素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0303.doc

2003年第 3期数学通报 数学问题解答 2003年 2月号问题解答 (解答由问题提供人给出 ) 1416Rt ABC中 ,AB = AC, BAC = 90,D、E为 BC边上的两点 , ADE的外接圆分别交边 AB、 AC于点 P和 Q,且 BP+CQ = PQ,求 DA E的度数 . (安徽省南陵县第二中学金旗 242400)引理如图 1 ,梯形 AB CD中 , AD BC, E、F分别为 AB、CD上两点 ,且 AE 1 = BE,EF = (AD+BC),2 则有 EF BC. 图 1PF AB, PF交 BC于 F点 ,取 PQ的中点 O,连结 OE, PE.因为 AB =AC, BAC = 90.所以 B= 45, PQ为 ADE外接圆的直径 .因为 PF AB ,所以 PF = PB.因为 PB+CQ = PQ,图 2所以 PF+CQ = 2 EO即 1EO = (PF+CQ),2 因为 AC PF,OP = OQ,所以由引理可得 :OE AC,所以 OE AP,因为 O为 ADE外接圆的圆心 ,所以由垂径定理得 :AQE = PDE所以 EAP = EPA .因为 EPA = B+ 1 = 45+ 1 ,所以 EAD + 2 = 45+ 1.因为 1 = 2 ,所以 EAD = 45. 1417设 n N+,试证 : (C20 n) 2 -(C21 n) 2 + (C22 n) 2 - + (C22 nn) 2 1) nCn = (-2 n. (浙江湖州市双林中学李建潮 313012)证明考察 (1 -x 2) 2 n=(1 + x) 2 n(1 -x) 2 n 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 2003年第 3期数学通报 48 证明 = 2 m ai,1 ai ,2 -m(a2 j-1 ,1 +a2 j,2)tg0. 5(tg0. 5+ tg1. 5+ tg2. 5+ + tg59. 5) i= 1 j= 1 mmsin0. 5sin0. 5 sin0. 5sin1. 5 = + += (a2i-1,2 +a2i,1 a2i,2 -(a2j-1,1 +a2j,2)cos0. 5cos0. 5cos0. 5cos1. 5 -1,1 a2i i=1 j=1 sin0. 5sin59. 5 mm cos0. 5cos59. 5 = a2 i-1 ,1 (a2 i-1 ,2 -1)+ a2 j,2 (a2 j,1 -1) i= 1 j= 1cos0-cos1 cos1-cos2 = + +cos0+ cos1cos1+ cos20n cos59-cos60 所以 ai ,1 ai ,2 2n .cos59+ cos60 i= 1 (cos0-cos1(cos1-cos2= cos 20-cos 21) 2 + cos 21-cos 22) 2 + +若 n为奇数 ,可设 n= 2 m+ 1 ,m为不小于 1的自然数 . (cos59-cos60) 2 1当 a2 m+1 ,2 cos 259-cos 260 n (cos0-cos1) 2 +(cos1-cos2) 2 + += cos 20-cos 21 cos 21(cos59ai ,1 ai ,2 -m i= 1 259-cos60)2-(cos -cos cos 22)+ = (a2 i-1 ,1 a2 i-1 ,2 +a2 i,1 a2 i,2)+(cos 259-cos 260)/ cos 20-cos 260i = m1 再由柯西不等式 a2 m+1 ,1 a2 m+1 ,2 -(a2 i-1 ,1 +a2 i,2)nn n 2 i = m1 ai bi aibi, m m i= 1 i= 1 i= 1 a2 i-1 ,1 (a2 i-1 ,2 a2 i,2 (a2 i,1 ai 0 ,bi 0 (i = 1 ,2 , n)得 = i= 1 -1)+ i= 1 -1)tg0. 5(tg0. 5+ tg1. 5+ tg2. 5+ + tg59. 5) +a2 m+1 ,1 a2 m+1 ,2 cos 20-1 cos 260(cos0-cos1) +(cos1-=-a1 ,1 a2 m+1 ,1 + a2 i-1 ,1 (a2 i-1 ,2 -1)+cos2)+ +(cos59-cos60)2 mi=1(cos0-cos60) 2 cos0-cos60 a2 i,2 (a2 i,1 -1i = m) 2 +a2 m+1 ,1 a2 m+1 ,2 = mcos 20-cos 260 cos0+ cos60 1 =a2 m+1 ,1 (a2m+1 ,2 -a1 ,1)+ a2 i-1 ,1 (a2 i-1 ,2 -1)1 -i= 221 m= 1 + 13 + a2 i,2 (a2 i,1 -1) 0 2 i= 1 1420若 ai ,1 , ai,2 R+ 0,且 2当 a2 m+1 ,2 a1 ,1时 , ai ,1 + ai+1 ,2 = 1 (i = 1 ,2 , , n,an+1 ,2 =a1 ,2),n nai ,1 ai ,2 - i= 1 22 m+1求证 : ai ,1 ai ,2 2 n,其中 ,x表示不i = n1 超过实数 x的最大整数 )= ai ,1 ai ,2 -m i= 1 (江苏如皋市教师进修学校徐道= (a2 m+1 ,1 a2 m+1 ,2 +a1 ,1 a1 ,2)+ m-1226500)(a2 i,1 a2 i,2 +a2 i+1 ,1 a2 i+1 ,2) +a2 m,1 a2 m,2 解若 n为偶数 ,可设 n= 2 m,m为不小于 i= 1 m-11n 的自然数 ,则 (a2 i,1 +a2 i+1 ,2)-a2 m,1 -a2 m+1 ,2 n i= 1ai ,1 ai ,2 -2 = -1)+ -1)+i= 1 a2 m+1 ,2 (a2 m+1 ,1 a2 m,1 (a2 m,2 2 m m-1 m-1 = ai ,1 ai ,2 -m a1 ,1 a1 ,2 + a2 i,1 (a2 i,2 ,-1)+ a2i+1 ,2 (a2i+1 ,1 i= 1 i= 1 i=1 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. -1) m =-a2 m+1 ,2 a1 ,2 +a1 ,1 a1 ,2 + a2 i,1 (a2 i,2 -1)+ i= 1 m-1 a2 i+1 ,2 (a2 i+1 ,1 -1) i= 1 m =a1 ,2 (a1 ,1 -a2 m+1 ,2)+ a2 i,1 (a2 i,2 -1)+ i= 1 m-1 a2 i+1 ,2 (a2 i+1 ,1 -1) 0i= 1 n 所以 ai ,1 ai ,2 n2i= 1 242418) 1422锐角 ABC中 ,外接圆半径 R= 1 , A, B, C的对边长分别为 a, b, c.求证 abc + 18 + 121 -sinA 1 -sinB 1 -sin C (云南曲靖一中张国坤梅榆655000) 1425证明 :在简单多面体中 ,至少有一个三角形的面或一个发出三条棱的顶点 ,并且三角形面数与发出三条棱的顶点数之和至少等于 8. (山东省汶上县第一中学张宪铸272500) (上接 21页)猜想 (1)代入条件 sinA= sin B+ sin C 中得 cosB+ cos CsinA= tgB= tg C不恒成立 ;sin B+ sin C猜想 (2)代入条件 sinA= cosB+ cos C中得 sin B+ cosB sin90= cosB+ sinB恒成立 ;sin B+ sin C猜想 (3)代入条件 sinA= cosB+ cos C中 ,不成立.故 , ABC是直角三角形.而这一验证猜想的过程 ,正是数学思维中奇异美的要求与体现.如此 ,学生很快得出下面题目的答案.例题 7ABC中 , sin A 2 sin B 2 sin 2 C= 18 ,则 ABC的形状为 (等边三角形)例题 8AB C中 , sin (A +B) sin (A-B) = sin2 C,则ABC的形状为分析A=B时 ,条件不恒成立 ;A +B = 90时 ,C = 90,条件不恒成立 ;A = 90或B= 90时 ,条件恒成立.所以 AB C为直角三角形.这样 ,学生再遇到此类问题 (特别是做选择题和填空题),就会大大提高解答速度 ,进而提高了解题能力.如此的问题要靠我们教师在教学中挖掘并总结.我们应充分利用数学思维中的美学因素进行教材分析和教学研究 ,以便提高学生分析数学问题的能力和效率.以上观点及论证 ,足以说明数学思维中美学因素所起的作用 ,它在不知不觉中充当了目标取舍、方向确定、方式选择的重要决策因素.我们数学的教与学 ,若