高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的运算、数量积 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角备课素材 新人教A版必修4.doc

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角备课资料一、|ab|a|b|的应用 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则平面向量的数量积的性质|ab|a|b|的坐标表示为x1x2+y1y2(x12+y12)(x22+y22). 不等式(x1x2+y1y2)2(x12+y12)(x22+y22)有着非常广泛的应用,由此还可以推广到一般(柯西不等式):(a1b1+a2b2+anbn)2(a1+a2+an)(b1+b2+bn).例1 已知实数x,y满足x+y-4=0,则x2+y2的最小值是_;(2)已知实数x,y满足(x+2)2+y2=1,则2x-y的最大值是_.解析:(1)令m=(x,y),n=(1,1).|mn|m|n|,|x+y|,即2(x2+y2)(x+y)2=16.x2+y28,故x2+y2的最小值是8.(2)令m=(x+2,y),n=(2,-1),2x-y=t.由|mn|m|n|,得|2(x+2)-y|解得.故所求的最大值是-4.答案:(1)8 (2)-4例2 已知a,br,(0,),试比较与(a+b)2的大小.解:构造向量m=(),n=(cos,sin),由|mn|m|n|得()2()(cos2+sin2),(a+b)2.同类变式:已知a,br,m,nr,且mn0,m2n2a2m2+b2n2,令m=,比较m、n的大小.解:构造向量p=(),q=(n,m),由|pq|p|q|得()2()(m2+n2)=(m2+n2)n.例3 设a,br,a=(x,y)|x=n,y=na+b,nz,b=(x,y)|x=m,y=3m2+15,mz,c=(x,y)|x2+y2144是直角坐标平面xoy内的点集,讨论是否存在a和b,使得ab=与(a,b)c能同时成立.解:此问题等价于探求a、b是否存在的问题,它满足设存在a和b满足两式,构造向量m=(a,b),n=(n,1).由|mn|2|m|2|n|2得(na+b)2(n2+1)(a2+b2),(3n2+15)2144(n2+1)n4-6n2+90.解得n=,这与nz矛盾,故不存在a和b满足条件.二、备用习题1.若a=(2,-3),b=(x,2x),且ab=,则x等于（ ）a.3 b. c. d.-32.设a=(1,2),b=(1,m),若a与b的夹角为钝角,则m的取值范围是（ ）a.m b.m d.m3.若a=(cos,sin),b=(cos,sin),则（ ）a.ab b.ab c.(a+b)(a-b) d.(a+b)(a-b)4.与a=(u,v)垂直的单位向量是（ ）a.()b.()c.()d.()或()5.已知向量a=(cos23,cos67),b=(cos68,cos22),u=a+tb(tr),求u的模的最小值.6.已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.7.已知abc的三个顶点为a(1,1),b(3,1),c(4,5),求abc的面积.参考答案:1.c 2.d 3.c 4.d5.|a|=1,同理有|b|=1.又ab=cos23cos68+cos67cos22=cos23cos68+sin23sin68=cos45=|u|2=(a+tb)2=a2+2tab+t2b2=t2+t+1=(t+)2+.当t=时,|u|min=.6.由已知(a+3b)(7a-5b)(a+3b）(7a-5b)=07a2+16ab-15b2=0. 又(a-4b)(7a-2b)(a-4b)(7a-2b)=07a2-30ab+8b2=0. -得46ab=23b2,即ab= 将代入,可得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0,即|a|2=|b|2,有|a|=|b|,若记a与b的夹角为,则cos=.又0,180,=60,即a与b的夹角为60.7.分析:sabc=|sinbac,而|,|易求,要求sinbac可先求出cosbac.解:=(2,1),=(3,4),|=2,|=5,cosbac=.sinbac=.sabc=|sinbac=25=4.三、新教材新教法的二十四个“化”字诀新课导入新颖化,揭示概念美丽化;纵横相联过程化,探索讨论热烈化;探究例题多变化,引导思路发散化;学生活动主体化,一石激浪点拨化;大胆猜想多样化,论证应用规律化;变式训练探究化,课堂教学艺术化;学法指