第四章习题解答及参考答案.pdf

第四章第四章 部分相干理论部分相干理论 部分习题解答及参考答案部分习题解答及参考答案 4 1 若光源所辐射的频率宽度为 波长宽度为 试证明 v v 设光波波长 8 632 8 2 10nmnm 试计算它的频宽v 若把光谱分布看成 是图 4 1 7 的矩形线型 则相干长度 c L等于多少 参考答案 m v c cLHzcv c 3 0 2 1020 105 1 4 2 设迈克耳逊干涉仪所用的光源为nmnm6 589 0 589 21 的纳双线 每一谱线的 宽度设为 0 01nm 试求 光场复相干度的模 当移动干涉仪的一臂时 可见到的条纹总数大约为多少 条纹对比度有多少个变化周期 每个周期有多少条纹 解 假设谱线分布为矩形线型 光源的归一化功率谱为 v vv v vv v vF 21 2 rectrect 2 1 光场的复相干度可按式 4 3 8 4 3 9 表示成 vivivi eevdvevF 22 0 2 2 1sinc 2 1 1 12 vvv 所以 cossincv 可见到的条纹总数为 58930 c L N 在复相干度的模的表示式 中 由于vv 故其第一个因子是 的慢变化非周期函 数 第二个因子则是 的快变化周期函数 其变化周期为v 1 故条纹对比度的变化 周期数为 60 0 v v n 每个周期内的条纹数为 982 60 58930 0 n N n 4 3 假设某气体激光器以 N 个等强度的纵模振荡 其归一化功率谱密度可表示为 2 1 2 1 011 1 N Nn vnvv N v 其中v 是纵模间隔 0 v为中心频率 为简洁起见 假定 N 为奇数 证明复相干度的模为 vN vN sin sin 若 N 3 且 v 1 0 画出 和 v 的关系曲线 解 0 0 1 21 22 222 0 0 1 21 2 sin1 sin NNiv ivivin v nNnN Nve vvn v edvee NNNv 所以 sin sin Nv Nv 当 N 3 时 sin 3 3sin v v 4 4 在图 X4 1 所示的杨氏双缝干涉实验中 采用缝宽为 a 的准单色扩展缝光源 并假设此 缝光源具有均匀的辐射强度 0 I 中心波长为nm600 写出 21 Q Q点的复空间相干度 若 a 0 1mm z 1m d 3mm 求观察屏上杨氏干涉条纹的对比度 若 z 和 d 仍取上述值 要求观察屏上的条纹对比度为 0 41 问缝光源的宽度 a 应为多 少 图 X4 1 习题 4 4 图示杨氏双缝 解 由范希特 泽尼克定理式 4 4 13 注意到双缝的对称分布 0 且不考虑 21 Q Q 的尺度 在光源是一维分布的情况下有 0 0 0 2 rectexpdsin sinc rectd xa Iixx aazz u ax z Ix za 故 21 Q Q的复相干度为 sinc dadz 在观察屏上干涉条纹的对比度由 21 Q Q点的复相干度的模决定 即 sinc 0 637Vdadz 由题设要求 sinc 0 41Vdadz 查表可知相应的 3 2 z ad 遂得 133 0 3 2 mm d z a 4 5 在上题的图示装置中 如果用一个很大的均匀发光光源与一个空间频率为 0 的正弦光 栅相叠加来代替缝光源 且正弦光栅的强度透过率为 0 1 1 cos2 2 t xx 为了获得高 的条纹对比度 0 与两缝间距 d 应满足什么条件 解 由于光源和正弦光栅的尺寸很大 可近似视为无穷大 先假设光栅尺寸为 2a 再让 a 求极限 由范希特 泽尼克定理可得双缝上的复相干度为 0 0 12 0 0 00 00 00 2 1 cos 2expd lim 2 1cos 2d 2 sin 2sin 2 2 sin 24 4 lim sin 2 2 a a a a I xixdx z I a xx dd aa zzz ad dzdzdz aaa 0 0 sin 2 lim 4 d a z da a z 于是 只有当 0 d z 0 即 0 dz 时 上式的极限值为最大且等于 2 1 也就是说 对于一个很大的非相干光源 在其上叠加一个正弦光栅 当其空间频率 0 与双缝间距 d 满 足关系 0 dz 时 也可得到较大的干涉条纹对比度 4 6 在衍射实验中采用一个均匀强度的非相干光源 其波长nm550 紧靠光源之前放 置一个直径为 1mm 的小圆孔 若希望对远处直径为 1mm 的圆孔产生近似相干的照明 求 衍射孔径到光源的最小距离 参考答案 5 68m 4 7 用准单色点光源照明与其相距为 z 的平面上任意两点 21 P P 试求在近轴近似条件下这 两点之间的复相干度的模 21 P Pu 解 设光源所在平面的坐标为 孔平面的坐标为 x y 点 21 P P的坐标分别为 221 1 yxyx 对于准单色点光源 其强度可表为 110 aII 在近轴近似条件下 由范希特 泽尼克