高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 第2课时 利用导数研究函数的最值课件 新人教B版选修22.ppt

第2课时利用导数研究函数的最值 第一章1 3 2利用导数研究函数的极值 学习目标1 理解函数最值的概念 了解其与函数极值的区别与联系 2 会求某闭区间上函数的最值 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点函数的最大 小 值与导数 观察 a b 上函数y f x 的图象 试找出它的极大值 极小值 答案 答案极大值为f x1 f x3 极小值为f x2 f x4 如图为y f x x a b 的图象 思考2 结合图象判断 函数y f x 在区间 a b 上是否存在最大值 最小值 若存在 分别为多少 答案 答案存在 f x min f a f x max f x3 思考3 函数y f x 在 a b 上的最大 小 值一定是某极值吗 答案 答案不一定 也可能是区间端点的函数值 思考4 怎样确定函数f x 在 a b 上的最小值和最大值 答案比较极值与区间端点的函数值 最大的是最大值 最小的是最小值 1 函数的最值假设函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条连续不间断的曲线 则该函数在 a b 内一定能够取得最大值与最小值 函数的最值必在或取得 由于可导函数在区间 a b 内的极值只可能在使 的点取得 因此把函数在的值与区间内使的点的值作比较 最大者必为函数在 a b 上的最大值 最小者必为最小值 梳理 f x 0 极值点 区间端点 区间端点 f x 0 2 求函数y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 求f x 在开区间 a b 内所有使的点 计算函数f x 在区间内使的所有点和的函数值 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 f x 0 f x 0 端点 题型探究 例1已知函数f x x3 3x x r 1 求f x 的单调区间 解答 类型一求函数的最值 命题角度1不含参数的函数求最值 解f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当x1时 f x 0 当 1 x 1时 f x 0 所以f x 的单调增区间为 1 和 1 单调减区间为 1 1 解答 f x 的极大值为f 1 2 f x 的极小值为f 1 2 求解函数在固定区间上的最值 需注意以下几点 1 对函数进行准确求导 并检验f x 0的根是否在给定区间内 2 研究函数的单调性 正确确定极值和端点函数值 3 比较极值与端点函数值的大小 确定最值 反思与感悟 解析f x 2x sinx 令f x 0 即2x sinx 0 得x 0 答案 解析 解答 由f x 0 得x 1 2 舍去 函数f x f x 随x的变化状态如下表 例2已知函数f x ax3 x2 b x r 1 若曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y 6x 8 求a b的值 解答 命题角度2含参数的函数求最值 解f x 3ax2 3x 由f 2 6 得a 1 由切线方程为y 6x 8 得f 2 4 又f 2 8a 6 b b 2 所以b 2 所以a 1 b 2 2 若a 0 b 2 当x 1 1 时 求f x 的最小值 解答 解f x 3ax2 3x 3x ax 1 若 1 即0 a 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 若01 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 跟踪训练2求函数f x x3 4x 4在 0 a a 0 上的最大值和最小值 解答 解f x x2 4 令f x 0 得x 2或x 2 舍去 因为0 x a 所以当0 a 2时 f x 0 所以f x 在区间 0 a 上是减函数 当x 0时 f x 取最大值f 0 4 从上表可知 当x 2时 f x 取最小值f 2 f x 的最大值为f 0 与f a 中较大的一个 当a 2时 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 综上可得 类型二由函数的最值求参数 解答 例3 1 已知函数f x ax3 6ax2 b x 1 2 的最大值为3 最小值为 29 求a b的值 解由题设知a 0 否则f x b为常函数 与题设矛盾 求导得f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 得x1 0 x2 4 舍去 当a 0 且当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由表可知 当x 0时 f x 取得极大值b 也就是函数在 1 2 上的最大值 f 0 b 3 又f 1 7a 3 f 2 16a 3f 1 f 2 16a 29 3 解得a 2 综上可得a 2 b 3或a 2 b 29 解答 2 已知h x x3 3x2 9x 1在区间 k 2 上的最大值是28 求k的取值范围 解h x x3 3x2 9x 1 h x 3x2 6x 9 令h x 0 解得x1 3 x2 1 当x变化时 h x 及h x 的变化情况如下表 当x 3时 f x 取极大值28 当x 1时 f x 取极小值 4 而h 2 3 h 3 28 如果h x 在区间 k 2 上的最大值为28 则k 3 即k的取值范围为 3 已知函数在某区间上的最值求参数的值 范围 是求函数最值的逆向思维 一般先求导数 利用导数研究函数的单调性及极值点 探索最值点 根据已知最值列方程 不等式 解决问题 其中注意分类讨论思想的应用 反思与感悟 跟踪训练3设函数f x lnx m 0 求f x 的最小值为2时的m的值 解答 所以当x 0 m 时 f x 0 f x 在 m 上是增函数 所以当x m时 f x 取得极小值 也是最小值 即极小值为2 即f m lnm 2 所以m e 类型三与最值有关的恒成立问题 例4 1 已知2xlnx x2 ax 3对一切x 0 恒成立 则a的取值范围为 答案 解析 4 解析由2xlnx x2 ax 3 当x 0 1 时 h x 0 h x 为单调增函数 h x min h 1 4 a h x min 4 2 设函数f x tx2 2t2x t 1 x r t 0 求f x 的最小值h t 解答 解 f x t x t 2 t3 t 1 x r t 0 当x t时 f x 取最小值f t t3 t 1 即h t t3 t 1 若h t 2t m对t 0 2 恒成立 求实数m的取值范围 解答 解令g t h t 2t m t3 3t 1 m 由g t 3t2 3 0 得t 1 t 1 不合题意 舍去 当t变化时 g t g t 的变化情况如下表 g t 在 0 2 内有最大值g 1 1 m h t 2t m在 0 2 内恒成立等价于g t 0在 0 2 内恒成立 即等价于1 m 0 m的取值范围为 1 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 反思与感悟 跟踪训练4设f x lnx g x f x f x 1 求g x 的单调区间和最小值 解答 解由题设知f x 的定义域为 0 令g x 0 得x 1 当x 0 1 时 g x 0 故 1 是g x 的单调增区间 因此 x 1是g x 在 0 上的唯一极值点 且为极小值点 从而是最小值点 所以最小值为g 1 1 解答 即lna0成立 由 1 知 g x 的最小值为1 所以lna 1 解得0 a e 故a的取值范围为 0 e 当堂训练 1 函数f x x3 3x x 1 a 有最大值 无最小值b 有最大值 最小值c 无最大值 最小值d 无最大值 有最小值 答案 2 3 4 5 1 解析 解析令f x 3x2 3 0 得x 1或1 舍去 当x 1 时 f x 0 f x 为单调增函数 当x 1 1 时 f x 0 f x 为单调减函数 故f x 有最大值而无最小值 2 函数f x x2 ex 1 x 2 1 的最大值为a 4e 1b 1c e2d 3e2 答案 2 3 4 5 1 解析 解析f x xex 1 x 2 令f x 0 得x 2或x 0 当f x 0时 x0 当f x 0时 2 x 0 当x 0时 f 0 0 当x 1时 f 1 e2 所以函数的最大值为e2 故选c 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 4 已知函数f x x4 2x3 3m x r 若f x 9 0恒成立 则实数m的取值范围是 解析 答案 所以f x 2x3 6x2 令f x 0 得x 0或x 3 经检验知x 3是函数的最小值点 所以函数的最小值为f 3 3m 不