灰色系统理论

灰色系统理论 主要介绍灰色系统理论的基本概念与基本原理，重点介绍灰色关联分析方法和灰色系统模型 GM(1,1)模型。 目标不在于讨论灰色系统理论的理论基础，而是在于掌握一种数学建模的思想、方法和技巧。 如有同学对该理论的理论基础该兴趣，我们可以课下讨论。 一、灰色系统的基本概念与基本原理 灰色系统理论是华中科大邓聚龙教授于1982年创立的一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。 概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统研究方法。 概率统计研究的是 “ 随机不确定 ” 现象 ,着重于考察随机不确定现象的历史规律。其出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。 模糊数学着重研究 “ 认知不确定 ” 问题 ,其研究对象具有 “ 内涵明确、外延不明确 ” 的特点。例如，“ 年轻人 ” ， “ 有钱 ” 。 灰色系统理论着重研究 “ 小样本 , 贫信息 ” 认知不确定问题，其研究对象具有 “ 外延明确、内涵不明确 ” 的特点。 例如， “ 8万到 10万之间 ” 就是一个灰概念，其外延明确，但内涵不清楚。 项目 灰色系统 概率统计 模糊数学 研究对象 贫信息丌确定 随机丌确定 认知丌确定 基础集合 灰色朦胧集 康托集 模糊集 方法依据 信息覆盖 映射 映射 途径手段 灰序列生成 频率分布 截集 数据要求 任意分布 典型分布 隶属度可知 侧重 内涵 内涵 外延 目标 现实规律 历史统计规律 认知表达 特色 小样本 大样本 凭借经验 1. 灰色系统的基本概念 灰色系统中 “ 灰色 ” 的基本含义是指信息不完全，包括元素信息不完全；结构信息不完全；边界信息不完全；运行行为信息不完全。 2. 灰色系统的基本原理 目前灰色系统理论的理论体系很不完善，但是，邓聚龙发现并提炼了灰色系统理论的基本原理： 公理 1 差异信息原理 差异是信息，凡信息必有差异； 公理 2 解的非唯一原理 信息不完全、不确定的解是不唯一的； 公理 3 最少信息原理 充分利用已有的最小信息； 公理 4 认知根据原理 信息是认知的根据； 公理 5 新信息优先原理 新信息对认知的作用优于老信息； 公理 6 灰性不灭原理 信息不完全 (灰 )是绝对的。 3.灰数及其运算 1. 灰数：只知道大概范围而丌知道其确切的数，通常记为： 。 灰数的种类： a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： a, b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： - ,b c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： a, b d、连续灰数不离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰数，取值连续地取满整个区间地灰数称为连续灰数。 e、黑数不白数 当 (- , )，即当 癿上界、下界皀为无穷，称为 黑数 ，当 a,b且 a=b,时，称 为白数。 f、本征灰数不非本征灰数 本征灰数是指丌能或暂时还丌能找到一个白数作为其 “ 代表 ” 癿灰数；非本征灰数是凭借某种手段，可以找到一个白数作为其 “ 代表 ” 癿灰数。 从本质上看，灰数可分为信息型、概念型和层次型灰数。 a2、区间灰数的运算。 设灰数 1 a, b, 2 c,d (ab,c0, 则 1-1 1/b,1/a 1 2 minac,ad,bc,bd,maxac,ad,bc,bd 若 cd0, 则 1/ 2= 12-1 mina/c,a/d,b/c,b/d,maxa/c,a/d,b/c,b/a 若 k为正实数 则： k1 ka, kb 定义：形如 的白化称为 等权白化 。 定义：在等权白化中 而得到的白化值称为 等权均值白化。 定义：设区间灰数 1 a, b, 2 c,d (ab,c0, 则称 X为单调增长序列； 2、 1中不等号反过来成立，则称 X为单调衰减序列； 3、存在 有 则称 X为随机振荡序列。设 M=max m=min 称 M m为序列 X的振幅。 nkk ,3,2, 0)1()( kxkx0)1()( kxkx nkkx ,2,1)( nkkx ,2,1)( 定义 3 （序列算子的定义） 设 X为系统行为数据序列， D为作用于 X的算子， X经过算子 D的作用后所得序列记为 称 D为序列算子，称 XD为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以进行多次，相应的若 皆为序列算子，则称 为二阶算子， 为三阶算子， 为二阶算子作用序列， 为三阶算子作用序列。 公理 1 （不动点公理） 设 X为系统行为序列， D为序列算子，则 D满足 )(,)2(,)1( dnxdxdxXD 321 , DDD21DD321 DDD 21 DXD321 DDXD)()( nxdnx 公理 2 （信息充分利用公理）系统行为数据序列 X中的每一个数据 都应该充分的参与算子作用的全过程。 nkkx ,2,1),( 公理 3 （解析化、规范化公理）任意的， 都可以由一个统一的 的初等解析式表达。 ()x k d nk ,2,1 )(,),2(),1( nxxx 上述三个公理称为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公理的序列算子称为缓冲算子。 设 X为原始数据序列， D为缓冲算子，当 X分别为增长序列、衰减序列或振荡序列时： 1、若缓冲序列 XD比原始序列 X的增长速度（或衰减速度）减缓或振幅减小，称缓冲算子 D为弱化算子。 2、若缓冲序列 XD比原始序列 X的增长速度（或衰减速度）加快或振幅增大，称缓冲算子 D为强化算子。 缓冲算子的性质 定理 1 设 X为单调增长序列， XD为其缓冲序列，则有 1、 D为弱化算子 2、 D为强化算子 即单调增长序列在弱化算子作用下数据膨胀，在强化算子作用下数据萎缩。 定理 2 设 X为单调衰减序列， XD为其缓冲序列，则有 1、 D为弱化算子 2、 D为强化算子 即单调衰减序列在弱化算子作用下数据萎缩，在强化算子作用下数据膨胀。 ；,2,1,)()( nkdkxkx ；,2,1,)()( nkdkxkx ；,2,1,)()( nkdkxkx ；,2,1,)()( nkdkxkx 实用缓冲算子的构造 定理 3 设原始数据序列 X= 令 其中 则当 X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时， D皆为弱化算子。（证明从略） )(,),2(),1( nxxx )(,)2(,)1( dnxdxdxXD nknxkxkxkndkx ,2,1；)()1()(11)( 四、实用缓冲算子的构造 定理 4 设原始数据序列 X= 令 其中 则当 X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时， D皆为强化算子。（证明从略） )(,),2(),1( nxxx )(,)2(,)1( dnxdxdxXD 1,2,1；12)()1()2()1()( nkkkkxkxxxdkx 均 值 生 成 定义 1 设序列 与 为 X的一对紧邻值， 称为前值， 称为后值，若 为新信息，则对任意 为 老信息。 )(),1(),(,),2(),1( nxkxkxxxX )(kx )1( kx )(kx )1( kx)(nx )(,1 kxnk 定义 2 设序列 X在 k处有空穴，记为 ，即 则称 与 为 的界值 为前界， 为后界。当 由 和 生成时，称生成值 为 的内点。 )( k)(),1(),(),1(,),2(),1( nxkxkkxxxX )1( kx)1( kx )( k )1( kx)1( kx )( k )1( kx )1( kx)(kx )1(),( kxkx定义 3 设 与 为序列 X中的一对紧邻值，若有 1、 为老信息， 为新信息； 2、 则称 为由新信息与老信息在生成系数 下的生成值，当 0.5时，称 的生成是“重新信息、轻老信息”生成；当 0.5 时，称的生成是“重老信息、轻新信息”生成；当 =0.5，称 的生成为非偏生成。 定义 4 设 为在 处有空穴 的序列，而 为非紧邻均值生成数，用 非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为非紧邻均值生成序 列。 )(kx )1( kx)1( kx )(kx1,0),1()1()()(* kxkxkx)(* kx )(* kx)(* kx)(),1(),(),1(,),2(),1( nxkxkkxxxX k )( k)1(5.0)1(5.0)(* kxkxkx定义 5 设序列 若 则称 为紧邻均值生成数，由紧邻均值生成数构成的序列 称为紧邻均值生成序列。在 GM建模，常用紧邻信息的均值生成，它是以原始序列为基础构造新序列的方法。 注意：设 为 n元序列， Z为 X的紧邻均值 生成序列，则 Z为 元序列： 无法由 X生成 z(1). )(),2(),1( nxxxX )1(5.0)(5.0)(* kxkxkx)(* kx)(),2(),1( nxxxX )(),3(),2( nzzzZ 1n 级比和光滑比 当序列的起点 x(1)和终点 x(n)为空穴，就无法采用均值生成填补空缺，只有转而采用别的方法，级比生成和光滑比生成就是常用的填补序列端点空穴的方法。 定义 1 设序列 称 为序列 X的级比，称 为序列 X的光滑比。 )(),2(),1( nxxxX nkixkxkki,3,2；)()()(11nkkxkxk ,3,2；)1()()( 定义 2 设 X为端点是空穴的序列： 若用 右邻的级比（或光滑比）生成 ，用 左邻的级比（或光滑比）生成 ，则称 与 为级比（或光滑比）生成，按级比生成（或光滑比生成）填补 空穴所得的序列称为级比生成（或光滑比生成）序列。 命题 1 设 X是端点为空穴的序列，则 1、若采用级比生成，则 2、若采用光滑比生成，则 )(),1(,),2(),1( nnxxX )1( )1(x )(n)(nx )1(x )(nx)1()1()(),3(/)2()1( nnxnxxx )1(1)(1()(,)2()3()2()1(2 nnxnxxxxx 命题 2 级比与光滑比有下述关系： 定义 3 若序列 X满足： 1、 2、 3、 则称 X为准光滑序列。 定义 4 设 X为有空穴的序列，若新序列生成满足准光滑条件，则称为准光滑生成。 nkkkkk ,3,2)；(1()()1()1( ；1)()1(kk 1,3,2 nk nkk ,4,3；,0)( 5.0累加生成算子和累减生成算子 定义 1 设 为原始序列 D为序列算子， 其中 则称 D为 的一次累加生成算子，记为 1-AGO （ Accumulating Generation Operator),称 r阶算子 为 的 r次 累加生成算子，记为 r-AGO,习惯上，我们记 )(,),2(),1( )0()0()0()0( nxxxX )0(X)(,)2(,)1( )0()0()0()0( dnxdxdxDX kinkixdkx1)0()0( ,2,1)；()( )0(XrD )0(X)(,)2(,)1( )1()1()1()1()0( dnxdxdxXDX )(,)2(,)1( )()()()()0( dnxdxdxXDX rrrrr 其中 定义 2 设 为原始序列， D为序列算子， 其中， 则称 D为 的一次累减生成算子， r 阶算子 称为 的 r 次累减生成算子。 定理 1 累减算子是累加算子的逆算子。 ( ) ( 1 )1( ) ( ) ； 1 , 2 , ,krrix k x i k n(0)X( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( (1 ) , ( 2 ) , ( ) )X x x x n( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( (1 ) , ( 2 ) , ( ) ) ,X D x d x d x n d( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ) ( ) ( 1 ) ； 1 , 2 , ,x k d x k x k k n (0)XrD(0)X命题 1 设 为非负序列 其中 ，且 为 的 r次累加生成序列，则当 r充分大的时候，对于 存在 N，使得 有下式成立： 这就是说，对于有界非负序列，经过多次累加生成后，所得序 列可以充分光滑，且光滑比 (0)X( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( (1 ) , ( 2 ) , ( ) )X x x x n( 0 ) ( ) 0xk ( 0 ) ( ) , ； 1 , 2 , , .x k a b k n( ) ( ) ( ) ( )( (1 ) , ( 2 ) , , ( ) )r r r rX x x x n(0)X0, ,k N k n ()1()1()()rkrixkxi( ) 0 ( )kk 例 1 某县乡镇企业 1983 1986年产值为 X=(10155, 12588, 23480, 35388)，平均年增长率高达 51.6%。 经分析讨论发现，增长速度高的主要原因是基数低，而基数低的原因则是过去没有用足、用好有利于乡镇企业发展的政策。要弱化序列增长速度，就需要将政策因素附加到过去的年份中，为此进行二阶弱化得 XD2=(27260, 29547, 32411, 35388)。 对数据 XD2利用 GM(1,1)模型可预测出该县乡镇企业 1986 2000年间产值平均增长率为 9.4%，这与该县乡镇企业发展实际基本吻合。 例 2 某市 1996 1999年农林牧渔总产值为 X=(91.99, 94.24, 96.96, 98.92)，平均年增长率仅为 2.4%。 从 2000年开始，该市调整了农村产业结构，使这种增长缓慢的状况得到改善。为了对经济的发展作科学合理的预测，必须对增长缓慢的数据加以处理，使其符合今后的发展趋势，在此基础上进行合理的预测。 对原始数据进行二阶强化得 XD2=(73.98,81.50,91.33,98.92)。 对数据 XD2 利用 GM (1,1)模型可预测出该市2000 2005年农林牧渔总产值平均增长率为 10.1 %，这与该市农业发展实际基本吻合。 此数据与书上计算结果不同。 三、灰色关联分析 一般的抽象系统都包含有许多影响因素，多种因素共同作用的结果决定了系统的发展态势。我们希望从众多的因素中判断出，哪些是主要因素、哪些是次要因素。这些属于系统分析的内容，数理统计中的回归分析、方差分析、主成分分析等都可以用来进行系统分析。这些方法的丌足之处是： 1、要求有大量的数据。 2、要求样本服从某一种典型概率分布，各因