福建省莆田四中高一数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年福建省莆田四中高 一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知向量=（2，3），=（x，6），且，则x的值为（）a 4b 4c 9d 92设数列an中，已知a1=1，an=1+（n1），则a3=（）a b c d 23已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）a 2b 4c 6d 84数列an的前n项和sn=3n25n，则a6的值为（）a 78b 58c 50d 285已知角a的终边射线与单位圆交于点p（，），那么tan2a的值是（）a b c d 6已知an为等差数列，其前n项和为sn，若a3=6，s3=12，则公差d等于（）a 1b c 2d 37二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0）的零点为2和3，那么不等式ax2+bx+c0的解集为（）a x|2x3b x|3x2c x|xd x|x8若sin=，且是第二象限角，则 的值为（）a b c +d 9若x，y满足，若目标函数z=xy的最小值为2，则实数m的值为（）a 0b 2c 8d 110正项等比数列an满足：a3=a2+2a1，若存在am，an，使得aman=16a12，则的最小值为（）a 2b 16c d 11在边长为1的正三角形abc中，设=2，=，若=，则的值为（）a b 2c d 312已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）a b an=n1c an=n（n1）d 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13函数f（x）=sin2x的图象可以由g（x）=sin（2x）的图象向左平移个单位得到14已知向量，|=3，则=15已知数列an是等差数列，其前n项和为sn，首项a1=2015且=2，则s2015=16abc的内角a、b、c所对的边为a、b、c，则下列命题正确的是若ab，则 cos2acos2b 若abc2，则c若a+b2c，则 c 若（a+b）c2ab，则c三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在等比数列an中，a2=3，a5=81（）求an及其前n项和sn；（）设bn=1+log3an，求数列的前10项和t1018已知a，b，c分别是abc内角a，b，c的对边，sin2b=2sinasinc（）若a=b，求cosb；（）设b=90，且a=，求abc的面积19如图，函数y=2sin（x+） xr，其中0的图象与y轴交于点（0，1）（）求的值；（）设p是图象上的最高点，m、n是图象与x轴的交点，求和的夹角的余弦值20已知函数，（1）求函数f（x）的周期及单调递增区间；（2）在abc中，三内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点成等差数列，且，求a的值21某房地产开发商投资810万元建一座写字楼，第一年装修费为10万元，以后每年增加20万元，把写字楼出租，每年收入租金300万元（）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：纯利润总和最大时，以100万元出售该楼； 年平均利润最大时以460万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？22已知数列an及f（xn）=a1x+a2x2+anxn，fn（1）=（1）nn，nn*（）求a1，a2，a3的值，并求数列an的通项公式；（）设bn=an10，求数列|bn|的前n项和tn；（）若 （n）anm2+m1 对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围2014-2015学年福建省莆田四中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知向量=（2，3），=（x，6），且，则x的值为（）a 4b 4c 9d 9考点：平面向量共线（平行）的坐标表示专题：平面向量及应用分析：直接利用向量的平行的充要条件，通过坐标运算求解即可解答：解：向量=（2，3），=（x，6），且，可得3x=12，解得x=4故选：b点评：本题考查向量的坐标运算，向量的平行的充要条件的应用，考查计算能力2设数列an中，已知a1=1，an=1+（n1），则a3=（）a b c d 2考点：数列递推式专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由a1=1，an=1+（n1）求出a2，a3即可解答：解：a1=1，an=1+（n1），a2=1+=1+1=2，a3=1+=1+=；故选c点评：本题考查了数列递推公式的简单应用，属于基础题3已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）a 2b 4c 6d 8考点：弧长公式专题：常规题型分析：根据扇形的面积公式建立等式关系，求出半径，以及弧长公式求出弧长，再根据扇形的周长等于2个半径加弧长即可求出周长解答：解：设扇形的半径为r，则r2=2，r2=1，r=1，扇形的周长为2r+r=2+4=6故选c点评：本题主要考查了扇形的面积公式，以及扇形的周长和弧长等有关基础知识，属于基础题4数列an的前n项和sn=3n25n，则a6的值为（）a 78b 58c 50d 28考点：数列递推式专题：等差数列与等比数列分析：利用an=snsn1计算可得结论解答：解：sn=3n25n，sn1=3（n1）25（n1），an=snsn1=（3n25n）3（n1）25（n1）=6n8（n2），又a1=s1=35=2满足上式，an=6n8，a6=668=28，故选：d点评：本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题5已知角a的终边射线与单位圆交于点p（，），那么tan2a的值是（）a b c d 考点：任意角的三角函数的定义；二倍角的正切专题：三角函数的求值分析：由条件利用任意角的三角函数的定义求得tana的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2a的值解答：解：角a的终边射线与单位圆交于点p（，），则有x=，y=，tana=，那么tan2a=，故选：c点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式的应用，属于基础题6已知an为等差数列，其前n项和为sn，若a3=6，s3=12，则公差d等于（）a 1b c 2d 3考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：设出等差数列的首项和公差，由a3=6，s3=12，联立可求公差d解答：解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a3=6，s3=12，得：解得：a1=2，d=2故选c点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是基础的会考题型7二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0）的零点为2和3，那么不等式ax2+bx+c0的解集为（）a x|2x3b x|3x2c x|xd x|x考点：一元二次不等式的解法专题：函数的性质及应用分析：根据二次函数的图象与性质，结合零点与方程的根的关系，写出对应不等式的解集即可解答：解：二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0）的零点为2和3，对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为2和3，不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x3，如图所示故选：a点评：本题考查了二次函数的零点与对应一元二次方程的两个实数根以及不等式的解集的应用问题，是基础题目8若sin=，且是第二象限角，则 的值为（）a b c +d 考点：同角三角函数基本关系的运用专题：三角函数的求值分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos、tan的值，再化简所给的式子得到结果解答：解：由于sin=，且是第二象限角，则cos=，tan=，=2tan+tan2=+，故选：d点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题9若x，y满足，若目标函数z=xy的最小值为2，则实数m的值为（）a 0b 2c 8d 1考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=xy的最小值是2，确定m的取值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z=xy的最小值是2，得y=xz，即当z=2时，函数为y=x+2，此时对应的平面区域在直线y=x+2的下方，由，解得，即a（3，5），同时a也在直线x+y=m上，即m=3+5=8，故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键，利用数形结合是解决此类问题的基本方法10正项等比数列an满足：a3=a2+2a1，若存在am，an，使得aman=16a12，则的最小值为（）a 2b 16c d 考点：等差数列的性质；等比数列的通项公式专题：综合题；等差数列与等比数列分析：正项等比数列an满足：a3=a2+2a1，知q=2，由存在两项am，an，使得aman=16a12，知m+n=6，由此问题得以解决解答：解：正项等比数列an满足：a3=a2+2a1，a1q2=a1q+2a1，即：q2=q+2，解得q=1（舍），或q=2，存在am，an，使得aman=16a12，a122m+n2=16a12，m+n=6，=（m+n）（）=（10+）（10+2）=的最小值为故选：c点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答注意不等式也是高考的热点，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，两者都兼顾到了11在边长为1的正三角形abc中，设=2，=，若=，则的值为（）a b 2c d 3考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：由=2确定点d是bc的中点，根据向量加法、减法、数乘运算，用、表示出和，由条件和数量积的运算化简=，即可求出的值解答：解：由题意画出图象如右图：=2，d为bc的中点，则=，=，则=，=，=，+=+=，+，解得=3，故选：d点评：本题考查向量的数量积的运算，以及向量加法、减法、数乘运算及其几何意义，属于中档题12已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）a b an=n1c an=n（n1）d 考点：根的存在性及根的个数判断；等差数列的通项公式专题：函数的性质及应用分析：根据函数的零点的定义，构造两函数图象的交点，交点的横坐标即为函数的零点，再通过数列及通项公式的概念得所求的解解答：解：当x（，0时，由g（x）=f（x）x=2x1x=0，得2x=x+1令y=2x，y=x+1在同一个坐标系内作出两函数在区间（，0上的图象，由图象易知交点为（0，1），故得到函数的零点为x=0当x（0，1时，x1（1，0，f（x）=f（x1）+1=2x11+1=2x1，由g（x）=f（x）x=2x1x=0，得2x1=x令y=2x1，y=x在同一个坐标系内作出两函数在区间（0，1上的图象，由图象易知交点为（1，1），故得到函数的零点为x=1当x（1，2时，x1（0，1，f（x）=f（x1）+1=2x11+1=2x2+1，由g（x）=f（x）x=2x2+1x=0，得2x2=x1令y=2x2，y=x1在同一个坐标系内作出两函数在区间（1，2上的图象，由图象易知交点为（2，1），故得到函数的零点为x=2依此类推，当x（2，3，x（3，4，x（n，n+1时，构造的两函数图象的交点依次为（3，1），（4，1），（n+1，1），得对应的零点分别为x=3，x=4，x=n+1故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，n+1其对应的数列的通项公式为an=n1故选b点评：本题主要考查了函数零点的概念及零点的求法、数列的概念及简单表示；培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；解题中使用了数形结合及分类讨论的数学方法和数学思想二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13函数f（x）=sin2x的图象可以由g（x）=sin（2x）的图象向左平移个单位得到考点：函数y=asin（x+）的图象变换专题：三角函数的图像与性质分析：由条件根据函数y=asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答：解：由g（x）=sin（2x）的图象向左平移个单位，可得函数y=sin2（x+）=f（x）=sin2x的图象，故答案为：点评：本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，属于基础题14已知向量，|=3，则=9考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：由已知结合平面向量是数量积运算求得答案解答：解：由，得=0，即（）=0，|=3，故答案为：9点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题15已知数列an是等差数列，其前n项和为sn，首项a1=2015且=2，则s2015=2015考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：根据等差数列前n项和公式化简已知的式子求出公差d的值，代入s2015化简求值解答：解：设等差数列an的公差为d，=2，=2，即dd=2，即d=2，又a1=2015，s2015=2015（a1+2014）=2015（2015+2014）=2015，故答案为：2015点评：本题考查等差数列前n项和公式的应用，以及化简、计算能力，属于中档题16abc的内角a、b、c所对的边为a、b、c，则下列命题正确的是若ab，则 cos2acos2b 若abc2，则c若a+b2c，则 c 若（a+b）c2ab，则c考点：余弦定理专题：解三角形分析：和取满足条件，不满足结论，判断为错误；利用余弦定理，将c2放大为ab，再结合均值定理即可证明cosc，从而证明c；利用余弦定理，将c2放大为（）2，再结合均值定理即可证明cosc，从而证明c解答：解：取a=30，b=45，满足ab，此时cos2a=cos60=，cos2b=cos90=0，得到cos2acos2b，故错误；abc2cosc=c，故正确；a+b2ccosc=c，故正确；取a=b=2，c=1，满足（a+b）c2ab得：c，故错误；故答案为：点评：此题考查了余弦定理，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在等比数列an中，a2=3，a5=81（）求an及其前n项和sn；（）设bn=1+log3an，求数列的前10项和t10考点：数列的求和；等比数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：（1）通过计算可知首项和公比，进而计算可得结论；（2）通过（1）及对数的性质可知bn=n，通过裂项可知=，并项相加即得结论解答：解：（1）设等比数列an的公比为q，依题意得，解得，an=3n1，sn=；（2）由（1）知bn=1+log3an=1+（n1）=n，=，t10=1+=1=点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题18已知a，b，c分别是abc内角a，b，c的对边，sin2b=2sinasinc（）若a=b，求cosb；（）设b=90，且a=，求abc的面积考点：正弦定理；余弦定理专题：解三角形分析：（i）sin2b=2sinasinc，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出（ii）利用（i）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出解答：解：（i）sin2b=2sinasinc，由正弦定理可得：0，代入可得（bk）2=2akck，b2=2ac，a=b，a=2c，由余弦定理可得：cosb=（ii）由（i）可得：b2=2ac，b=90，且a=，a2+c2=2ac，解得a=c=sabc=1点评：本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19如图，函数y=2sin（x+） xr，其中0的图象与y轴交于点（0，1）（）求的值；（）设p是图象上的最高点，m、n是图象与x轴的交点，求和的夹角的余弦值考点：正弦函数的图象专题：三角函数的图像与性质分析：（）根据函数图象过点点（0，1），求得sin的值，可得的值（）由条件求得m、n、p的坐标，再根据cos，=，计算求得结果解答：解：（ i）因为函数图象过点点（0，1），所以2sin=1，即sin=因为0，所以=（ ii）由函数及其图象，得m（，0）、n （，0）、p（，2），所以=（1，2）、=（1，2），从而cos，=点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，属于基础题20已知函数，（1）求函数f（x）的周期及单调递增区间；（2）在abc中，三内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点成等差数列，且，求a的值考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质；解三角形分析：（1）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求函数f（x）的周期，利用正弦函数的单调增区间求解函数的单调递增区间；（2）通过函数f（x）的图象经过点成等差数列，求出a以及列出abc的关系，利用，求出bc的值，通过余弦定理求a的值解答：解：=（3分）（1）最小正周期：，（4分）由可解得：，所以f（x）的单调递增区间为：； （6分）（2）由可得：，（8分）又b，a，c成等差数列，2a=b+c，（9分）而，bc=18 （10分），（12分）点评：本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数以及二倍角公式的应用，三角函数的图象与性质，基本知识的考查21某房地产开发商投资810万元建一座写字楼，第一年装修费为10万元，以后每年增加20万元，把写字楼出租，每年收入租金300万元（）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：纯利润总和最大时，以100万元出售该楼； 年平均利润最大时以460万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？考点：函数模型的选择与应用专题：函数的性质及应用分析：（1）利用纯利润=租金（投资+装修费）可知纯利润y=300n（810+10n2），进而计算可得结论；（2）方案：利用配方法可知15年后共获利润1540（万元）；方案：利用基本不等式可知9年后共获利润1540（万元）；进而可得结论解答：解：（1）设第n年获取利润为y万元，出租n年共收入租金300n万元，付出装修费构成一个以10为首项，20为公差的等差数列，共10n+20=10n2万元，利润y=300n（810+10n2），令y0，解得：3n27，从第4年开始获取纯利润；（2）方案：纯利润y=300n（810+10n2）=10（n15）2+1440，15年后共获利润：1440+100=1540（万元）；方案：年平均利润w