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运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题 a) 解:由图1可知,该问题的可行域为凸集MABCN,且可知线段BA上的点都为最优解,即该问题有无穷多最优解,这时的最优值为P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题 a) 解:由图1可知,该问题的可行域为凸集OABCO,且可知B点为最优值点,即,即最优解为这时的最优值为单纯形法:原问题化成标准型为10500b09341008520110500021/5014/51-3/5108/512/501/5010-253/2015/14-3/1410110-1/72/700-5/14-25/14所以有P78 2.4 已知线性规划问题:求: (1) 写出其对偶问题;(2)已知原问题最优解为,试根据对偶理论,直接求出对偶问题的最优解。解:(1)该线性规划问题的对偶问题为:(2)由原问题最优解为,根据互补松弛性得:把代入原线性规划问题的约束中得第四个约束取严格不等号,即 从而有 得所以对偶问题的最优解为,最优值为P79 2.7 考虑如下线性规划问题:(1) 写出其对偶问题;(2)用对偶单纯形法求解原问题;解:(1)该线性规划问题的对偶问题为:(2)在原问题加入三个松弛变量把该线性规划问题化为标准型:-60-40-80000b0-2-3-2-11000-4-4-1-30100-3-2-2-2001-60-40-80000010-5/45/41-1/12080111/43/40-1/400-10-3/2-1/20-1/210-25-350-150011/6005/311/3-5/6805/6102/30-1/31/6402/3011/301/3-2/300-80/30-20/3-50/3 P81 2.12 某厂生产A、B、C三种产品,其所需劳动力、材料等有关数据见下表。要求:(a)确定获利最大的产品生产计划;(b)产品A的利润在什么范围内变动时,上述最优计划不变;(c)如果设计一种新产品D,单件劳动力消耗为8单位,材料消耗为2单位,每件可获利3元,问该种产品是否值得生产? (d) 如果劳动力数量不增,材料不足时可从市场购买,每单位0.4 元。问该厂要不要购进原材料扩大生产,以购多少为宜。消耗定额产品资源AB C可用量(单位)劳动力材料6 3 53 4 54530产品利润(元/件)3 1 4解:由已知可得,设表示第种产品,从而模型为:a) 用单纯形法求解上述模型为:31400b0456351003034501314000153-101-1463/54/5101/53/5-11/500-4/5351-1/301/3-1/343011-1/52/50-20-1/5-3/5得到最优解为;最优值为 b)设产品A的利润为,则上述模型中目标函数的系数用替代并求解得:1400b351-1/301/3-1/343011-1/52/5-20-1/5-3/50-2+/30-1/5-/3-3/5+/3要最优计划不变,要求有如下的不等式方程组成立解得:从而产品A的利润变化范围为:,即C)设产品D用表示,从已知可得把加入上述模型中求解得:314003b351-1/301/3-1/3243011-1/52/5-4/50-20-1/5-3/51/535/21/2-1/601/6-1/61452/513/151-1/154/150-1/10-59/300-7/30-17/300从而得最优解;最优值为所以产品D值得生产。d)P101 3.1已知运输问题的产销量与单位运价如下表所示,用表上作业法求各题的最优解及最小运费。表3-35产地销地B1B2B3B4产量A1A2A31012227142091611201815255销量5151510解:由已知和最小元素法可得初始方案为产地销地B1B2B3B4产量A1A2A351501501015255销量5151510检验:由于有两个检验数小于零,所以需调整,调整一: 产地销地B1B2B3B4产量A1A2A351501510015255销量5151510 检验:由于还有检验数小于零,所以需调整,调整二:产地销地B1B2B3B4产量A1A2A355101510015255销量5151510检验:从上表可以看出所有的检验数都大于零,即为最优方案最小运费为:表3-36产地销地B1B2B3B4产量A1A2A386549314427372526销量10102015解:因为,即产大于销,所以需添加一个假想的销地,销量为3,构成产销平衡问题,其对应各销地的单位运费都为0。产地销地B1B2B3B4B5产量A1A2A386549314427300072526销量101020153由上表和最小元素法可得初始方案为产地销地B1B2B3B4B5产量A1A2A3911071315372526销量101020153检验: 从上表可以看出所有的检验数都大于零,即为最优方案最小运费为:表3-37 产地销地B1B2B3B4B5产量A1A2A38566M3389746578203030销量2525201020解:因为,即销大于产,所以需添加一个假想的产地,产量为20,构成产销平衡问题,其对应各销地的单位运费都为0。产地销地B1B2B3B4B5产量A1A2A3A485606M3038907460578020303020销量2525201020由上表和最小元素法可得初始方案为产地销地B1B2B3B4B5产量A1A2A3A4520252001015520303020销量2525201020检验: 由于有两个检验数小于零,所以需调整,调整一:产地销地B1B2B3B4B5产量A1A2A3A4205252001051520303020销量2525201020 检验:由于还有检验数小于零,所以需调整,调整二:产地销地B1B2B3B4B5产量A1A2A3A4205252001002020303020销量2525201020检验:从上表可以看出所有的检验数都大于零,即为最优方案最小运费为:P127 4.8 用割平面法求解整数规划问题。a) 解:该问题的松弛问题为:则单纯形法求解该松弛问题得最后一单纯形表为:7900b97/2017/221/2279/210-1/223/2200-28/11-15/11割平面1为:从而有79000b97/2017/221/22079/210-1/223/2200-1/200-7/22-1/22100-28/11-15/1109301001732/71001/7-1/7011/70011/7-22/7000-1-8割平面2为:790003b93010010732/71001/7-1/70011/70011/7-22/700-4/7000-1/7-6/71000-1-8093010010741000-11010010-410400016-70000-2-7由上表可知该问题已经达到整数解了,所以该整数解就是原问题的最优解,即,最优值为P144 5.3 用图解分析法求目标规划模型x1 + x2 + d1- - d1+= 40 x1 + x2 + d2- - d2+= 40+10=50x1 + d3- - d3+= 24 x2 + d4- - d4+= 30min Z = P1 d1-+ P2 d2+ P3(2d3- +1d4-)s.t.x1 、x2 、d1+、d1-、d2+、d2- 、d3+、d3- 、d4+、d4- 0 c) 解:由下图可知,满足目标函数的满意解为图中的A 点。 用图解分析法求目标规划模型的满意解。解:由下图可知,满足的满意解为区域CDOA; 满足的满意解为闭区域MCDOM; 满足的满意解为图中的阴影部分,即为图中的凸多边形OABCDO 。P170 6.4 求下图中的最小树解:避圈法为:得到最小树为:P171 6.7 用标号法求下图中点到各点的最短路。解:如下图所示:P 173 6.14 用Ford-Fulkerson的标号算法求下图中所示各容量网络中从到的最大流,并标出其最小割集。图中各弧旁数字为容量,括弧中为流量.B) 解:对上有向图进行2F标号得到由于所有点都被标号了,即可以找到增广链,所以流量还可以调整,调整量为1,得由图可知,标号中断,所以已经是最大流了,最大流量等于最小割的容量,最小割为与直线KK相交的弧的集合,即为所以从到的最大流为: C) 解:对上有向图进行2F标号得到由于所有点都被标号了,即可以找到增广链,所以流量还可以调整,调整量为1,得由图可知,标号中断,所以已经是最大流了,最大流量等于最小割的容量,最小割为与直线KK相交的弧的集合,即为,所以从到的最大流为: P193 7.1 根据下表给定的条件,绘制PERT网络图。表7-8作业代号 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3紧前作业无 a1 a2 无 b1 b2 a1,b1 a2,b2,c1 a3,b3,c
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