计算机模拟在数学建模中的应用.pdf

收稿日期 2003 09 02 基金项目 海南大学 2002 2003 年度教学研究项目 数学建模教育及对学生综合能力培养的 研究与实践0资助 作者简介 欧宜贵 1965 男 湖北钟祥人 海南大学信息科学技术学院副教授 博士 第 22 卷 第1 期海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版Vol 22 No 1 2004年 3 月NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN UNIVERSITYMar 2004 文章编号 1004 1729 2004 01 0089 07 计算机模拟在数学建模中的应用 欧宜贵 李志林 洪世煌 海南大学 信息科学技术学院 海南 海口 570228 摘 要 阐述了计算机模拟在数学建模中的作用 给出了蒙特卡洛方法和离散系统模拟方法实 现的具体过程 并通过具体的实例分析 说明计算机模拟方法在数学建模中的有效性 关键词 计算机模拟 数学建模 蒙特卡洛方法 离散系统 Matlab 6 0 中图分类号 O 141 文献标识码 A 1 概 述 计算机科学技术的迅猛发展 给许多学科带来了巨大的影响 计算机不但使问题的求解变 得更加方便 快捷和精确 而且使得解决实际问题的领域更加广泛 计算机适合于解决那些规模 大 难以解析化以及不确定的数学模型 例如对于一些带随机因素的复杂系统 用分析方法建模 常常需要作许多简化假设 与面临的实际问题可能相差甚远 以致解答根本无法应用 这时模拟 几乎成为人们的唯一的选择 在历届的美国和中国大学生的数学建模 MCM 中 学生们经常用 到计算机模拟方法去求解 检验等 计算机模拟 computer simulation 是建模过程中较为重要的一 类方法 见文献 1 图1 计算机模拟流程图 所谓计算机模拟 就是用计算机程序在计算机 上模仿各种实际系统的运行过程 并通过计算了解 系统随时间变化的行为或特性 它是在已经建立起 的数学 逻辑模型之上 通过计算机实验 对一个系 统按照一定的决策原则或作业规则 由一个状态变 换为另一个状态的行为进行描述和分析 计算机模拟实质上是计算机建模 而计算机模 型就是计算机方法和理论 如程序 流程图 算法 等 它是架于计算机理论和实际问题之间的桥梁 它与数学建模的关系如图 1 一般说来 在下列情况中 计算机模拟能有效 地解决问题 1 难于用数学公式表示的系统 或者没有建立和求解数学模型的有效方法 2 虽然可以用解析的方法解决问题 但数学的分析与计算过于复杂 此时计算机模拟可能 提供简单可行的求解方法 3 希望能在较短的时间内观察到系统发展的全过程 以估计某些参数对系统行为的影响 4 难以在实际环境中进行实验和观察时 计算机模拟是唯一可行的方法 例如太空飞行的 研究 5 需要对系统或过程进行长期运行比较 从大量方案中寻找最优方案 计算机模拟是系统随时间变化而变化的动态写照 因此 在通常情况下 模拟是按时间来划 分的 目前 计算机模拟大致可分成静态模拟 static simulation 和动态模拟 dynamic simulation 数值积分中的蒙特卡洛 Monte Carlo 方法是典型的静态模拟 动态模拟又分为连续系统模拟和 离散系统模拟 下面将主要讨论数学建模竞赛活动中经常用到的Monte Carlo 方法和离散系统的 模拟方法 实际上 对连续系统的模拟 是将连续状态变量在时间上进行离散化处理 并由此模 拟系统的运行状态 2 Monte Carlo方法 Monte Carlo 方法是计算机模拟的基础 其历史源于 1777 年法国科学家蒲丰提出的一种计 算圆周率P的方法 随机投针法 即著名的蒲丰投针问题 见文献 2 Monte Carlo 方法的基本思想是首先建立一个概率模型 使所求问题的解正好是该模型的参 数或其他有关的特征量 然后通过模拟一统计 即多次随机抽样实验 统计出某事件发生的百分 比 只要实验次数很大 该百分比便近似于事件发生的概率 这实际上就是概率的统计定义 Monte Carlo 方法属于试验数学的一个分支 例如 为了对蒲丰投针问题进行模拟 我们先要建立如下的概率模型 设 X0是一随机变量 它服从区间 0 a 2 上的均匀分布 同理 U是服从区间 0 P 上的 均匀分布 按照某种抽样法 产生随机变量的可能值 例如进行 n 次抽样 得到样本值 xi Ui i 1 2 n 统计出满足不等式 xi l 2 sinUi的次数m m n 然后进行计算机模拟 下面使用 Matlab 语言 见文献 3 来编程 这需建立一个M 文件 function yy simu n L a m 0 for k 1Bn x unifrnd 0 a 2 y unifrnd 0 pi if x 0 5 L sin y m m 1 else end end p m n pim 1 p 输入 n L a 运行后 即可估算出概率 p 的估计值m n 若选取 LBa 1B2 我们还可得到 P 的近似值 Monte Carlo 方法适用范围很广泛 它既能求解确定性的问题 也能求解随机性的问题以及 90 海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版 2004 年 科学研究中的理论问题 例如 利用Monte Carlo 方法可近似地计算定积分 还可以近似求解非线 性规划问题 请参看文献 4 5 注 1 对随机现象进行模拟 实质上要给出随机变量的模拟 也就是说利用计算机随机地产 生一系列数值 称为随机数 它们的出现要服从一定的概率分布 目前 经常使用的是按照一定 的算法产生的随机数 下面列举的是Matlab 中各种分布下产生随机数的命令 常见的分布函数 Matlab 语句 均匀分布 U 0 1 R rand m n 均匀分布 U a b R unifrnd a b m n 指数分布 E K R exprnd K m n 正态分布 N L R R normrnd L R m n 二项分布 B N p R binornd N p m n Poisson 分布 P K R poissrnd K m n 以上语句均产生 m n 的矩阵 图 2 模拟过程流程图 3 离散系统的模拟 顾名思义 这是对离散系统进行模拟 离散系统 discrete system 是指系统状态只在有限的时间点或可 数的时间点上有随机事件发生的系统 例如排队系统 显然状态量的变化只是在离散的随机时间点上发生 假设离散系统状态的变化是在一个时间点上瞬间完成 的 下面讨论某企业生产的库存系统的计算机模拟方 法 这是排队系统的一个实际应用的典型例子 3 1 问题的提出 在销售部门 工厂等领域中都存在 库存问题 库存太多造成浪费以及资金积压 库存少 了不能满足需求也造成损失 部门的工作人员需决定 何时进货 进多少 使得所花费的平均费用最少 而收 益最大 这就是库存问题 某企业生产易变质的产品 当天生产的产品必须 售出 否则就会变质 该产品单位成本为 2 5 元 单位 产品售价为 5元 企业为避免存货过多而造成损失 拟 从以下 2 种库存方案中选出一个较优的方案 方案甲 按前 1 d的销售量作为当天的库存量 方案乙 按前 2 d 的平均销售量作为当天的库存 量 假定市场对该产品的每天需求量是一个随机变 量 但从以往的统计分析得知它服从正态分布 N 135 22 4 3 2 模型的建立 计算机模拟的基本思路 第一 获得市场对该产品的需求量的数据 第二 计算出按照 2 种不同方案经 T 天后企业的 91 第 1 期 欧宜贵等 计算机模拟在数学建模中的应用 利润值 第三 比较大小 从中选出一个更优的方案 引入下列符号 D 每天需求量 Q1 方案甲当天的库存量 Q2 方案甲当天的库存量 S1 方案甲前1 d 的销售量 S21 方案乙前 1 d 的销售量 S22 方案乙前 2 d 的销售量 S3 方案甲当天实际销售量 S4 方案乙当天实际销售量 L1 方案甲当天的利润 L2 方案乙当天的利润 TL1 方案甲累计总利润 TL2 方案甲累计总利润 T 预定模拟天数 模拟过程的流程图如图 2 3 3 模型的求解 利用Matlab 编程来实现这一过程 这需要建立如下的M 文件 function TL1 TL2 kucun T S1 S21 S22 TL1 0 TL2 0 k 1 while k T Q1 S1 Q2 S21 S22 2 D normrnd 135 22 4 if D Q1 S3 Q1 else S3 D end if D 36 在整个抛物线上 y0 36 36 寻找能够到达 B 点和C 点的反射点 f c 1350810000 9360000 y0 1498200 y0 y0 y0 4 yfc y0 12000 15 y0 y0 60 11700 7500 y0 13 y0 y0 fc yfc 为反射后能够到达 C 点的入射光线与直线x 15 的交点的纵坐标 if abs yfc l 若 yfc l 就表示找到一个能到达 C 点的反射点 dotc dotc 1 end f b 1350810000 4680000 y0 1498200 y0 y0 y0 4 yfb y0 6000 15 y0 y0 60 11700 15000 y0 13 y0 y0 f b yfb 为反射后能够到达B 点的光线与直线x 15 的交点的纵坐标 if abs yfb l 若 yfb M end l l dl dl 表示点光源间的间隔 end l dotc dotb 通过反复实验 比较 我们可以找到满足设计要求的最优线光源长度约为 L 2 l 2 1 97 3 94 mm 对应于 dy0 0 01 mm dl 0 01 mm M 1670 此时 光线到达 B C 两点的 光强度之比约为 2B1 完全符合题设条件 总之 数学建模使用计算机使得求解更加方便 快捷和精确 进而使得解决问题的领域扩 大 从连续 离散确定性领域到随机的非确定性领域 计算机模拟正是处理这类问题的重要方 法 参考文献 1 刘来福 曾文艺 数学模型与数学建模 M 北京 北京师范大学出版社 2002 2 谢国瑞 郝志峰 汪国祥 概率论与数理统计 M 北京 高等教育出版社 2002 3 王沫然 Matlab 6 0 与科学计算 M 北京 电子工业出版社 2001 4 近藤次郎 数学模型 M 北京 机械工业出版社 1985 5 赵静 但琦 严尚安 等 数学建模与数学实验 M 北京 高等教育出版社 2000 6 胡运权 郭耀煌 运筹学教程 M 北京 清华大学出版社 1998 7 叶其孝 大学生数学建模竞赛辅导教材 四 M 长沙 湖南教育出版社 2001 8 杨方廷 侯立华 韩军 等 北京 SARS 疫情过程的仿真分析 J 系统仿真学报 2003 15 7 991 994 9 陈吉荣 杨方廷 战守义 等 北京 SARS 仿真模型的参数和初始值的处理 J 系统仿真学报 2003 15 7 995 998 An Application of the Computer Simulation to the Mathematical Modelling OU Y i gui LI Zh i lin HONG Sh i huang College of Information Science and Technology Hainan University Haikou 570228 China Abstract The paper states the importance of computer simulation in mathematical modelling presents the operational procedures of the Monte Carlo