张跃辉-矩阵理论与应用 前第四章答案.pdf

第一章习题及参考解答 建议 16 22 23 较难 不必布置 可请学生思考 50题 含 以后无参考解答 不必布 置 1 计算 1 cosxsinx sinxcosx n 2 11 11 n 3 a1 a1 a1 a1 a n 答案 1 cosnxsinnx sinnxcosnx 2 2 n cos n 4 sin n 4 sin n 4 cos n 4 n 注 此可由 1 得 到 2 证明 与任意 n 阶方阵可交换的矩阵必是纯量矩阵 I 证明 设 A aij 与任意矩阵可换 则 A 与基本矩阵 Eij可换 即 AEij EijA 注 意 AEij是第 j 列为 A 的第 i 列其余列均为 0 的矩阵 EijA 是第 i 行为 A 的第 j 行其余行 均为 0 的矩阵 由此可知 A 的非对角元素均为 0 而对角元素均满足 aii ajj 即 A 是纯量 矩阵 3 利用初等变换求 A 1B 及 CA 1 其中 A 450 231 27 3 B 45010 231 1 279 3 C 450 231 279 237 答案 A 1B 1 24 24060 175 0 24 4892 10 35 4598 CA 1 1 24 2400 0 24 2 96 216 18 112 192 22 4 设 A B Mn 证明 adj AB adj B adj A 证明 1 如果 A B 均可逆 则等式显然成立 2 设 x F 为参数 则除有限个 x 外 A xI 与 B xI 对其余无限多个数均可逆 因此 等式对这无限多个数 x 均成立 即 adj A xI B xI adj B xI adj A xI 于是上式两端矩阵的任意第 i 行第 j 列相应位置的元素均相等 但这些元素均是 x 的多项 式 而两个多项式如果对无限多个数均相等 则它们只能是同一个多项式 因此上式两端的 相应位置的元素对 所有 x 均相等 特别对 x 0 也相等 即 adj AB adj B adj A 1 5 证明 对任意矩阵 A 有 r A A r AA r A 证明 只证第二个等号 设 是方程 yAA 0 的解 则 AA 0 即 A A 0 此即向量 A 的模长的平方为 0 因此 A 0 故方程 yAA 0 与方程 yA 0 同解 因 此两个系数矩阵等秩 6 证明 对任意 n 阶矩阵 A 有 r An r An 1 证明 由于 r Ai 1 r Ai 故 A A2 An 1中必有 2 个矩阵 As与 At的秩相同 不妨设 s t 于是 r As r As 1 r At 下证必有 r At 1 r At 考虑方程 组 At 1x 0 的任意解 由于 A 是 Atx 0 的解而 r At r At 1 故 At 1x 0 与 Atx 0 同解 从而 A 满足方程 At 1x 0 即 At 0 这表明 At 1x 0 与 Atx 0 同解 故 r At 1 r At 重复上述证明可知 r Ai r Aj i j s 7 设 是 n 次本原单位根 可设 e2 i n cos 2 n isin 2 n 试求Fourier矩阵 111 1 1 2 n 1 1 2 4 2 n 1 1 n 1 2 n 1 n 1 n 1 的逆矩阵 解 记题中的矩阵为 F 注意对任意 0 j n 均有 wjwj 1 以及 j 0 j 1 j n 1 0 因此 FF nI 所以 F 1 1 nF 8 设 A aij n n是可逆的对称实矩阵 证明 二次型 f x1 x2 xn fl fl fl fl fl fl fl fl 0 x1 xn x1a11 a1n xnan1 ann fl fl fl fl fl fl fl fl 的矩阵是 A 的伴随矩阵 证明 将 f 的右端按第一行展开并考察 xi的系数为 1 1 i 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x1a11 a1 i 1a1 i 1 a1n xjaj1 aj i 1aj i 1 ajn xnan1 an i 1an i 1 ann fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 将上面的行列式按第 j 行展开并考察 xj的系数 可知恰为 1 j 1Mij 其中 Mij为矩阵 A 的元素 aij的余子式 因此 二次型 f 中 xixj的系数为 1 i jMij Aij 故 f 的矩阵是 A 的伴随矩阵的转置 但由于 A 对称 故其伴随矩阵也对称 9 证明矩阵秩的Frobenius不等式 r AB r BC r B r ABC 证明 利用下述分块矩阵的初等变换即可 B ABC B ABABC B BC AB0 2 10 证明行初等变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系 证明 设矩阵 A 的列向量 1 n有线性关系 k1 1 kn n 0 A 经过行初等 变换后变为矩阵 B 则存在可逆矩阵 P 使得 B PA 于是 B 的列向量为 P 1 P n 显 然有 k1P 1 knP n 0 即行初等变换不改变矩阵的列向量之间的线性关系 11 设 A 是 n 阶矩阵 对任意 0 6 x Fn均有 Ax 6 x 证明 I A 可逆并求其逆 证明 条件 Ax 6 x 表明矩阵 A 的特征值均不等于 1 因此 I A 可逆 如果 A 的谱半 径 A 0 ac b2 证明 与该双线性型对应的矩阵是 ab bc 因此该双线性型是内积 ab bc 是正定矩阵 a 0 ac b2 31 设 V acost bsint 其中a b为任意实数 是实二维线性空间 对任意 f g V 定义 f g f 0 g 0 f 2 g 2 证明 f g 是 V 上的内积 并求 h t 3cos t 7 4sin t 9 的长度 证明 直接验证即可知 f g 是 V 上的内积 h t 3cos t 7 4sin t 9 的长度为 5 一般地 acost bsint 的长度为 a2 b2 32 设欧氏空间 R x 2中的内积为 f g 1 1 f x g x dx 1 求基 1 t t2的度量矩阵 2 用矩阵乘法形式计算 f x 1 x x2与 g x 1 4x 5x2的内积 解 1 度量矩阵 G 202 3 02 30 2 302 5 2 0 33 设 ai 1 i n 是正实数 xi yi是任意实数 证明或否定不等式 n i 1 aixiyi 2 n i 1 aix2 i n i 1 aiy2 i 解 该不等式成立 证明如下 对任意 x x1 xn T y y1 yn T Rn 定义 x y n i 1 aixiyi 则容易验证 x y 是 Rn上的一个内积 对称性 正定性与双线线性均是显然的 因此 题 中的不等式恰好是相应于该内积的三角不等式 故也成立 34 1 复数域 C 是实数域 R 上的 2 维线性空间 是否存在 C 上的一个内积 使得 i 与 1 i 成为 C 的一组标准正交基 为什么 2 试构造实线性空间 R3上的一个内积 使得向量组 e1 e1 e2 e1 e2 e3是一组标准 正交基 问此时 e2与 e3的长度各是多少 它们的夹角又是多少 7 解 1 存在 因为有限维实 复 向量空间的任何一组基均可做成一个标准正交基 2 设 e1 e1 e2 e1 e2 e3是一组标准正交基 则可得 e1 e1 1 e1 e2 1 e1 e3 0 e2 e2 2 e2 e3 1 e3 e3 2 由此知相应的内积为 x1 x2 x3 y1 y2 y3 x1y1 2x2y2 2x3y3 x1y2 x2y1 x2y3 x3y2 35 试尽可能一般性地讨论习题34中的问题 解 有限维实 复 向量空间的任何一组基均可做成一个标准正交基 相应的内积由对 应的度量矩阵决定 36 证明Cauchy Schwarz不等式与三角不等式 证明 先证Cauchy Schwarz不等式 0 时不等式显然成立 下设 6 0 注意对任意 实数 t 均有 t t 0 即 2 t t2 0 取 t 即可 由此可证三角不等式 2 2 2 2 2 2 2 此处用到Cauchy Schwarz不等式 37 在欧氏空间 R4中 求三个向量 1 1 0 1 1 T 2 2 1 0 3 T和 3 1 1 1 1 T所生成的子空间的一个标准正交基 答案 不唯一 1 1 0 1 1 T 3 2 7 3 1 8 T 123 3 3 54 23 20 T 3854 38 定义任意内积空间 V 中两个向量 与 的距离为 d 证明如上定义的函数 d 确实定义了 V 上一个距离 即满足下列三个条件 d1 对称性 d d d2 非负性 d 0 且等号成立 d3 三角不等式 d d d 证明 直接验证即可 39 设2维欧氏空间 V 的一组基为 1 2 其度量矩阵为 A 54 45 试求 V 的一个标准正交基到 1 2的过渡矩阵 解 由于 1 2的长度相等 故 1 1 2 2 1 2必正交 从而 1 1 2 18 2 1 2 2 是一个标准正交基 对 1 2直接使用正交化方法可 得 1 1 5 2 4 1 5 2 45 是一个标准正交基 40 设 n 维内积空间 V 的一个基为 1 2 n 该基的度量矩阵为 A 设 V 在 该基下的坐标分别为 x 与 y 1 证明 xTA y 特别 当 V 为欧氏空间时 xTAy 2 证明 1 中内积的矩阵乘法形式与选取的基无关 8 证明 1 记 B 1 2 n 将 Bx 与 By 直接代入 计算即可 2 设 1 2 n是 V 的另一组基 度量矩阵为 G i j 设 在该基下的坐 标分别为 u 与 v 再设由 1 2 n到 1 2 n的过渡矩阵为 P 则 x Pu y Pv 因为 i BPi 1 i n 其中 Pi是矩阵 P 的第 i 列 于是 i j BPi BPj PT i A Pj 1 i j n 由此知 G i j PTA P 故 uTG v uTPTA P v Pu TA Pv xTA y 即 1 中内积的矩阵乘法形式与选取 的基无关 41 设 V Mn R 或 Mn C 设 A aij B bij V 1 证明 A B tr AB 是 V 的一个内积 2 按 1 的内积 矩阵 A 的长度是多少 哪些是单位向量 3 证明或否定 基本矩阵 Eij 1 i j n 是 V 的一组标准正交基 4 求 M2 R 的一组由可逆矩阵构成的标准正交基 解 1 直接验证即可 2 A A tr AA n i j 1 aij 2 3 Eij Ekl tr EijE kl tr EijElk 由于 EijElk jlEik 故 tr EijElk 1 i k j l 否则 tr EijElk 0 因此基本矩阵 Eij 1 i j n 是 V 的一组标准正交基 4 I 2 01 10 2 01 10 2 10 1 2 答案不唯一 42 设线性空间 V R2是欧氏空间 未必是通常的欧氏空间 设 1 1 1 T 2 1 1 T与 1 0 2 T 2 6 12 T是 V 的两组基 设诸 j与 k的内积分别为 1 1 1 1 2 15 2 1 1 2 2 3 1 求两组基的度量矩阵 2 求 V 的一个标准正交基 解 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 12 2 2 135 2 1 1 2 6 2 1 2 2 是 V 的一个标准正交基 不唯一 43 设 n 维欧氏空间 V 的一组基为 1 2 n 证明 存在正定矩阵 C 使得由 1 2 n 1 2 n C 确定的向量组 1 2 n是 V 的一个标准正交基 证明 先证明任意一个可逆矩阵均可写成一个正定矩阵和一个正交矩阵的乘积 设 A 可 逆 则 ATA 正定 故存在正交矩阵 Q 使得 QTATAQ D 是对角线元素均为正的对角矩阵 9 因此 D 1QTATAQD 1 I 即 AQD 1 T AQD 1 I 即 AQD 1是正交矩阵 记此正交 矩阵为 R 则 A RDQT RDRT RQT 因为 D 正定 故 RDRT正定 又 R Q 均为正交 矩阵 故 RQT也是正交矩阵 下设 1 2 n是 V 的一组标准正交基 1 2 n到该基的过渡矩阵为 P 即 1 2 n 1 2 n P 由前段的证明 存在正定矩阵 C 与正交矩阵 Q 使 得 P CQ 则 1 2 n 1 2 n CQ 因此 1 2 n Q 1 1 2 n C 也是一组标准正交基 44 设 A 是反反反对对对称称称实矩阵 即 AT A 证明 1 A 的特征值为0或纯虚数 2 设 i 是 A 的属于一个非零特征值的特征向量 其中 均为实向量 则 与 正交 证明 1 设 a 是 A 的一个特征值 是相应的一个 复 特征向量 则 AT a 故 A a 于是 A a 或 a a 因此 a a 即 a 0 或为纯虚 数 2 设 a 6 0 是相应的特征值 则 A i a i 从而 A a A a 于是 TA TAT a T 因此 TA a T 或 a T a T 由于 a 6 0 必 有 T 0 45 设 A 是Hermite矩阵 如果对任意向量 x 均有 x Ax 0 则 A 0 证明 显然此时 A 的所有特征值均为 0 又 A 可以对角化 故 A 0 46 设 A 1 1 11 定义 R2上的二元 向量 函数 如下 xTAy 此二元函数与普通内积的差别是什么 以此二元函数为基础 建立相应的长度 角度等概念 研 究其中的正交与平行的定理 解 注意 A 对称但不可逆 因此由其定义的 内积 有对称性 双线线性但无正定性 故存在长度为 0 的非零向量等等 因此存在自正交的非零向量 两个向量平行不必是线性相关 的 47 设 f x y 是 Cn上的对称双双双线线线性性性函函函数数数 即 f x y f y x 且关于两个变元 x 与 y 均是线性的 1 给出 f x y 的一般表达式 2 证明方程 f x x 0 总有非零解 3 设 f x y 非退化 即若 f x 0 x Cn 则 0 证明存在线性无关的向 量 使得 f f 0 且 f 1 解 1 f x y xTAy 其中 A 是 复 对称矩阵即 AT A 2 如果 A 的某个对角线元素 aii 0 则 ei是 f x x 0 的非零解 故下设 A 的所有 对角元素均不为 0 则 f x x a11x2 1 x1 0 是一个关于 x1 的二次方程 该方程仅 有 0 解当且仅当 A 的除去 a11的所有元素均为 0 因此该方程必有非零解 3 对任意 0 6 bj T Cn 方程 0 f x n i j 1aijbjxi 是一个系数矩阵的 秩 1 的线性方程 组 故其解空间至少为 n 1 维 因此必存在与 线性无关的 Cn 10 使得 f 0 其余是显然的 48 设 x 是矩阵 A 的一个特征向量 x 证明相应于 x 的特征值为 x Ax x x 此商称 为Rayleigh1商商商 是研究特征值的重要工具 据此研究 n 元二次型 x Ax 与 A 的特征值的关 系 证明 设对应于特征向量 x 的特征值是 a 则 Ax ax 于是 x Ax ax x 即 a x Ax x x 由于可取 x 为单位特征向量 故 a x Ax x x 是二次型 x Ax 在单位球 面 x x 1 上的一个值 从而 A 的特征值 均满足条件 m M 此处 m 与 M 分别为 二次型 x Ax 在单位球面 x x 1 上的极小值与极大值 容易证明此极小值与极大值均是 A 的 特征值 49 Vandermonde 范德蒙德 2行列式对应的矩阵称为Vandermonde矩阵 研究Vandermonde矩 阵是否可以对角化 解 一般不能 比如 11 ab 是Vandermonde矩阵 但当 a 0 b 1 时不能对角化 不 过请注意 这是 2 阶Vandermonde矩阵不能对角化的唯一的例子 类似地 111 abc a2b2c2 是Vandermonde矩阵 但当 a b 0 c 1 时不能对角化 50 设 I I2 试求整数矩阵方程 X2 I 的所有解 试一般地讨论方程 Xn In的 解 这样的整数矩阵称为周期矩阵 其中 n 为某自然数 提示 利用特征多项式 51 完整给出例 1 6 1 的解 数值计算可以使用相关软件 52 证明定理 1 6 1 53 证明公式 1 6 3 中的第二个等式 54 设公式 1 6 2 中的 n 阶消耗矩阵 C 的列和均小于1 设 x 为满足最终需求 d 的 产出向量 1 证明 如果最终需求由 d 变为 d d 则新的产出向量必须为 x x 2 设 d e1是第一个标准向量 证明 x 恰好是矩阵 I C 1的第一列 解释这个 结果 55 设图 G 的邻接矩阵为 A G 1102 1111 0100 2100 求图 G 1Rayleigh男爵 全名John William Strutt 1842 1919 著名英国物理学家 1904 年诺贝尔物理学奖得主 2Alexandre Th eophile Vandermonde 1735 1796 法国数学家 音乐家和化学家 11 第二章习题及参考解答 注 第 27 题 2 3 错 可将 证明 改为证明或否定 第 28 题可不布置 第 50 题 含 以后属于附加内容 没有参考解答 1 证明子空间判别法 设 U 是线性空间 V 的一个非空子集 则 U 是子空间 对任 意 F U 有 U 与 U 证明 必要性是显然的 下证充分性 设 U 关于加法 与数乘均封闭 则 U 中加法 的结合律与交换律以及数乘与 的分配律 1 均自动成立 因为 U V 由 于 U 关于数乘封闭 而 0 0 U 1 U 因此 U 是子空间 2 证明子空间的下述性质 1 传递性 即若 U 是 V 的子空间 W 是 U 的子空间 则 W 也是 V 的子空间 2 任意多个 可以无限 子空间的交集仍是子空间 且是含于这些子空间的最大子空间 特别 两个子空间 U 与 W 的交 U W 仍是子空间 证明 1 由子空间判别法立即可得 2 由子空间判别法可知任意多个 可以无限 子空间的交集仍是子空间 且若某个子空 间含于所有这些子空间 则该子空间必然含于这些子空间的交 3 1 设 V 是线性空间 U 与 W 是 V 的两个子空间 证明 dim U W dimU dimW dim U W 2 设 V 是有限维线性空间 证明并解释下面的维数公式 dimV max m 0 V0 V1 Vm 1 Vm V Vi是Vi 1的真子空间 证明 1 设 dimU s dimW t dim U W r 任取 U W 的一组基 1 2 r 由于 U W 是 U 与 W 的公共子空间 故 U W 的基是 U 与 W 的线性无关的向量组 因此 可以扩充成 U 或 W 的基 设 1 2 r r 1 r 2 s 0 0 1 与 1 2 r r 1 r 2 t 0 0 2 分别是 U 与 W 的基 我们证明 1 2 r r 1 r 2 s r 1 r 2 t 0 0 3 是 U W 的一组基 为此需要证明该向量组线性无关 且 U W 的任何向量均可由这些向量 线性表示 设 k1 1 k2 2 kr r br 1 r 1 bs s cr 1 r 1 ct t 0 0 0 4 12 记 k1 1 k2 2 kr r br 1 r 1 br 2 r 2 bs s cr 1 r 1 cr 2 r 2 ct t 则 U W U W 以及 0 于是 U 从而 U W 从而存在适当的数 d1 d2 dr 使得 d1 1 d2 2 dr r 即 d1 1 d2 2 dr r cr 1 r 1 cr 2 r 2 ct t 0 由于 2 是 W 的一组基 故有 d1 d2 dr cr 1 cr 2 ct 0 同理 由 于 1 是U 的一组基 由 4 又得 k1 k2 kr br 1 br 2 bs 0 因此 3 确是线性无关的向量组 再设 U W 则存在 U W 使得 因为 1 和 2 分别 是U 和W 的基 因此有系数k1 k2 kr br 1 br 2 bs及l1 l2 lr cr 1 cr 2 ct使 k1 1 k2 2 kr r br 1 r 1 br 2 r 2 bs s l1 1 l2 2 lr r cr 1 r 1 cr 2 r 2 ct t 因此 k1 l1 1 k2 l2 2 kr lr r br 1 r 1 br 2 r 2 bs s cr 1 r 1 cr 2 r 2 ct t 即 是向量组 3 的线性组合 所以 3 是 U W 的一组基 2 设 dimV n 则显然子空间的真包含的链 0 V0 V1 Vm 1 Vm V 的长度 m n 另一方面 设 1 n是 V 的一组基 则 0 V0 F 1 F 1 F 2 F 1 F m F 1 F n V 显然是一个空间的真包含的链 其长度 m n 因此需证的等式成立 该等式说明线性空间的 维数是子空间按包含关系所形成的链的最大长度 4 证明多子空间直和的判定定理 设 W1 W2 Ws是线性空间 V 的子空间 则下列 命题等价 1 W1 W2 Ws是直和即 dim W1 W2 Ws dimW1 dimW2 dimWs 2 Wj k6 jWk 0 1 j s 1 k s 3 任意向量 W1 W2 Ws的分解式唯一 4 零向量的分解式唯一 证明 1 2 对 s 做归纳 将 k6 jWk 看做一个子空间即可 2 3 设 W1 W2 Ws有两个分解 1 2 s以及 1 2 s 其中 i i Wi i 则 i i j6 i j j j6 i Wj 但左端属于 Wi 因此由 2 的假设知 i i 0 i 即分解式唯一 13 3 4 显然 4 1 由零向量的分解式唯一可知 W1 W2 Ws 1 Ws是直和 因 此 dim W1 W2 Ws dim W1 W2 Ws 1 dimWs 进而由归纳法可 知 dim W1 W2 Ws dimW1 dimW2 dimWs 5 设 A 112 011 134 求 A 的四个相关子空间 解 R A 1 0 1 T 1 1 3 T R AT 1 0 1 T 0 1 1 T N A 1 1 1 T N AT 1 2 1 T 6 设 V 是线性空间 W1 W2 Ws是 V 的真子空间 证明 W1 W2 Ws6 V 提 示 利用Vandermonde行列式或归纳法 证明 不妨设 Wi6 j6 iWj i 因此存在 i Wi j6 iWj 所以存在 t F 使 得 t s i 1t i 1 i 6 s j 1Wj 否则 对 F 中的无穷多个数 t 至少有一个 Wi0 包含了无 穷多个 t 设有两两不同的 t1 ts F 使得 i ti Wi0 即 1 t0 1 1 t s 1 1 s 2 t0 2 1 t s 1 2 s s t0 s 1 t s 1 s s 由于系数矩阵是诸行均不同的Vandermonde矩阵 故可逆 因此所有 i均可由 1 s 线性表示 因此均属于 Wi0 矛盾 7 设 V 是所有 n 阶实数矩阵按矩阵的加法和数乘作成的实线性空间 U 是 V 中所有迹 为零的矩阵的集合 证明 U 是 V 的子空间 并求 U 的维数和一个补空间 证明 U 关于加法与数乘显然封闭 故是子空间 dimU n2 1 U 的一个补空间是全 体纯量矩阵构成的子空间 8 设 V 是所有次数小于 n 的实系数多项式组成的实线性空间 U f x V f 1 0 证明 U 是 V 的子空间 并求 V 的一个补空间 证明 U 关于加法与数乘显然封闭 故是子空间 dimU n 1 U 的一个补空间是全 体常数多项式构成的子空间 9 设 U 1 2 3 6 T 4 1 3 6 T 5 1 6 12 T W 1 1 1 1 T 2 1 4 5 T 是 R4的两个子空间 1 求 U W 的基 2 扩充 U W 的基 使其成为 U 的基 3 扩充 U W 的基 使其成为 W 的基 4 求 U W 的基 解 1 1 2 1 2 T 2 1 2 1 2 T 1 2 3 6 T 3 W 1 2 1 2 T 1 1 1 1 T 4 U W 1 2 1 2 T 1 2 3 6 T 1 1 1 1 T 14 10 设 U x y z w x y z w 0 W x y z w x y z w 0 求 U W U W 的维数与基 解 2 4 U W 1 0 1 0 0 1 0 1 U W F4 故其一组基为标准基 11 设 A B 分别是 n m m p 矩阵 V 是齐次线性方程组 xAB 0 的解空间 证 明 U y xA x V 是 Fn的子空间 并求 U 的维数 证明 直接验证可知 U 关于加法与数乘均封闭 故是子空间 dimU r A r AB 12 设 A 是 n 阶方阵 证明 1 A 可以唯一地表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和 试用子空间的直和分解理 论解释这一结果 2 A 可以唯一地表示成一个Hermite矩阵和一个反Hermite矩阵的和 试用子空间的直 和分解理论解释这一结果 3 解释定义域为 R 的任意实函数可以唯一地表示成一个偶函数与一个奇函数的和 4 请举一个类似于上面 1 3 的例子并解释之 证明 1 A 1 2 A AT A AT 其中 1 2 A AT 与 1 2 A AT 分别是 对称与反对称矩阵 该分解唯一是因为对称矩阵全体构成的子空间与反对称矩阵全体构成的 子空间恰为互补的子空间 2 3 4 皆类似 13 证明数域 F 上的一元多项式的欧几里德带余除法 设 f x g x 是任意两个多项式 其中 g x 6 0 则存在唯一一对多项式 q x 与 r x 使得 f x g x q x r x 其中 r x 0 或 r x 0 恰好是 f x 与诸基向 量 cos nx sin nx 的内积 证明 由于Fourier级数中的系数 an 1 f x cosnxdx bn 1 f x sinnxdx 易 知 f g 1 f x g x dx 确实定义了以 2 为周期的可积函数空间上的一个内积 35 设 U 是欧氏空间 V 的子空间 V U 则 是 在 U 上的最佳近似向 量 U 证明 必要性是显然的 下证充分性 设 是 U 中任一向量 注意 且 U U 所以 2 2 2 2 因此 对任意 U 有 即 是 在 U 上的最佳近似向量 36 试任意构造维数大于5的一个线性空间 V 以及 V 的一个线性映射 使得 的核的 维数等于5 进一步 试将 V 改造成内积空间 求 Im 的正交补空间 再构造一个线性变换 使得 Ker Im Im Ker 解 设 V R6为普通欧氏空间 e1 e1 ei 0 2 i 6 则 Im Ker e2 e6 令 e1 0 ei ei 2 i 6 则 Ker Im Im Ker 37 设 0是欧氏空间 V 中的单位向量 2 0 0 V 证明 1 是线性变换 2 是正交变换 证明 直接验证即可 38 证明 欧氏空间 V 的线性变换 是反对称变换 即 在 V 的标准正交基下的矩阵是反对称矩阵 19 证明 设 在 V 的标准正交基 1 2 n下的矩阵是 A aij 则 i n k 1aki k 1 i n 于是 i j n k 1 aki k j aji i j n k 1 akj i k aij 因此 是反对称变换当且仅当 aji aij 即 A 是反对称矩阵 39 设 是实平面 R2上的线性变换 其关于标准基的矩阵为 P c s s c 其中 c2 s2 1 证明 是反射变换 并计算其对称轴 证明 由于 P 的特征多项式为 2 1 因此其特征根为 1 1 对应于特征值 1 的特征 子空间即是 的对称轴 其方程为 y xtan 其中 c cos2 40 证明三维正交矩阵必正交相似于下面6种矩阵 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 cos sin sin cos 1 cos sin sin cos 提示 利用三维正交矩阵有1个或3个实特征值并结合二维正交矩阵的分类 证明 如果三维正交矩阵 A 有3个实特征值 则它的特征值只能是 1 因此 A 必定正交 相似于前四种 对角 矩阵 如果三维正交矩阵恰有1个实特征值 则此特征值是 1 或 1 相应于该实特征值的特征 子空间是 1 维的 其正交补空间是 R3的 1 个超平面 2 维子空间 也是 A 的不变子空 间 由于 A 是恰有一个实特征值的正交变换 故 A 在 上的限制是一个不为反射的正交变 换 因此 A 必定正交相似于后两种矩阵 41 设 EndR2 记单位正方形 S x y 0 x y 1 在 下的图形 为 G S x y x y S 回答下列问题 1 列出 G 所有可能的形状 2 如果 G 仍为正方形 应满足什么条件 3 如果 可逆 则 G 是什么形状 解 1 设 ei i i 1 2 则 G S x y xe1 ye2 x 1 ya2 0 x y 1 故若 可逆 则 1 2线性无关 G 是一个以 1 2为邻边的平行四边形 若 0 6 不可逆 则 1 2线性相关 G 是一条线段 一个端点是原点 若 0 则 G 是原点 2 如果 G 仍然是正方形 即解答 1 中的 1与 2均非零 等长且正交 因此 是正 交变换的非零常数倍 3 见解答 1 20 42 1 设 EndR2 设 C 是一个二次曲线 即抛物线 椭圆或双曲线 计算 C 所有 可能的形状 可设 C 的方程均为标准方程 2 设 P 是一个平面 n 次代数曲线 即 C 的方程是 n 次多项式 计算 Q 所有可能的 形状 3 分别对指数函数 对数函数 三角函数研究其曲线在 下的图像 4 设 EndR3 设 Q 是一个二次曲面 计算 Q 所有可能的形状 可设 Q 的方程均 为标准方程 解 1 只讨论 C 是抛物线 设 y x2 的情形 余类似 不妨设 6 0 且 e1 a c T e2 b d T 则 x x2 T ax bx2 cx dx2 即抛物线变为 X ax bx2 Y cx dx2 x 是参数 若 不可逆 则 a b 与 c d 成比例 故 X Y 0 抛物线变为一条直线 若 可逆 则 a b 6 0 0 不妨设 a 6 0 消去参数 x 可得方 程 X2 2 XY Y 2 dX eY 0 抛物线变为一椭圆或双曲线 因此 可逆的线性变换 将二次曲线仍变为二次曲线 2 不超过 n 次的代数曲线 3 y x变为 ax by cx dy等等 4 类似于 1 中的讨论 线性变换可将二次曲面变为直线 平面或二次曲面 43 证明Householder变换 Hv是关于超平面 v 的反射 从而是正交变换 试画出三 维Householder变换的示意图 证明 直接验证可知 Hv是固定超平面 v 且 Hv v v 44 证明Givens旋转矩阵 G 是正交矩阵 对任意向量 x x1 x2 xn T 计算 Gx 的各个分量 设 x 是单位向量 讨论如何重复使用若干Givens旋转矩阵将 x 变为标准向量 e1 证明 GGT I 设 i ni 0 0 5 29 由 0 0 5 我们有 1 A的零度 N 的零度 s i 1 Ni的零度 s i 1 1 s k 1 k 0 0 6 2 A2的零度 N2的零度 s i 1 N2 i 的零度 i ni 2 N2 i 的零度 i ni 2 N2 i 的零度 1 2 k 2 k 0 0 7 j Aj的零度 Nj的零度 s i 1 Nj i 的零度 i ni j Nj i 的零度 i ni j Nj i 的零度 k j k k j k j k 0 0 8 由 0 0 6 及 0 0 7 式即可推出 式 而 式可由 0 0 8 式推出 下面的21 24题展示了如何利用广义特征子空间来得到矩阵的Jordan标准形 其中 设 I A s i 1 i ni是 n 阶矩阵 A 的特征多项式 A 1 2 s gi为 i的 几何重数 21 证明广义特征子空间 E i x Cn A I nix 0 22 证明 dimCE i ni 从而 Cn A E 此即 谱定理 23 证明存在 j E i 1 j gi 使得 1 j gi j A iI j A iI mj 1 j 构成 E i的一组基 称为由诸向量 j生成的循环基 从而 E i是 A 的不变子空间 24 由每个广义特征子空间的循环基构成的 Cn的基称为Jordan基 证明 A 在 Cn 的Jordan基下的矩阵是其Jordan标准形 即将 A 看成是线性变换 x 7 Ax 25 详细证明定理 3 3 2 并研究矩阵 A 的特征向量与变换矩阵 P 的特征向量之间的关系 26 求例 3 3 5 中的变换矩阵 解 P 1 2 1 121 2001 02201 1 10011 010 10 11 100 1 1001 不唯一 30 27 求下列矩阵的Jordan标准形 1 010 440 212 2 26 15 11 5 12 6 3 9 6 2 18 12 3 18 9 6 4 46 15 13 5 12 4 5 0 40 1 40 1 2 2 6 4 52 5 73 6 94 解 1 J2 2 2 2 J2 1 1 3 J2 3 3 4 J2 1 1 5 J2 2 2 6 J2 0 1 28 求下列矩阵的Jordan标准形 并求变换矩阵 P 使 P 1AP J 1 4210 437 317 2 321 040 125 3 2221 1 1 3 2 1253 1 2 4 2 解 1 J3 2 P 20 1 11 3 100 2 1 J2 4 4 P 112 001 100 3 J2 1 J2 1 P 1110 10 20 1030 10 31 29 试判断下面4个矩阵 哪些是相似的 A 33 2 76 3 1 12 B 01 1 44 2 211 C 0 1 1 3 1 2 756 D 012 011 002 解 A 与 C 相似 30 1 证明不等于零的幂零矩阵一定不相似于对角矩阵 2 设 A 具有唯一特征值但 A 不是对角矩阵 证明 A 一定不相似于对角矩阵 证明 1 如果幂零矩阵相似于对角矩阵 则该对角矩阵只能是 0 矩阵 2 如果 A 相似于对角矩阵 则该对角矩阵只能是纯量矩阵 但纯量矩阵只与自己相 似 31 证明任何复矩阵 A 可唯一地分解为 A D N 其中 D 为可对角化矩阵 N 是幂零 矩阵 且 DN ND 此称为矩阵的Jordan Chevalley3分解 以此解释上题的结论 证明 存在性 设 J D N 是 A 的Jordan标准形 其中 D 与 N 分别是 J 的对角部 分与严格上三角部分 则直接验证可知 DN ND 由于 A PJP 1 PDP 1 PNP 1 显然 PDP 1与 PNP 1分别是可对角化矩阵与幂零矩阵 并且 PDP 1 PNP 1 PDNP 1 PNDP 1 PNP 1 PDP 1 3Claude Chevalley 1909 1984 著名法国数学家 生于南非 拥有美法两国国籍 对当代数学的众多分支有重要 贡献 31 唯一性 较难 可不做要求 只需对Jordan标准形证明即可 设 J D N D1 N1 则 N N1 D D1 此时存在多项式 此处需要多项式理论 p x q x C x 使 得 p A D q A N 由于 D1 N1与 A 可交换 因此它们也与 D N 可换 于是 D D1 仍可对角化 而 N N1仍是幂零矩阵 由上题可知它们都是 0 32 设 A 001 10 1 011 1 求 A 的特征值及 A100 2 A 的 Jordan Chevalley分解是什么 解 1 1 i i A100 I 2 A A 0 因为 A 可以对角化 33 设 p 1 n n an 1 n 1 an 2 n 2 a1 a0 称矩阵 C an 1an 2 a1a0 10 00 01 00 00 10 为多项式 p 的友矩阵 设 n 阶矩阵 A 的特征多项式为 1 np 1 计算 C 的特征多项式 2 当 n 2 时 证明 A 与 C 相似当且仅当 A 的最小多项式等于其特征多项式 3 试将 2 中的结论推广到一般情形 提示 查阅Frobenius标准形与有理标准形 解 1 I C 1 np n an 1 n 1 an 2 n 2 a1 a0 2 此时 C a1a0 10 特征多项式与 A 相同 均为 2 a1 a0 故当 a2 1 4a0 6 0 时 两个特征值互异 从而可以对角化 命题成立 当 a2 1 4a0 0 时 易知 C 与 A 均不可 对角化 故有相同的Jordan标准形 3 略 34 设 V 是由函数 ex xex x2ex e2x的线性组合生成的线性空间 定义 V 的一个线性算 子如下 T f f0 求 T 的Jordan标准形及Jordan基 解 J J3 1 2 Jordan基为 2ex 2xex x2ex e2x 35 如果矩阵 A 的特征多项式和最小多项式相同 问 A 的Jordan标准形有何特点 解 A 的Jordan标准形中的Jordan块的个数 特征值的个数 36 酉矩阵与离散Fourier变换 设 是 Cn的循环位移变换 即 x1 x2 xn T x2 x3 xn x1 T 证明 1 的特征值恰好为方程 n 1 的所有根 j e 2 i n j 1 j n 2 的属于特征值 j的特征向量为 j j 2 j nj T 且 j n 3 1 n是 Cn的一组正交基 32 4 任何向量 x x1 x2 xn T均是 的特征向量 j的线性组合 x n j 1 aj j 即 xk n j 1 aje 2 i n j 5 上面的系数 aj x j n 1 n n k 1 xke 2 i n jk 6 研究 与第一章习题7中的Fourier矩阵的关系 并由此再求该矩阵的逆 证明 1 在标准基下的矩阵为 0In 1 10T 其中 0 Cn 1 由 33 题知 或直接计算 其特征多项式为 n 1 2 由于 n j 1 故直接验证可知 j j 2 j nj T j j 2 j nj T 以 及 j n 3 直接验证即可 4 由 3 即得 5 直接计算即可 6 由 3 可知矩阵 F 1 n 1 n 是酉矩阵 故其逆 F 1 F 37 求矩阵 A 911 1i1 113 的盖尔圆盘并隔离之 解 取 D diag 2 1 1 则 DAD 1的盖尔圆盘为 D1 x 9 4 D2 x i 1 5 D3 x 3 1 5 38 求矩阵 A 2031 2102 810 的盖尔圆盘并讨论 A 的特征值的范围与性质 解 取 D diag 1 1 0 5 B DAD 1 则 BT的盖尔圆盘为 D1 x 20 6 D2 x 10 3 5 D3 x 6 故 A 的特征值均为实数 分别位于 16 24 6 5 13 5 6 6 39 设矩阵 A 7 168 167 8 8 8 5 1 求 A 的盖尔圆盘并利用对角相似变换改进之 2 通过特征多项式计算 A 的特征值并与 1 比较 解 1 略 2 A 的特征多项式为 9 2 27 33 40 证明Hilbert4矩阵 A 2 1 2 1 22 1 2n 1 2 3 4 2 32 2 3n 1 3 4 3 42 6 3 4n 1 n n 1 n n 1 2 n n 1 3 2n 可以对角化 且 A 的特征值都是实数 证明 Rj 1 1 1 j n 1 Ri i 1 n 1 而 ann Rn 取 D diag 1 1 1 b b 0 则 1 pn n 1 j 1 pj anj Rn 1 b 0 不等式 Ri b ain aii 对所有 i 6 n 均成立 因此 G D 1AD 不 含原点 从而 D 1AD 可逆 故 A 可逆 47 证明Hadamard5不不不等等等式式式 对任意 n 阶矩阵 A aij 有 A n i 1 n i 1 aij 2 1 2 并 由此证明 1 若 A 是正定矩阵 则 A n i 1 aii 2 设 C 是非负实数 若 aij C 1 i j n 则 A Cnnn 2 3 设 aij 1 1 i j n 则由 2 可知 A nn 2 如果等号成立 则称 A 是一 个Hadamard矩矩矩阵阵阵 证明 A 是Hadamard矩矩矩阵阵阵 ATA nIn A 的列两两正交 证明 1 将 A 的每一行均除以其长度 这相当于 A 左乘相应的对角矩阵 故不妨设 A 的每一行的长度均为 1 需证明 A 1 而此是显然的 应为 A 1 2 是 1 的直接推论 3 先证明第二个等价 此时的必要性是显然的 现设 A 的列两两正交 则 ATA D diag d1 dn 是对角矩阵 di是第 i 列的长度平方 n 故 D nIn 再证明第一个等价 由于 A 的每列的长度均为 n1 2 故 A 1 2 A nn 2 n 因 此 A 是 Hadamard矩阵当且仅当 A nn 2当且仅当 A 的列两两正交 此也可由行列式的几 何意义得知 当且仅当 ATA nIn 48 设 A aij 是严格对角占优矩阵 D diag a11 ann 证明 D 可逆且 I D 1A 1 证明 此时 A 的所有对角元素的绝对值均大于 0 故 D 可逆 A 也可逆 矩阵 I D 1A 的对角元素均为 0 第 i 行的去心绝对行和为 j6 i aij aii 1 故 I D 1A 1 49 试利用Ostrowski圆盘定理和Brauer定理各给出一个矩阵可逆的充分条件 50 试证明Ostrowski圆盘定理 51 试证明Brauer定理 5Jacques Salomon 1865 1963 著名法国数学家 对数学的诸多分支有重要贡献 组合学中有著名 的Hadamard猜猜猜想想想 对每个正整数 k 均存在 4k 阶的Hadamard矩阵 35 52 研究下面的矩阵 说明Brauer定理不能推广到三个盖尔圆盘的方程相乘的情形 A 1100 1100 0010 0001 53 设数列 a0 0 a1 1 a2 an 满足条件 an 1 xan 1 an n 1 试求 an 的通项公式 其中 x 为实参数 当 x 1 时 此数列即为Fibonacci数数数列列列 54 设 A 是 n 阶矩阵 称满足条件 yTA yT的向量 y 为 A 的属于特征值 的左特征 向量 证明 A 的相应于特征值 的左特征向量与相应于特征值 的特征向量正交 6 55 无限维线性空间的线性变换的特征值与特征向量 无限次可导的实函数全体构成一个 无限维实线性空间 记为 C 定义 C 上的线性变换 d dx f x 7 f0 x 试求 的谱 与特征向量 比较你的结论与有限维线性空间的相应结论 下面的56 60题是证明Jordan标准形存在与唯一性的 矩阵 即以 的多项式为元素的 矩阵 方法 为简单起见 所有矩阵均假定是 n 阶的 矩阵的初等变换与通常的线性变换类 似 倍加变换可以使用多项式 56 证明任何秩为 r 的 矩阵 A 均 在初等变换下 等价于下面的对角矩阵 称 为 A 的Smith标标标准准准形形形 diag d1 d2 dr 0 0 其中 di 均为首一多项式且 di di 1 1 i r 1 这些 di