高中数学 2.4 空间直角坐标系 2.4.1 空间直角坐标系教案 新人教B版必修2.doc

2.4.1 空间直角坐标系示范教案教学分析教材介绍了空间直角坐标系有关概念本节难度不大，可以让学生自己阅读教材，留给学生足够的空间值得注意的是课前让学生自己制作空间直角坐标系模型，让学生经历知识的形成过程三维目标1掌握空间直角坐标系的有关概念，培养学生的空间想象能力2会求空间直角坐标系中点的坐标，提高解决问题的能力重点难点教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标教学难点：通过建立适当的空间直角坐标系确定空间点的坐标，以及相关应用课时安排1课时导入新课设计1.大家先来思考这样一个问题，飞机飞行的速度非常快，即使民航飞机速度也非常快，有很多飞机时速在1 000 km以上，而全世界又这么多飞机，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车，汽车要低得多，原因是，飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度为此我们学习空间直角坐标系设计2.我们知道数轴上的任意一点m都可用对应的一个实数x表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点m都可用对应的一对有序实数(x，y)表示那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系推进新课1在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？2在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？3阅读教材，在空间怎样确定点的位置？4阅读教材，在空间直角坐标系中怎样确定点的坐标？5阅读教材，坐标平面和坐标轴上点的坐标有什么特点？6阅读教材，说出八个卦限讨论结果：1在初中，我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度这是数轴的三要素数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示2在初中，我们学过平面直角坐标系，平面直角坐标系是以一点为原点o，过原点o分别作两条互相垂直的数轴ox和oy，xoy称平面直角坐标系，平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴互相垂直；原点重合；通常取向右、向上为正方向；单位长度一般取相同的平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示，括号里横坐标写在纵坐标的前面，它们是一对有序实数(x，y)3为了确定空间点的位置，我们在平面直角坐标系xoy的基础上，通过原点o，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都垂直(如上图)，这样它们中的任意两条都互相垂直；轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90能与y轴的正半轴重合这时，我们说在空间建立了一个空间直角坐标系oxyz，o叫做坐标原点4如上图所示，过点p作一个平面平行于平面yoz(这样构造的平面同样垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为pz，它在x轴上的坐标为x(图中为2)，这个数x就叫做点p的x坐标过点p作一个平面平行于平面xoz(垂直于y轴)，这个平面与y轴的交点记为py，它在y轴上的坐标为y(图中为3)，这个数y就叫做点p的y坐标过点p作一个平面平行于坐标平面xoy(垂直于z轴)，这个平面与z轴的交点记为pz，它在z轴上的坐标为z(图中为5)，这个数z就叫做点p的z坐标这样，我们对空间中的一个点，定义了三个实数的有序数组作为它的坐标，记作p(x，y，z)(图中为p(2,3,5)其中x，y，z也可称为点p的坐标分量反之，任意给定三个实数的有序数组(x，y，z)，就能够确定空间一个点的位置与之对应为此，按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点px，py，pz，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z.再分别通过这些点作平面平行于平面yoz，xoz，xoy，这三个平面的交点，就是所求的点p.这样，在空间任意一点与三个实数的有序数组(点的坐标)之间，我们就建立起一一对应关系每两条坐标轴分别确定的平面yoz，xoz，xoy，叫做坐标平面5xoy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x，y,0)的点构成的点集，其中x，y为任意的实数；xoz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x,0，z)的点构成的点集，其中x，z为任意的实数；yoz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y，z为任意的数；x轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集，其中x为任意实数；y轴是坐标形如(0，y,0)的点构成的点集，其中y为任意实数；z轴是坐标形如(0,0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数通过点p作平行于坐标平面的平面与坐标轴的交点px，py，pz，其过程也就是作点p在坐标轴上的投影即，从点p向坐标轴引垂线，它们的垂足分别为px，py，pz.所以点p的空间坐标为点p在坐标轴上的投影在这些坐标轴上的坐标6三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分都称为一个卦限在坐标平面xoy上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第、第、第、第卦限；在下方的卦限称为第、第、第、第卦限(如下图)在每个卦限内，点的坐标各分量的符号是不变的例如在第卦限，三个坐标分量x，y，z都为正数；在第卦限，x为负数，y，z都为正数思路1例1如下图，点p在x轴正半轴上，|op|2，pp在xoz平面上，且垂直于x轴，|pp|1.求点p和p的坐标解：点p的坐标为(2,0,0)，点p的坐标为(2,0,1)变式训练已知点p在x轴正半轴上，|op|2，pp在xoz平面上，且垂直于x轴，|pp|1，求点p和p的坐标解：显然，p在x轴上，它的坐标为(2,0,0)若点p在xoy平面上方，则点p的坐标为(2,0,1)若点p在xoy平面下方，则点p的坐标为(2,0，1)例2在空间直角坐标系中作出点p(3，2,4)分析：已知点p(x，y，z)，可以先确定p(x，y,0)在xoy平面上的位置|pp|z|，如果z0，则点p即点p；如果z0，则点p与z轴的正半轴在xoy平面的同侧；如果z0， 则点p与z轴的负半轴在xoy平面的同侧，即可依此方法作出p点解：先确定p(3，2,0)在xoy平面上的位置因为点p的z坐标为4，则|pp|4，且点p和z轴的正半轴在xoy平面的同侧，这样就确定了点p在空间直角坐标系中的位置，如下图变式训练在同一个空间直角坐标系中画出下列各点：a(0,0,0)，b(3,0,0)，c(3,2,0)，d(0,2,0)，a(0,0,1)，b(3,0,1)，c(3,2，1)，d(0,2,1)解：在空间直角坐标系中，画出以上各点，如下图，它们刚好是一个长方体的八个顶点思路2例1如下图，长方体oabcdabc中，|oa|3，|oc|4，|od|2.写出d，c，a，b四点的坐标分析：要写出点的坐标，首先要确定点的位置，再根据各自坐标的含义和特点写出d在z轴上，因此它的横纵坐标都为0；c在y轴上，因此它的横竖坐标都为0；a是zox面上的点，y0；b不在坐标面上，三个坐标都要求解：d在z轴上，而|od|2，因此它的竖坐标为2，横纵坐标都为0，因此d的坐标是(0,0,2)同理，c的坐标为(0,4,0)a是zox平面上的点，y0，a的横坐标就是|oa|3，a的竖坐标就是|od|2，所以a的坐标就是(3,0,2)点b在yox平面上的射影是点b，因此它的横坐标与纵坐标与b点的横坐标与纵坐标相同，在yox平面上b点的横坐标为3、纵坐标为4，点b在z轴上的射影是d，它的竖坐标与d的竖坐标相同，点d的竖坐标为2，所以点b的坐标是(3,4,2)点评：能准确地确定空间任意一点的坐标是学好空间直角坐标系的基础，一定掌握如下方法，过点m作三个平面分别垂直于x轴，y轴和z轴，确定x，y和z，同时掌握一些特殊的点的坐标特征变式训练如下图，在正方体oabcdabc中，|oa|2.写出d、c、a、b四点的坐标解：d在z轴上，且od2，它的竖坐标是2；它的横坐标x与纵坐标y都是零，所以d的坐标是(0,0,2)点c的纵坐标是2.它的横坐标x与竖坐标z都是零，所以点c的坐标是(0,2,0)同理，点a的坐标是(2,0,2)点b在xoy平面上的射影是b，因此它的横坐标x与纵坐标y同点b的横坐标x与纵坐标y相同在xoy平面上，点b横坐标x2，纵坐标y2；点b在z轴上的射影是d，它的竖坐标与点d的竖坐标相同，点d的竖坐标z2.所以点b的坐标是(2,2,2)例2如下图，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是bb1和d1b1的中点，棱长为1，求e，f点的坐标解：方法一：从图中可以看出e点在xoy平面上的射影为b，而b点的坐标为(1,1,0)，e点的竖坐标为，所以e点的坐标为(1,1，)；f点在xoy平面上的射影为g，而g点的坐标为(，0)，f点的竖坐标为1，所以f点的坐标为(，1)方法二：从图中条件可以得到b1(1,1,1)，d1(0,0,1)，b(1,1,0)e为bb1的中点，f为d1b1的中点，由中点坐标公式得e点的坐标为(，)(1,1，)，f点的坐标为(，)(，1)点评：(1)平面上的中点坐标公式可以推广到空间，即设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则ab的中点p(，)；(2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的点的坐标特征变式训练1在上题中求b1(1,1,1)点关于平面xoy对称的点的坐标解：设所求的点为b0(x0，y0，z0)，由于b为b0b1的中点，所以解得所以b0(1,1，1)2在上题中求b1(1,1,1)点关于z轴对称的点的坐标解：设所求的点为p(x0，y0，z0)，由于d1为pb1的中点，因为d1(0,0,1)，所以解之，得所以p(1，1,1)1有下列叙述，其中正确叙述的个数为()在空间直角坐标系中，在oy轴上的点的坐标一定可记为(0，b,0)；在空间直角坐标系中，在yoz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；在空间直角坐标系中，在oz轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c)；在空间直角坐标系中，在zox平面上的点的坐标一定可记为(a，b，c)a1 b2 c3 d4答案：c2在空间直角坐标系中的点p(a，b，c)，有下列叙述：点p(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是p1(a，b，c)；点p(a，b，c)关于yoz坐标平面的对称点为p2(a，b，c)；点p(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是p3(a，b，c)；点p(a，b，c)关于坐标原点的对称点为p4(a，b，c)其正确叙述的个数为()a3 b2c1 d0答案：c3在空间直角坐标系中的点p(x，y，z)关于坐标原点；横轴(x轴)；纵轴(y轴)；竖轴(z轴)；xoy坐标平面；yoz坐标平面；zox坐标平面的对称点的坐标是什么？答案：根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知：点p(x，y，z)关于坐标原点的对称点为p1(x，y，z)；点p(x，y，z)关于横轴(x轴)的对称点为p2(x，y，z)；点p(x，y，z)关于纵轴(y轴)的对称点为p3(x，y，z)；点p(x，y，z)关于竖轴(z轴)的对称点为p4(x，y，z)；点p(x，y，z)关于xoy坐标平面的对称点为p5(x，y，z)；点p(x，y，z)关于yoz坐标平面的对称点为p6(x，y，z)；点p(x，y，z)关于zox坐标平面的对称点为p7(x，y，z)点评：其中记忆的方法为：关于谁谁不变，其余的相反如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xoy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标相反结晶体的基本单位称为晶胞，左下图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)，其中用空白点表示代表钠原子，黑点代表氯原子如右下图，建立空间直角坐标系oxyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标下层的原子全部在xoy平面上，它们所在位置的z坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(，0)中层的原子所在的平面平行于xoy平面，与z轴交点的z坐标为；所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是(，0，)、(1，)、(，1，)、(0，)；上层的原子所在的平面平行于xoy平面，与z轴交点的z坐标为1，所以这五个钠原子的坐标分别是(0,0,1)，(1,0,1)，(1,1,1)，(0,1,1)，(，1)本节学习了：1空间直角坐标系及坐标；2中点公式：p1(x1，y1，z1)，p2(x2，y2，z2)，则p1p2中点m的坐标为(，)本节练习a2题通过复习相关内容，为新课的引入和讲解做好铺垫设置问题，创设情境，引导学生用类比的方法探索新知由于学生的空间观念还比较薄弱，教学中宜多采用教具演示，尽量使学生能够形象直观地掌握知识内容本课时可自制空间直角坐标系模型演示，帮助学生理解空间直角坐标系的概念如果学生先前的学习不是主动的、不是自觉的，那么老师的血汗与成绩就不成比例，更谈不上学生的创新意识鉴于此，在教学中积极挖掘教学资源，努力创设出一定的教学情景，设计例题思路，吸引学生，引起学生学习的意向，即激发学生的学习动机，达到学生“想学”的目的为能增强学生学习的目的性，在教学中指明学生所要达到的目