高中数学 第二章 推理与证明章末整合提升课件 新人教A版选修22.ppt

第二章 推理与证明 章末整合提升 知识网络 专题突破 专题一 合情推理与演绎推理 1 合情推理分为归纳推理和类比推理 是基本的分析和解决问题的方法 合情推理是合乎情理的推理 通过归纳 猜测发现结论 为解决问题提供了思路和方向 归纳推理和类比推理的特点与区别 类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的 归纳推理是由特殊到一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 2 演绎推理演绎推理是数学证明中的基本推理形式 三段论 是演绎推理的一般模式 3 近几年高考对推理的考查 1 以选择题 填空题的形式考查合情推理 2 以选择题或解答题的形式考查演绎推理 3 题目难度不大 多以中低档题为主 典例1 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 他们研究过图1中的1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似的 称图2中的1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方形数的是 a 289b 1024c 1225d 1378 c 规律方法 三段论的推理依据 三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是 若集合m的所有元素都具有性质p s是m的子集 那么s的所有元素都具有性质p 三段论推理中包含三个判断 第一个判断叫大前提 第二个判断叫小前提 它指出了一个特殊情况 这两个判断联合起来 揭示了一般原理和特殊情况的内在联系 从而产生了第三个判断 结论 专题二 直接证明 综合与分析法是证明命题的两种最基本 最常用的直接证明方法 综合法常用于由已知推论较易找到思路时 分析法常用于条件复杂 思考方向不明确且用综合法较难证明时 单纯应用分析法证明并不多见 常常是用分析法寻找思路 用综合法表述过程 因此在实际应用中 经常要把综合法与分析法结合起来使用 本考点在高考中每年都要涉及 主要以考查直接证明中的综合法为主 典例2 专题三 用反证法证题 反证法是间接证明的一种基本方法 它不去直接证明结论 而是先否定结论 在否定结论的基础上 运用正确的推理 导出矛盾 从而肯定结论的真实性 在证明一些否定性命题 唯一性命题或含有 至多 至少 等字样的命题时 正面证明往往较难 此时可考虑反证法 即 正难则反 典例3 已知x r a x2 1 b 2x 2 求证a b中至少有一个是非负数 分析 假设a 0 b 0 则a b 0 又a b x2 1 2x 2 x2 2x 1 x 1 2 0 这与假设所得结论矛盾 故假设不成立 解析 假设a b中没有一个是非负数 即a 0 b 0 所以a b 0 又a b x2 1 2x 2 x2 2x 1 x 1 2 0 这与假设所得结论矛盾 故假设不成立 所以 a b中至少有一个是非负数 规律方法 用反证法证明问题时要注意以下三点 1 必须否定结论 即肯定结论的反面 当结论的反面呈现多样性时 必须罗列出各种可能结论 缺少任何一种可能 都不是反证法 2 反证法必须从否定结论进行推证 即应把结论的反面作为条件 且必须根据这一条件进行推证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行推理 就不是反证法 3 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与事实矛盾等 但是推导出的矛盾必须是明显的 专题四 用数学归纳法解题 数学归纳法是一种证明方法 可以证明与正整数有关的命题 如恒等式 不等式 几何问题以及整除问题等 高考数学归纳法的考查 一般以数列为背景 涉及等式 不等式等问题 归纳 猜想 证明是解决此问题的通法 典例4 在数列 an 与 bn 中 a1 1 b1 4 数列 an 的前n项和sn满足nsn 1 n 3 sn 0 2an 1为bn与bn 1的等比中项 n n 1 求a2 b2的值 2 求数列 an 与 bn 的通项公式 解析 1 由题设有a1 a2 4a1 0 a1 1 解得a2 3 由题设又有4a b2b1 b1 4 解得b2 9 规律方法 数学归纳法的主要思想 数学归纳法中两个步骤体现了递推思想 第一步是递推基础 也叫归纳奠基 第二步是递推的依据 也叫归纳递推 在这一步中归纳假设必须用上 否则就不是数学归纳法 专题五 转化与化归思想 转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法 数学中一切问题的解决都离不开转化与化归 转化与化归是数学思想方法的灵魂 在本章中 合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化 数学归纳法体现的是一般与特殊 有限与无限的转化 反证法体现的是对立与统一的转化 典例5 规律方法 1 归纳推理是从特殊到一般 从部分到整体的推理 在归纳 猜想阶段体现的是一般与特殊的相互转化关系 2 归纳推理得到的结论未必正确 还需检验和证明 有时要用到三段论 专题五 分类讨论思想 分类讨论思想在本章的证明问题中 无论是直接法还是间接法 都有所体现 如用反证法证明命题时 若结论的反面情况不唯一时 则必须采用分类讨论的方法对反面情况逐一否定 才能使问题得以证明 已知平面上有四个点a b c d 任何三点都不共线 求证以每三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 分析 分别对第四个顶点在前三个顶点确定的三角形内 外两种情形进行讨论 解析 假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形 考虑点d在 abc内 外两种情形 如图 1 所示 点d在 abc内 典例6 规律方法 利用反证法证明时 若否定结论后出现多种情况 则需要分类讨论 记得最后下结论时 说明上述情况均矛盾 故假设不成立 原结论成立 一 选择题1 异面直线在同一平面内的射影不可能是 a 两条平行直线b 两条相交直线c 一点与一直线d 同一条直线 解析 若两条直线在同一平面的射影是同一直线 则这两条直线的位置关系为平行或相交或重合 这均与异面矛盾 故异面直线在同一平面内的射影不可能为一条直线 故应选d d c a c 二 填空题5 根据下面一组等式s1 1 s2 2 3 5 s3 4 5 6 15 s4 7 8 9 10 34 s5 11 12 13 14 15 65 s6 16 17 18 19 20 21 111 s7 22 23 24 25 26 27 28 175 可得s