七年级学生用.doc

七年级上数学创造性学习潜能开发班第十三讲 数学思想方法的运用（一）【核心内容】 所谓数学思想方法，是指人们从事数学活动的程序、途径，是一种以具体数学知识内容为载体，又高于具体数学知识内容的指导思想和普遍使用的方法；运用数学思想方法解决问题的过程，就是感性认识不断积累的过程，有意识的运用数学思想方法来解决问题，可有效促使问题的解决以及从较高的角度来理解问题和分析问题本讲主要介绍四种重要的数学思想方法：转化思想、整体思想、数形结合思想、分类讨论思想【思维体验】（一）转化思想方法转化就是数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程；转化思想是中学数学最基本的思想方法，是解答一些较复杂题目的重要思维方法和重要解题思路之一，主要有：由繁向简的转化、由未知向已知的转化、由数向形的转化、由一般向特殊的转化等例1题图1【例1】如图1是一块矩形ABCD的场地，长AB = 102 m，宽AD = 51 m，从A、B两处入口的小路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪面积为（ ）A5050 m2 B4900 m2 C5000 m2 D4998 m2【点拨】能否将所有的空白移动到一起进行探究？【解答】【反思与小结】小路有很多段，逐段计算面积是非常麻烦，仔细观察图形，所有与AB平行的小路相当于与AB平行宽为1m的一条小路，所有与AB垂直的小路相当于与AB垂直宽为2m的一条小路。【例2】某环形道路上顺次有四所中学A1、A2、A3、A4，它们分别有彩电15台，8台，5台，12台，为使各校彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电，问怎么样调配才能使调出的彩电总台数最少？并求调出彩电总台数的最小值【点拨】能否用字母表示某学校向相邻学校调出的为，利用表示出调动的总台数？利用的变化来解答【解答】【反思与小结】解决本题的关键是将实际生活问题转化为数学问题；通过设未知数，把调动的彩电总台数用代数式表示，利用数轴结合绝对值的几何意义来解决。（二）整体思想方法整体思想方法是把研究对象的全部（或某一部分）看作一个整体，由整体入手，通过研究问题的整体形式，利用局部与整体之间的内在联系分析问题、解决问题的思想，解题的具体途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求解等【例3】设有四个数，其中每三个数之和分别为22、20、17、25，求这四个数【点拨】能否选择恰当的未知数？【解答】【反思与小结】此题按常规的解题习惯，须分别设四个未知数，然后列出四个方程，再去解一个四元一次方程组，麻烦；如把四个数之和作为整体x,，则可较易列出方程求解。 【例4】在凸n边形内任意放m个点，连接这些点及多边形的顶点，使每两条线段的内部没有公共点，并且整个多边形分割成若干个三角形，这样的过程称为三角形剖分现在一个凸四边形中放入2010个点，进行“三角形剖分”，问能把原四边形分割成多少个小三角形？【点拨】思考一：如果在凸四边形中放入一个点，如何进行“三角形剖分”？两个点如何进行“三角形剖分”？三个点呢？四个点呢？，总结规律进行解答思考二：若在凸四边形中增加一个点，总三角形的内角和如何变化？增加两个点总三角形的内角和如何变化？，【解答】【反思与小结】由于这些小三角形之间的关系极其复杂，若从讨论小三角形之间关系入手进行计算，则较难理清头绪。若避开小三角形之间的关系，从整体出发，注意到三角形内角和是180度，如果能算出所有小三角形的内角总和，那么就可求出小三角形的个数（三）数形结合思想方法数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，它可以使代数问题几何化，又可以使几何问题代数化，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面【例5】已知：a、b均为负数，c为正数，且，化简【点拨】要化简绝对值符号，就要确定绝对值符号内各项的符号，能否通过已知条件利用数轴比较大小？【解答】【反思与小结】本题主要考查有理数有关知识体现的数形结合思想.数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉.尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，正确理解有理数的性质及其运算法则.【举一反三】若有理数，试判断的符号【点拨】能否通过已知条件得到、的符号，通过、的符号以及、绝对值的关系，确定的符号？【解答】【反思与小结】数轴是数形结合的重要工具之一，对于“数形结合”的问题往往与“分类讨论”结合在一起。本题由所给条件判断出、的符号以及绝对值的大小，将要求的问题转化为有理数加减法的问题解决。【例6】数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察例如，求1234n的值，其中n是正整数方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，n个小圆圈排列组成的而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1234n的值为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即1234n （1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1357（2n1）的值，其中 n 是正整数（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1357（2n1）的值，其中n是正整数（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）【反思与小结】数和形是数学中两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透，本题的这种构造可数图形的方法可用于正整数的和的计算中。【举一反三】来自不同学校10名乒乓球运动员进行比赛，比赛规定：同学校之间的运动员不比赛，不同学校之间的任何两名运动员都要比赛一场，最后统计全部比赛进行了27场，请你说出这10名运动员来自几个不同的学校，各学校的运动员分别是多少名？【点拨】由条件考虑能否类比直线之间的位置关系来解答？【解答】【反思与小结】线段、直线、角的概念、位置模型是生活中重要的“数学模型”。重要的是如何应用类比这些模型。本题以运动员比赛为载体，将来自同一个学校的运动员类比成直线，通过直线的交点的个数来解答。体现了数学模型应用的重要性。（四）分类讨论思想分类讨论是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法，它的作用在于克服思维的片面性，防止漏解；从知识内容来看，无论是客观上或是微观上都渗透着分类的思想通过分类可以化整为零，变一般为特殊，变模糊为清晰，变抽象为具体，使思维过程条理清楚，目的明确.【例7】把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色，请求出红色部分的面积.【点拨】能否通过视图解决问题？【解答】【反思与小结】通过解答本题,有两点收获: (1)分类考查,对染色的面可从上、前、后、左、右来进行分别计数；（2）抓住本质.例如:从上往下看,表面上看很复杂,其实共有9个面被染上红色,抓住变中求不变的本质.【举一反三】将2010分成若干个正整数的和，使得这些正整数的乘积最大，如何分？【点拨】思考对于任何一个正整数分成几个正整数的和才能使它们的乘积最大？能否从最简单的正整数进行分类实验探究？如正整数1如何划分？正整数2如何划分？正整数3如何划分？，2010如何划分？【解答】【反思与小结】对于正整数问题要明确：不同的正整数之间最少相差1，任何一个包含正整数的集合都有最小值。正整数的加、乘一定还是正整数等。而本题是通过如何将2010划分成若干个正整数的和使其乘积最大的问题，对正整数进行分类探究，掌握规律。【例8】关于的方程有一负根而无正根，求的取值范围.【点拨】如何应用方程有正根而无负根的条件？【解答】【反思与小结】要对方程有正根和负根两种情况进行讨论，分别求出的取值范围，从而可确定方程有负根而无正根的的取值范围；本题极易产生只求出有负根时的取值范围，便认为是正确的结果，殊不知有负根时的取值范围中还包含有正根的情况，应去掉有正根时的取值；可见分类讨论可克服以偏概全，使问题解决具有全面性。【积累与小结】数学学习，一方面是学习数学方面的重要内容和知识；另一方面就是学习数学思想方法；数学知识与数学思想方法是密不可分的。数学内容和知识是数学思想的基础，只有在掌握熟练掌握数学知识的基础上，才能提升、归纳、总结出数学思想方法，数学思想方法离不开数学知识的学习；同时数学思想方法又指导我们对所学数学知识的系统化，上升到理论的高度，为应用数学知识解决问题，提供重要的理论保障。本节课主要介绍并应用了几种常用的数学思想方法，如转化化归、整体思想、数形结合、分类讨论，希望同学们在学习时，注意总结体会数学思想方法的应用，使我们真正做到融会贯通、举一反三，丰富的数学活动经验，起到事半功倍的效果。【一试身手】【基础训练】1如图所示，在高为2米，水平宽度为4米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需_米2如图，是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数是_个3代数式的所有可能的值有（ ）A 2个 B3个 C4个 D无数个 4若a0bc，则M、N、P之间的大小关系是（ ）AMNP BNPM CPMN D MPN5一列快车长306米，一列慢车344米，两车相向而行，快车从追及慢车到离开慢车需要65秒，求快车、慢车各自的速度，若设快车的速度是米/秒，慢车速度为米/秒，那么列出方程组：A BC D6某汽车以每小时80千米的速度从山顶上下坡，下山后，再以每小时40千米的速度返回山顶，问它上、下坡的平均速度是 （ ） A45千米/小时 B60千米/小时 C千米/小时 D48千米/小时7若，求代数式的值8若为有理数，在与之间有2009个整数，问的取值范围是什么？【提高训练】1如图，把一个面积为1 的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的矩形等分成面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算： 并推断当为正整数时， 2a、b是有理数，如果，那么对于结论：（1）a一定是非负数；（2）b一定是非负数；其中（ ） A只有（1）正确 B只有（2）正确 C（1），（2）都正确 D都不正确3将1000个小正方体堆成的一个大正方体，其表面被涂成红色，在所有小正方体中，三面被涂成红色的有a个，两面被涂成红的有b个，一面被涂成红