，apaca，bc平面apc，平面abc平面pac【例4】(1)解：令pax(0x2)，则appdx，bp2x因为appd且平面apd平面pbcd，故ap平面pbcd，所以vapbcdsh(2x)(2x)x(4xx3)令f(x)(4xx3)，由f(x)(43x2)0，得x当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减所以，当x时，f(x)取得最大值，即当vapbcd最大时，pa(2)证明：设f为ab的中点，连接pf，fe，则有efbc又pdbc，所以depf又appb，所以pfab，故deab【变式训练4】解：(1)证明：cfde，cfde，延长dc，ef会相交设dcefg，连接bg，则fgef，gfba，gfba，四边形abgf是平行四边形，afbg又bg平面cbd，af平面cbd，af平面cbd(2)设ae的中点为oadaede2，则doae且do又efae，efed，ef平面ade，efdo，do平面abfe如图，以点o为原点，过点o且平行于ab的直线为x轴，oe所在直线为y轴，od所在直线为z轴，建立空间直角坐标系oxyz，则平面abfe的法向量m(0,0,1)，b(2，1,0)，d(0,0，)，g(4,1,0)设平面cbd的法向量n(x，y，z)，则n0(2,2,0)(x，y，z)0xy0，n0(2,1，)(x，y，z)02xyz0