悟理优于揭示揭示重于讲授——对高中数学解题教学的认识与实践.pdf

鏊篓壹一萃 2 0 1 4 年6 月 广东省东莞市孟胜奇名师工作室 悟理优于揭示 揭示重于讲授 对高中数学解题教学的认识与实践 广东省东莞市第一中学孟胜奇 解题是学习数学的重要内容 也是数学高考的考查 方式 因而 如何解题成为数学教学的重要任务 解题研 究也成为数学教师的一个重要研究方向 在解题教学 中 教师热衷于数学例题的讲解 解答示范和解题训练 但是 解题教学经常出现低效现象 听得懂 想不到 化不了 算不对 的状况 其原因之一在于解题教学没有 抓住或者深入挖掘成功解题的关键因素 解题化归论 认为 数学解题的过程 就是将未知 的数学问题转化为已经解决的问题的化归过程 化归的 基本方向是化难为易 化繁为简 化隐为明 化生为熟 化归的依据是高中数学的基本理论 即由概念 公理 定 理 公式 法则等基本原理构成的体系 正确化归的逻辑 保障就是演绎推理 也就是上一个结论是下一个结论的 充分条件 化归的关键在于找到解决问题的切入点 转化方 向 转化手段以及准确的运算 这四个方面是解题教学 要突破的关键 是学生解题过程中可能遇到的 坎 称 之为 节点 突破 节点 能力的形成 不仅在于模仿 更 在于悟理 理 是指解题的道理 规律 悟理 是指学生 在解题及学习过程中 通过类比 联想 探索 构造等方 式悟到解题突破点 转化方向 转化手段等关键要素的 思维过程 学生是悟理的主体 在 悟 中获得感性认知 和理性分析的体验 促进知识的内化和能力 品质的发 展 学生作为认知主体 通过探索 发现 求解 论证得到 问题的答案 是其自觉追求和本能欲望 在解题教学中 对于每一个 节点 的破解 首要选 择就是创设合适情境 让学生悟出 节点 的破解 其次 如果问题难度大 学生不易悟出思路 教师在讲解中要 着力 揭示 节点的突破过程 并在解题后引导学生反 思 予以强化 避免不分轻重的笼统讲授 揭示是指教师 对解题思路萌发的思维活动的分析和逻辑关系的解释 教师是揭示的主体 学生是观察者 学习者 学习结果表 现为认同 明白 此时 揭示的 理 依然是外在的 还没 有内化为学生自身的素养 学生求解论证能力的形成 在于是否能独立破解解题的 节点 在于解题体悟的积 7 9 寸 事擞 7 高中版 淀 教学中通过设问 启发 导引 揭示 悟理 反思及训 练等途径 激励学生积极思考 使悟 理 用 理 成为学 生的自觉意识和主动行为 本文结合对解题节点的剖析 探索提高解题教学的 效益和质量的措施与方法 一 创设悟理情景 解题时 对已知条件的使用方式有 直接套用 变式 运用 等价转用和综合运用等四种使用层次 并依次体 现出问题解决的思维难度 也是思维品质的反映 解题 的思维起点是题目的已知条件 已知条件的结构特征蕴 含着思路的突破口 一个问题的解决 往往要突破若干个 节点 节 点 可能存在于解题伊始 也可能存在于解题过程之中 对于 节点 的突破 上善之策是创设合适的破解情境 激励学生悟出破解途径 1 解题突破口悟理情境的创设 有的题目 学生在入口处就遇到节点 这时教师要 从已知条件的结构特征 含义等方面人手 启迪学生思 考 有的问题 还需要对已知做一些初步变形 才能发现 其本质含义 案例1已知函数厂 戈 的定义域为R 厂 一1 2 对任 意戈 R 厂7 戈b 2 求不等式八戈b 戮 4 的解集 教学分析 这是一个求解抽象不等式的问题 要借 助函数的单调性将该不等式化归为具体的不等式进行 求解 入口不易发现 设问1 已知条件中 不等式及戈b 五 4 与厂7 戈b 2 有 关系吗 这是第一个节点 激发学生从两式的结构特点人手进行分析 进而构 造出函数g 戈 亍八戈 一 2 戈 4 故兵戈b 戥 4 等价于g 戈b 0 由于9 7 戈 厂7 戈 一2 0 所以函数g 戈 是单调递增 函数 接着遇到第二个 节点 如何求解不等式 设问2 g 戈b 0 还是一个抽象不等式 求解的关键是 万方数据 2 0 1 4 年6 月 一萃黧萎 什么 启发学生思考 将不等式右边的0 转化为函数g 戈 的 一个值 注意到已知条件 不难发现g 一1 f 一1 一 2 一1 4 0 所以不等式 等价于g 戈 冶 一1 得戈 一1 所以 原不等式的解集为 x l x 一1 1 教学反思 求解本题的节点有两个 是两次关键转 化 教学时 在此设问 启发思考 有利于强化解题分析 提升转化能力 2 解题过程中悟理情景的创设 有些题目 在找到解题切入点 初步运算求解后 失 去了转化方向 或者找不到转化手段 此时 寻找下一步 转化方向 转化方法成为重要任务 教师要能够准确把 握问题解决遇阻的节点 设计合理的思维情境 让学生 悟出方向 找到突破手段 此为最佳境界 案例2 已知函数厂 戈 I L q c 一似2 血一2 x 求函数 及戈 在区间 矛 血 上的最大值 教学过程如下 师 学生很快将问题化解为厂7 戈 2 x 一1 a x 1 戈 戈 0 进而判断函数的单调性 止匕时 遇到的节点是戈能否取 到 一1 2a 生 需要讨论 要比较 1 与一 的大小 分三类讨 论 一 一 一 2a2a2a 生 当a 一2 时 区间 4 2 无意义 生 a O 乖H a O 时 区间 n 2 血 也有问题 师 区间 矛 血 隐含着什么结论 生 a 2 a 可以解得O a 1 片段反思 对于隐含条件a 2 a 的发现 教师没有点破 诱导学生自己发现 这种感悟是深刻的 持久的 生 因为O a O 所P 以a x l O 由于当 奶 时 f7 戈 0 所以函粼戈 在 i 1 上单调递增 在f 了1 1 上单调递减 所以函粼戈 只有 一个极大值点戈 1 师 极大值点X 是确定的 而区间 a 2 血 是变化 的 怎样确定及戈 的最大值 片段反思 这又是一个节点 其解决难点在于确立 分类讨论标准 以及正确进行分类讨论 教师没有急于 讲解 而是给学生一定的思考时间 让学生探究 发现解 答思路 悟出分类讨论的标准 生 按区间 矿 血 在极值点i 1 的左侧 含有极值点 f 0 血 1 和在极值点右侧三种情形讨论 即 一1 a f 0 血 1 f 0 血 1 1 a 2 l 血 1 矛 也就是分o 血 妃 立手 一一一 立兰 血 1 三类讨论 至此 关键 节点 已全部破解 师生共同完成下面 运算 当o 血 时以戈 7 在E a 2 血 上单调递增 所以及戈 一砜血 l n 俨矿 矿一2 m 当 调递增 在f 血1 上单调递减 所以戈 一可 1 一l n 2 一号 丁a 2 百a 一 一l n 2 当 矿 即盟2 血 0 当 x 0 时 9 7 戈 x e o 故函数g 戈 在区间 0 上是增函 数 则有 m 1 7 7 m j l t o lJ e n 十1 师 下来怎么办 学生沉思 无人回答 师 这两个式子有什么共同点 你得到什么发现 生 两个式子的结构完全一样 可以将m n 看作方 程 戈一1 e X x 一1 0 的两个根 师 很好 方程 的两个根还有其他约束条件吗 生 m n 是两个不相等的正根 只要判断出方程 是 否存在两个不等正根 这个问题就解决了 片段反思 上述过程中 将方程组的求解转化为对 方程 的根的研究 是一个重要节点 此过程中 教师 启发 导引 由学生悟出节点的突破方向和手段 同时 对于学生忽视或者表述不规范的地方 教师作以提示 矫正 师 那么 怎样研究方程 是否存在两个不等正根 呢 显然 我们不可能通过解方程求出根或者否定它不 存在两个正根 生 将方程的根转化为函数的零点 师 很好 大家试试看 生 令h 戈 x 一1 e o c 叫一1 则需要判断函数h 戈 在 0 上是否有两个不同的零点 易得h7 戈 x e 1 以 后不好办了 师 对函数h 戈 求导的目的在于研究该函数的图 像 进而勾勒出函数h 戈 的特征图 再根据特征图研究 函数矗 戈 的零点 下面重点分析矗 戈 的零点状况 不难发现 当x 0 时 函数h7 戈 x e 一1 是增函数 因为h7 o 一1 0 所以在区间 0 1 上存在戈 使得h7 X 0 o 所以当0 x x 时 h7 戈 x 时 h7 戈b 0 所以h 戈 X 一1 e X x 一1 在区间 0 x o 上是减函数 在区间 上是增函数 7 4 寸 事擞 7 高中版 先判断函数矗 戈 在区间 0 x o 上是否存在零点 因为h 0 一2 0 h 戈 矗 0 0 且h 戈 在区间 0 x o 上是减函数 所以h x 在区间 0 X 0 上不存在零点 再判断函数矗 戈 在区间 上是否存在零点 注意到矗 戈 0 故h x h 2 e 2 3 h x 0 时 函数g 戈 不存在 增值区间 教学反思 函数特征图如图1 通过研究发现函数有两个单调区间 0 X O 和 接下来要判断函 数零点个数 自然在两个区间里分 别讨论 由于第一个区间无零点 所 以要在整个区间 0 戈 上判断 第二 n x jx l 2 图1 个区间里存在零点 处理的技术是选取 的 个 子区间 如 2 即可 从而作出整体性结论 在解题后 半部分 思维量大 技术性强 对几个节点的突破 师生 共同分析 教师要重点揭示转化方向和手段 在求解过 程中 适时画出函数h 戈 的特征图 帮助学生直观地理 解 分析 三 在反思与比较中优化思维 对已知的分析 不仅要看到已知的表象 更要看到 已知所揭示的知识问的本质联系与深刻涵义 一个问题 往往有好几种求解方向 不同的方向生成不同的解法 解法有简有繁 解题之初进行必要的比较和预判 优化 解题思路 选择一种简洁解法 不但赢得了时间 也减少 了出错的几率 因而 解题时要吃透题意 找好切入点 优化思维 不宜抓住题就做 案例4 如图2 已知点P 是圆 E 戈 3 2 y 2 1 6 2 的任意一点 点R 与点日关于原点对称 线段P R 的中垂线与眠交于点M 求点M 的 轨迹C 的方程 教学分析 这是一个非常典型 P k 僳 F 10 j 图2 的问题 难度不大 学生不难得到R 一 r o 和R r 0 设P s t 一部分学生尝试建立直线啊以及线段踢 的中垂线的方程 然后联立两个方程求解 没有学生能 够依此求出点M 的轨迹方程 这是机械套用点朋生成过 程 是对已知条件的直用 没领悟到已知的本质含义 事实上 线段中垂线上任意一点到线段两端点的距 离相等 即l 7 l 伊l E 1 万方数据 2 0 1 4 年6 月 一萃魏萎 因为l 朋一l l 朋R l l 朋一l l 朋爿 l P I 4 1 F 1 F 2 l 所以点M 的轨迹是以R 和R 为焦点 长轴长为4 的椭圆 2 易于求出其方程为兰 俨 1 4 教学反思 类似于本题的平面几何知识在解析几何 和立体几何中的跨学科综合应用 在解题中会不时见 到 启迪学生抓住已知条件的涵义 多角度思考 由于解 析几何的重点在于用代数方法研究几何曲线问题 平面 几何又远离这一情景 学生不易想到 因而课后需要配 备同类练习 予以强化 四 在求解论证的实践中体悟转化 技术 1 求解论证的起点是转化方向的破解 求解论证是一项实践活动 成功的关键依托于对算 理和已知条件的理解应用 要弄清已知条件的本质涵义 是什么 有哪些等价表述形式 下一步 沿着哪个方向求 解有利于沟通已知与求解目标的联系 案例5 如图3 已知直 线y k x 2 矗 0 与抛物线 c y 2 8 x 才H 交于4 B 两点 F 为 抛物线c 的焦点 若I F Al 2 1 F B I 求矗的值 教学分析 抛物线的准 线方程为X 一2 准线X 一2 与戈图3 轴交于点P 直线y k 戈 2 过点P 分别过4 B 两点作准线 的垂线 垂足分别为M N 贝r J A M B N 因为I F A1 2 1 F B I 所以L 4 M l 2 1 B N l 所以B 7 7 为 4 删的中位线 B 为4 P 的中点 1 又0 为P 啪中点 所以O B 4 F 且I O B I 1 4 月 2 注意到l 砑1 2 1 F B I 所以I O B I I B N 因为点F 的坐标为 2 0 所以点B 的横坐标为1 从 百 而点B 的坐标为 1 2 X 2 所以矗 兰生生 3 教学反思 将I A F I I B F l 分别转化为I A M I I B N I 后 根 据图形结构和1 4 M l 2 l B l 发现点B 是线段4 P 的中点 这 是第一个节点 在此基础上 注意到0 是线段阡的中点 1 发现o B F A H I O B I l 砑l 得出I O B I I B N 这是第二个 2 节点 突破两个节点的关键在于能够根据已知 依据图 形进行分析 2 求解论证的关键是找到转化手段 转化与化归需要 技术 这就是数学方法 变形技 巧 数学体系中的概念 性质 法则 公式 公理 定理及 由其内容反映的数学思想方法既是 技术 产生的基石 又是解决问题的具体工具 案例6 如图4 已知椭圆c 的方程为篓 三 1 血 6 o 双 旷0 一 曲线三一兰 1 的两条渐近线为 旷b z f 2 过椭圆c 的右焦点F 作直线 1 y o 乡 叼 k 乏 趔 B 图4 1 便U2 1 又污1 2 父于点P 设肖椭圆C 的两个交点由上至 下依次龇球器的最大值 教学分析 N 为z 上z 所以直线z 的方程为y 2 i a 戈一 其中 孑孑 又直线z 的方程为y b 戈 联立直线z 与z 的方程解得点P f 鱼 尘1 显然 动点4 受制约于a 6 接下来怎样转化 一个方 向是器 揣 矿1 而1器 等等肌aFA F ACa l 口J 是 m 斤j 1 4 P l1 F 1 P l ll 硎 7 一e 戈 7 l 砑l 1 6 表示的戈 是一个复杂的式子 运算受阻 另一个方向是 注意到F 4 P 三点共线 根据求解目标 吸几百I F A 鬲I A 则有 赢 A 砬这样就可用血 6 A 表示4 点的坐标 y 代入 椭圆方程后求得A 将问题转化为求A 的最大值 故设器 A 则蔚 A 本 因为点F c 0 设点A X OY 则有 铷一c y o A 尘C 叫 尘C y 1 解得戈 詈C 1 4 专m 云C 粤1 4 k 人 人 因为点4 如 在椭圆等 菩 l 上 所以纂 嵩煞 即 C 2 A a 2 2 A 2 矿 1 A 2 如2 等式两边同除以矿得 6 2 A 2 A 2 e 2 1 A 2 e 0 1 所蚜 尝 一卜2 瓦2 3 q 2 料壶 3 3 2 订 订一1 2 所以当2 一e 2 j 即e W 2 一 虿时 A 取得最大值 一D 一 虿一1 故百I F A 鬲I 制取大值为 虿一1 教学反思 汶是一 首综合件日最 运算量大的颢目 求 高中版寸 拿擞 7 7 5 万方数据 鍪篓壹一萃 2 0 1 4 年6 月 解过程中 遇到三个关键节点 分别是 节点 中 向量的起点和终点不能弄错 节点 中以哪一个字母为 主元进行变形 要重点解析 节点 中的变形是一种常 用技术 需要认真剖析 并揭示三个节点转化方向产生 的因由 在解题教学中 对节点的破解 以悟为重 揭示为 辅 教师要准确把握学生思考过程中可能遇到的节点 创设思维情景 激发学生类比 联想 在学生突破的过程 中获得真实体验 探索出结论 问题的成功解决 若来自于学生 则能够激发学生 的兴趣 磨砺学生的意志 积淀良好的学习品质 因而 一些符合学生最近发展区的问题 尽量让学生思考体 悟 成功的解题教学就是能够激励学生在问题解决中不 断突破节点 探索出结论 能够点燃学生的思维火花 使 学生获得成功感的教学 参考文献 1 中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准 实验 M 北京 人民教育出版社 2 0 0 3 2 罗增儒 q 学数学解题的理论与实践 M 南宁 广 西教育出版社 2 0 0 8 3 广东教育考试院 2 0 1 4 年普通高等学校招生全国 统一考试大纲 广东卷 说明 M 广州 广东高等教育出 版社 2 0 1 4 4 魏所康 创新教育理论 M 南京 江苏人民出版 社 2 0 0 2 5 曹才翰 章建跃 q 学数学教学概论 M 北京 北 京师范大学出版社 2 0 0 8 圃 上接第6 9 页 这个条件可以转化为船上D A 这样直线 P B 自 9 斜率就可以直接用点D 的坐标表示出来 大大降低 运算量 听完笔者对思维过程的分析 就有学生提问 可 以设点P 的坐标来表示点D 的坐标吗 经过分析 发现理 论上可行 但是运算量实在太大 所以还存在方法的选 择问题 另有学生提出能否直接设直线础的斜率为k 来 求 师生交流得到解法为与椭圆方程联立 用k 表示出点 D 的坐标 进而表示出D C 的斜率k 又直线船的斜率为 1 一 最后用k 表示出A 的取值范围 另一学生提问 老师 尤 我想请大家帮我看看我的解法为什么解不出 设 D x Y e x Y 表示出k k 再表示出A 怎么那个式 子中含有 Y 2s Y Y 没办法求A 的范围啊 通过大家的共 同交流 发现还是没有用足三个条件 点D 在椭圆上 点P 在圆上 得垂直 P D 4 三点共线 上述教学过程中 教师通过问题把思维过程展示给 学生