（应用数学专业论文）一类抛物型和椭圆型方程（组）解的结构研究.pdf

摘要 本论文研究了某些抛物型和椭圆型方程( 组) 解的性质，这种 研究包含解的局部存在性和唯一性，解的整体存在性和有限时刻 爆破以及解的整体有界性，等等。 在第一章中通过p 0 h o z a c v 恒等式和一系列比较原理得到问 题d i v ( 1 x e u l p - 2 v u ) = ，( u ) 在有限球中正径向奇异破裂解的存在 性。 在第二章中考虑了带非局部反应项的扩散方程非负解的局部 存在性以及解在有限时间爆破，考察了解的边界行为。证明了方 程的解具有全局爆破性质，并且得到在空间的所有紧子集上的一 致爆破率，i u ( t ) l o 。的爆破率假定是确定的。 在第三章中研究了冗中的有界子空间上的拟线性抛物型方程 组。首先得到了它对应的椭圆型方程组非增正解的不存在性。其 次利用所得到的不存在性定理研究了带有类似狄利克雷边值条件 拟线性抛物型方程组解的爆破估计。然后在适当的假设下得到解 的局部存在理论，证明了解或者整体存在或者在有限时间爆破。 关键词：拟线性椭圆型方程；正破裂解；p o h o z a e v 恒等式：临界 指数；爆破率；边界层；p 拉普拉斯系统：非局部项；整体存在 性；不存在性 a b s t r a c t t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e ss o m er e s u l t so fs o l u t i o n st op a r a b o l i cs y s t e r n sa n de l l i p t i ce q u a t i o n s t h i si n v e s t i g a t i o nc o n t a i n st h ep r o b l e m so f l o c a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s o l u t i o n s ，g l o b a le x i s t e n c ea n df i n i t e t i m eb l o wu p ，t h eb o u n d e d n e s so f g l o b a lp o s i t i v es o l u t i o n s ，e r e i nc h a p t e r1 ，t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v er a d i a ls i n g u l a rr u p t u r es o l u - f i o n so f t h e p r o b l e md i v ( 1 v u l p 2 v u ) = ，( 乱) w i t hf ( 0 ) = 。i na f i n i t e b a l li so b t a i n e dv i at h ep o h o z a e vi d e n t i t ya n ds o m ec o m p a r i s o na r g u m e n t s i nc h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t e st h el o c a le x i s t e n c eo ft h en o n n e g a t i v e s o l u t i o na n dt h ef i n i t et i m eb l o w - u po fs o l u t i o na n db o u n d a r yl a y e rp r o - f i l e so f d i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t hn o n l o c a lr e a c t i o ns o u r c e s ，w ep r o v et h a t t h es o l u t i o n sh a v eg l o b a lb l o w - u pa n dt h a tt h er a t eo fb l o w u pi su n i - - f o r mi na l lc o m p a c ts u b s e t so f t h ed o m a i n , 恤b l o w - u pr a t eo ff 仳( ) i 。 i sp r e c i s e l yd e t e r m i n e d i nc h a p t e r3 ，w ed e a lw i t hp l a p l a c i a ns y s t e mw i t hn u l ld i r i c h l e t b o u n d a r yc o n d i t i o n si nab o u n d e dd o m a i nq=brcr w h e r e p ，q 2 ，a ，卢1 w ef i r s tg e tt h en o n e x i s t e n c er e s u l tf o rar e l a t e d e l l i p t i cs y s t e m so fn o n i n c r e a s i n gp o s i t i v es o l u t i o n s s e c o n d l yb yu s i n gt h i sn o n - e x i s t e n c er e s u l t , b l o wu pe s t i m a t e sf o ra b o v ep - l a p l a c i a n s y s t e m sw i t ht h eh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n sa r e o b t a i n e d t h e nu n d e ra p p r o p r i a t eh y p o t h e s e s ，w ee s t a b l i s hl o c a lt h e o r y a b s t r a e t o f t h es o l u t i o n sa n do b t a i nt h a tt h es o l u t i o n se i t h e re x i s tg l o b a l l yo rb l o w u pi nf i n i t et i m e k e y w o r d s ： q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ；p o s i t i v es i n g u l a rr u p t u r e s o l u t i o n s ；p o h o z a e vi d e n t i t y ；c r i t i c a le x p o n e n t s ；b l o w u pr a t e ；b o u n d a r y i a y e r s ；p l a p l a c i a ns y s t e m s ；n o n l o c a ls o u r c e ；g l o b a le x i s t e n c e ；n o n e x i s t e n e e 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版： 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名 日期 刖罱 拟线性反应扩散系统( 非线性牛顿渗流系统) 和半线性反应扩散系统( 牛顿 渗流系统) 正解的构造是研究非传导型介质中静电场问题的前沿课题，其中电 压是由稳态的非牛顿渗流系统的边值问题来描述的，称之为p o i s s o n - b o l t z m a n n 问题类似的问题还出现在多孔介质系统中的非牛顿或牛顿湍流等等里面，具 有很丰富的工程学背景 关于反应扩散系统的问题包括整体解的存在性和多解性、爆破、爆破速 率和爆破集、唯性、解的渐近行为以及非唯一性，等等对于椭圆型系统， 研究的问题包括存在性和不存在性、唯一性以及非唯一性等等 在研究一个反应扩散系统解的时候，下面的问题自然地就产生了：( i ) 这 个反应扩散方程解整体存在吗? 伍) 解在有限时间爆破吗? 对于第一个问题， 整体存在性通常只有建立在当一系列适当的解被找到的情况下对于第二个 问题会研究在什么情况下解在有限时间爆破如果解在有限时间爆破，自然 会问它的爆破时间和爆破集合是什么? 更迸一步能不能得到解在靠近爆破点 时的渐近行为? 当考察一个反应扩散系统( 方程) 时，到目前为止已经形成了一 整套成熟的方法，例如：上下解方法( 见 3 7 1 ，【5 3 】) ，凸函数方法( 见【5 4 d ，能量函 数方法( 见【3 9 】， 5 5 1 ) ，半群方法( 见 5 6 1 ) ，特征函数法( 见 5 7 1 ) ，凹度方法( 见 5 8 1 ) ， 以及其他的比较方法，等等 在本篇研究论文里。第一章研究了如下问题正奇异破裂解的存在性： d i v ( 1 v u p - 2 v u ) = ，( “) 在n o ( 1 ) 并且 l i mu ( z ) = 0 ， ( 2 ) i x l _ o 其中p + 1 ，p l ；q = b n = 缸r n ： p 一1 ，a 0 使得当o 0 ，其中f ) = ff ( v ) a v 这个问题产生于研究非牛顿湍流( 见 1 ，2 】) 和非牛顿渗流( 见 3 】) 其中数 量p 是用来描述介质的特征p 2 时媒质称为膨胀流，p 2 时媒质称为伪塑 流p = 2 时称为牛顿流特别地，形如 u t = 一d i v ( f ( u ) l 、t a u l p - 2 v x u ) 一d i v ( g ( u ) v u ) 的方程，其中u 描述油的表面离固体表面的高度j & 尉n g ( 见 4 】) 第一个引入 了这样一个方程对于二维的情形，在参考文献 5 】中有它的一个独特的物理 来源，描述了油膜在固体表面的扩散零点集= 牡= o ) 是流体和固体的分 界面，有时被称为破裂集系数，( u ) 反映表面张力作用效果，一个典型的选择 是f ( u 1 = “3 特别地，令，( 札) = 护，9 ( 翟) = 一并且m 0 z q ( 6 ) 它的爆破性质已经被许多作者讨论过了( 见 1 8 ，2 4 ) 以及其它相关文献在文 献 1 8 】里，p s o u p l e t ；j i 进了一种新的方法来研究问题( 6 ) 解的爆破率以及爆破分 布，其中口( z ) = 常数= 1 他证明了如果p l ，则在q 的紧子集上一致成立 里器( t t ) 硝1 乱( 8 t ) = 墨导( r t ) 南l “( ) l 。o = i 一1 ) l q i ；】- 者 最近，在文献 2 4 】里，刘其林等证明了i h - j 题( 6 ) 当。( z ) 不为常数时解的整体爆 破以及它的爆破率 本章的目的是得到反应扩散系统( 5 ) 的临界指数、爆破率的估计以及边界 行为 知z 一一一一 萋善意州俐俐蝴舭觚归驴一垆地啦 在第三章里研究了如下形式带非局部项的拟线性抛物型方程组： 并且讨论了对应椭圆型系统正勰的不存在性 z q t 0 z q ，t 0 ( 7 1 z 鲫t 0 、7 z q 刮一d i v ( i v v 卵u l p 一- 。2 v u ) ：- - f av a ( 州x , t 池) d x , v v ) ：主曼 ( 8 ) i d i v ( i v 训9 _ 2 = 矗( z ，t ) 出， 茁q ”7 其中q = b r = 扛r n ：m 0 ) 是( 1 ) 中的有界球， 具有充分光滑的边界a q p ，q 2 ，o ，卢1 咖( z ) l o 。( q ) nw j 9 ( q ) ， 如( z ) 工p ( nw 0 1 ，。( q ) 并且在a q 上曼乒，堡! 铲 1 ；q = b r = 伽r n ： p 一1 ，a 0 使得当0 0 ，这里f ( u ) = j ? f ( v ) d v 由条件( h ) 可以得至忆= 0 是函数，的奇异点，l l p l i n k o ，( 牡) = o 。 问题( 1 1 1 ) 在q 中的正奇异破裂解是这样定义的，对于任意紧子集kc q o ) ，在q o ) 上u 0 ，弱解u c 1 ( k ) 对于k 中的每个点都满足( 1 1 1 ) ，并 且u 满足( 1 1 2 ) 修改文献 1 1 , 5 1 ，5 2 中的结论，得到如下结果： 定理1 1 1 假设函数，满足条件( h ) ，那么对于任意r ( o ，o o ) ，方程( 1 1 1 ) 在b r 中存在正的奇异破裂解 1 2 定理1 1 1 的证明 为了证明定理1 1 1 ，考察拟线性椭圆型方程( 1 1 1 ) 的径向对称解，也就是 说假定u = 珏( r ) 其中r = ，并且考虑下列初值问题 ( ( 钍7 ) ) ，+ ! ! ! ：；里岛( “7 ) 一，( r ) ) ：o ，r o ，( 1 z i ) 毵l 章一炎拟线性椭闻掣方程的正奇异破镀解的存n 。性 乱( o ，q ) = o 0 ，( 0 ，a ) = 0 ，( 1 2 2 ) 其中( s ) = i s r 2 s 对于口 b ，令r ( o ，b ) 是使得u ( r ，口) = b 成立的第一个r 利用p o h o z a e v 恒等式和一系列比较假定，能证明条件( h ) 表明存在两个正常 数r ( b ) 和彤( b ) ，使得对于任意b a 和充分大的n ，有风( b ) 兄( o ，b ) s p ( b ) 从这些估计出发，定理1 1 1 就可以证出 首先给出由n i 和s e n 噎n 在文献 1 5 1 中得到的推广了的p o h o z a c v 恒等式 引理1 2 1 假设u ( r ) 是方程( 1 2 1 ) 在( r 1 ，r 2 ) c ( 0 ，o o ) 中的一个解，a 为任 意常数，则对于任意r ( 7 1 ，7 2 ) 有 石d 【r ( 1 1 p ) l u l ，+ f ( u ) + ；u 仳m p 2 ) 】 = r n - 1 n f ( u ) 一n t ，( u ) - t - ( 口+ 1 一n p ) l u f p ， ( 1 2 3 ) 其e e f ( u ) = 菪f ( s ) d s 定义1 2 2 对任意口( 0 ，o o ) 和b o t ，令兄( a ，b ) 是第一个使得札( r ，a ) = b 成立的r 如果不存在这样的r ，将记r ( 口，b ) = 。o 记r ( 口) = 丑( q ，0 ) 和冗1 ( q ) = r ( n ，a ) ，其中a 在条件( h ) 中已经给定 定义1 2 3 对于条件( h ) 中的q ，a ，( u ) ，f ( u ) 以及0 b o ；当1 p 0 在【0 ，a 】上定义如下形式的两个常数见( b ) 和舒旧) r 。( b ) 9 ( p 一1 ) = m ( 两一1 ( p 一1 ) b 和 即肛( 南r 1 ( 尚( 酬q 这里对于p 2 ，百= 一1 如一1 学7 1 b ；对于1 p 2 ，一b = 2 ( p - 2 ) ( p - 1 ) n 一1 加一1 ) 曼笋7 f 1 b 并且m ( 吾) = m a x f ( u ) ：h 犀，4 ) 首先证明对于确定的o b a ，r ( a ，b ) 存在上界和下界 定理1 2 4 令，满足条件( h ) ，对于o b a 和血( o ，司，有 冗。( b ) r ( q ，b ) r ( b ) ，( 1 2 4 ) 6 一 筇1 章一旋拟线性椭同v 方穰的正甸异破裂解的存和性 以及 【掣警】1 沪”见( 功l 沪1 ) s ( r ( 口，引，n ) 石j 了l ；兰丽b 兄广 ( 1 2 5 ) 证明在( 1 2 3 ) 中令u ( r ) = u ( r ，q ) 和o = n ( p 一1 一q ) 且对式( 1 7 2 3 ) 从0 到r 积分，由条件( h ) ，对于所有8 【0 ，r 】，0 u ( 8 ，o t ) a ，则有 一0 ，- pl _ ) j 刎，+ f ( 吣) + 志i 虹巡掣 0 1 ( 1 2 6 ) 显然由条件( h ) 可推出对所有0 0h f ( a ) 0 ( 由条件( h ) ) ，不难看出c a 。f ( s ) d s 0 显然与f ( u o ) o 矛盾，所以的假设成立由 这个假设和条件( h ) 得到当0 u 0 并且1 i r 毗o f ( u ) = o 。进 一步，对于任意的o ( 0 ，a ) ，g q ( 1 2 6 ) 可知在( 0 ，r 1 ( 口) ) 上有“协，口) 0 因此， 对o ( 0 ，a ) 有r 1 ) 0 使得 对所有0 “a ，( t ) m ( 1 2 8 ) 由( 1 2 1 ) - ( 1 2 2 ) 和( 1 2 8 ) 当r ( 0 ，r 1 ( a ) ) r 0 见( b ) 在情形( 6 ) ，需要 一个比较原理 令( r ) 兰v ( r ，血，百) 是下面初始值的一个解 ( 郇( ，) ) ，+ 翌；量岛( ) 一口：o 其中r r ( 。，百) ， ( 1 2 1 4 ) 口( 冗( q ，否) ) = 百，( 1 2 1 5 ) t 1 7 ( 兄( q ，- b ) ) = ( r ( o ，百) ，口) ，( 1 2 1 6 ) 其中刁= m ( 百) 则( r ) 能被精确写成如下形式 嘶脚+ 二母1 | 峒 弦茄) j l 舭) d s ( 1 2 1 7 ) 釜! 量= ：尘丝垡丝塑旦! 立望2 2 王童2 型篓墼盟立t ：丝 其中瓦= 冗( n ，两这里考虑两种情形：( t ) p 2 以及( i t ) 1 p 0 ，那么有 ( r n - - l 垂，( 吒) ) 7 一( r n - - 1 ( ) ) 7 = r 一1 虿一，( u ( r ，a ) ) 20 ( 1 2 1 9 ) 从而对( r ，口) o 可得 一1 ) ( r n - 1 l f ( r ) 1 9 - 2 ( t ，口一u ) ，) ，0 ，( 1 2 2 0 ) 这里f ( r ) 介于( r ) 和吒( r ) 之问对( 1 2 2 0 ) 式积分两次并利用( 1 2 1 5 ) - ( 1 2 1 6 ) 式，可得在【r ( 口，百) ，甩( b ) 】上有让( r ，口) s ( r ) 这就证明t ( 1 2 4 ) 式 的第一个不等式 最后，由( 1 2 4 ) ，( l 2 “) 和( 1 2 1 2 ) 式得到( 1 ，2 5 ) 式口 ( 1 2 4 ) 式和( 1 2 5 ) 式的一个直接结论是下面关于方程( 1 1 1 ) ( 1 1 ，2 ) i e 奇异 解的存在性结果 引理1 2 5 假设函数，满足条件( h ) ，如果 o k ) 是一个满足l i m k o o 觎= o 和l i m k - o or ( a k ) = r o o 的序列，则存在序列 o k ) 的一个子序列 毗以及 非负的奇异解矿使得在( o ，冗) 上u ( ，0 2 ) 逐点收敛到矿并且解u 在( o ，r ) 的每个 紧子集上f o ，b l x 是- - 阶可导连续的此外可以得到u 是方程( 1 2 1 ) 在b r 中的 0 一 绝j 苹一炎拟线性椭网掣古程的正盘畀破裂解的行礼性 个正奇异破裂解 证明首先证明在任意紧子空间f 0 6 】( 0 ，r ) 上，让u ) ( ，o ) 0 = 0 ，1 ) 在【n ，h i 上是一致有界的易证 溉( 口( 剐= 溉( 寿) 叫了兰) ( 即) ) 一- 0 ( 1 2 2 1 ) 因此，存在0 bsa 使得形( b ) sa 对充分大的k ，有r ( a k ，b ) sa 和 u ( a ，口k ) b ( 1 2 2 2 ) 另一方面，由假设当七一c c 时r ( a k ) 一冠则对充分大的k 有b 兄( o k ) ，即对充 分大的七，在【a ，b f u ( b ，o k ) su ( 口) ，乜k ) = a 现在可得对充分大的岛，有 b u ( r ，a ) a 则对方程( 1 2 1 ) 的任意解( r ) ，3 0 r l r 2 0 使得在【n ，6 】上对充 分大的k 有 l 仳( r 觎) f d( 1 2 2 6 ) 于是从( 1 2 2 3 ) 幕1 ( 1 2 2 6 ) 式，可得“d ) ( ，口k ) ( y 3 j = 0 ，1 ) 在陋，6 】上一致有界 釜! 耋= 娄垫缝丝丝堕! 立堡墼至奎星茎丝型塑立：垒 由( 1 2 1 ) 可推出在 n ，6 】上( 郇( ) ) i c 利用a s c o l i a r z e l a 定理和对角线方法，存在 o k ) 的一个子序列 a ：) 和 一个非负函数w ( r ) ，在( o ，兄) 上啡( 牡，( ，n k ) ) 逐点收敛到并且解在( o ，r ) 的 任一紧子集陋，6 j 上是c 1 的因为西，( s ) 是可逆的，则在( 0 ，r ) 上当七一o o 时， ( ，o ) 逐点收敛到彬= 垂i 1 ( ) 并且在( o ，冗) 的任一紧子集【n ，6 上是伊的 于是推出存在一个c 1 非负函数u ( r ) ，使得在( o ，兄) 上t ( ，口k ) 逐点收敛n u 并 且解在( 0 ，r ) 的任一紧子集 n ，6 】上是e 1 的显然在( o ，r ) 上u ( r ) 满足( 1 2 1 ) ， 那么( 1 2 4 ) 式表明当r o + 时u ( r ) 趋向0 对任何b a ，若rs 风旧) ， 则“( r ，) b ，即在【0 ，r 。( b ) 】上u ( r ) b 因为当b - q 时毛( b ) ，0 ，则 有当r o + 时，矿( r ) 一0 因此，u ( r ) 是( 1 2 1 ) 在( 0 ，冗) 上的正奇异破裂解口 定理1 1 1 的证明令 q k ) 是一个序列且h m 。a k = 0 因 为r d c & o - 1 ) ( 豢) 1 ( p 一1 ) k ；( a 一口) 】，可以假设l i m k 。阜( o k ，a ) = r 1 时，有的 解爆破而有的解是整体存在的，这依赖于初值的大小方程( 2 1 2 ) 解的爆破率 在文献 2 2 ，2 5 2 6 仲也已经考虑过了 。o 。蚝 汾b协l薰糍兹川删俐碱舭缸归驴 栌垆如毗 辫2 章带非局部项的扩散系统解的一敛爆破率和渐近竹i 在文献 3 3 】里，王明新讨论了问题正解在有限时间内爆破的性质 iu t = 札+ 俨俨， $ q ，t 0 啦vt=，a旧v+upvq),：iq,t砌0t t0 ，t 0 ( 2 1 3 ) i 让( 茁，) = 口( z ，) = ，砌， p 叫 【( z ，0 ) = t 幻( z ) 0 ，移( z ，0 ) = t 帕( z ) 0 ， z q 令a l 是在q 中带零d i r i c h l e t 边值条件的算子一的第一特征值他的主要结论 是： ( i ) 假设 或者 m 1 ，n o ，p = 0 ，g = 1 ，a l l ，p 0 ，n = 0 ，m = 1 ，a i 1 ，y 0 ，z 0 得到了许多新颖的结果他们的结论表 明p c = p q 一( 1 + ，y ) ( 1 + p ) 是方程( 2 1 6 ) 的临界指数，也就是说，如果p c 0 ，对于足够大的初值，方程的解在 有限时间爆破 在本章里将证明p c = p q l 也是方程( 2 1 1 ) 解的临界指数 本章的目的是得到反应扩散系统( 2 1 1 ) 解的l 临界指数，并且得到解的爆破 速率以及解的边界行为对于函数o ) ，6 ( z ) ，咖( z ) ，咖0 ) ，有如一卜假定： ( a 1 ) 血( z ) ，6 ( z ) c 2 ( q ) ，t 幻( z ) ，v o ( x ) c 2 + a ( q ) ，口( 0 ，1 ) ；o ( z ) ，6 ( 卫) ， “o ( z ) ，在q 中( z ) 0 ，并且在o q _ e a ( x ) = b ( x ) = 咖( z ) = 如( z ) = 0 ( a 2 ) n ( z ) ，6 ( 。) ，铷( z ) 以及咖( z ) 是径向对称的，即n ( z ) = o ( r ) ，6 ( z ) = 6 ( r ) ， 蛳( z ) = 咖( r ) ，如( 石) = 如( r ) 其中r = 对于r 【0 ，捌o ( r ) ，6 ( r ) ，均( r ) 以 及v o ( r ) 是非增的 本章内容安排如下在第2 2 节，考虑系统( 2 1 1 ) 解的整体存在性以及有限 爆破性质在2 3 节研究( 2 1 1 ) 解的爆破集合和爆破率在第2 4 节，得到边界估 计 2 2 整体存在性和有限时间爆破 。? 盔本节里，首先给出系统( 2 1 1 ) 上下解的定义 定义2 2 1 一对非负函数 ( z ，t ) ，o ( z ，t ) ) 称为方程( 2 1 1 ) 的上解，也就是 如果( _ ( z ，t ) ，可0 ，t ) ) c ( f ix 【o ，刁) n c 2 , 1 ( q ( 0 ，? ) ) 并且满足 一对非负函数也( ，t ) ，型( z ，t ) ) 称为方程( 2 1 1 ) 的下解，也就是如 d q x o 卸锄渺吐一曲孤姒 延鞴兹俐删俐蝴缸缸蛇蛇一一4霸砚晚议戳 第2 章带非嗣部项的扩散系统解的一致壤破率和渐近竹讣 果c u ( z ，t ) ，笪( z ，t ) ) c ( ax 【o ，明) nc 口，1 ( n ( o ，t ) ) 并且满足 其中1 r + o o ，p ，q r 规定q t = q ( 0 ，列以及s t = a q ( 0 ，7 1 方程( 2 1 1 ) 的弱解是一个向量 函数，它既是( 2 1 1 ) 的上解也是( 2 1 1 ) 的下解下述比较引理在证明其它结论的 过程中起着很重要的作用，可由文献 3 7 中的类似论证得到 引理2 2 2 假设条件1 ) 一( a 2 ) 成立，w ( x ，t ) ，z ( x ，t ) c ( 虿r ) n c 吃，1 ( q r ) 并且满足 毗一叫。( 。) d - ( t ) 上c ，( 甄) z ( z ，t ) 如，( 毛t ) 锄 z t a z2b ( z ) d 2 ( t ) c 2 ( x ，t ) t u ( z ，t ) 如，( z ，t ) q r ， ( 2 2 1 ) j o w ( x ，t ) ，2 ( ，t ) 0 ，( z ，t ) s t ， w ( x ，o ) ，2 ( z ，0 ) 0 ，z q ， 在q t 中d i ( t ) ，盘( ，t ) o c i = 1 ，2 ) ，并且是有界连续函数，那么 在爵上叫( z ，t ) ，z 扛，t ) 0 证明令k = m a x k 1 ，k 2 ) - 4 - 1 ，其中 ( 1 = s u p t e ( o 刁邮) d 1 ( t ) zc t ( 州) 出，刁 j n 鲍= s u p6 ( o ) 如( ) c 2 ( x ，t ) 如 t e ( o ，即 j n 既然在q t 中g ( 为) ，也( t ) 有界连续，则有k + 令枷1 = e - - k t w ，z 1 = e - k t z ， 能够推出在虿r 上w l ( z ，) ，z 1 ( z ，t ) 0 实际上，既然对( z ，t ) 昂或者茁q ，t = 0 ，w l ( x ，t ) ，z l ( x ，t ) o ，- 若m i n w l ( z ，t ) ，z l ( x ，t ) ) 0 ( 对( z ，t ) 百r ) ，贝u ( w l ，。1 ) 在q t 中有负的最小值不失一般性，可以假设m i n u 1 ( z ，t ) ，z l ( x ，t ) ) 在q r 中 用q q o 曲印忪巩 d d 孤机 虫赫兹 删删俐蝴 缸衄归吣 0 ，且伽1 t ( 勋，t 1 ) 0,tt t0 z 固 u ( 茁，) ( = ) z ( z ，t ) 2 ( = ) o ，o 加， 、7 u ( z ，0 ) ( s ) t 如( z ) ，z ( x ，0 ) ( ) t j 0 ( z ) ， z q 贝u 在刁0 上( t d ( z ，t ) z ( z ，t ) ) ( ) ( “( z ，t ) ，v ( x ，t ) ) 证明r i 正( w ( x ，t ) ，z ( x ，) ) ( ( z ，t ) ，移( z ，t ) ) ( 0 ，o ) 相反的结果类似可 缔2 章带非局部项的勾散系统解的一敏坶破率和渐近 + t 得令妒l ( z ，t ) = ( i t ) 一“( z ，t ) ，妒2 ( z ，t ) = z ( z ，t ) 一v ( x ，f ) 由中值定理有 。( t ) | p i v ( o i , p = ( | z ( 丑t ) | r 如) 一( i v ( x ，t ) 1 7 出) ； j n j q = ：( 町( t ) ) 沪f p i 0 妒l ( g ，o ) ，妒2 ( z ，0 ) 0 ，z q 由引理2 2 2 可得妒l ，忱0 ，也即( z ，t ) ，z ( z ，t ) ) ( u ( x ，t ) ，v ( x ，t ) ) 口 从推论2 2 3 ，有如下引理 引理2 2 4 令( u ，移) 是方程( 2 1 1 ) 的非负解，并且假设( 百，矛) 以及也，型) 是问 题( 2 1 1 ) 相应的上下解，则在z b 上( 面，o ) ( 牡， ) 也，必 定理2 2 5 假设( a 1 ) 一2 ) 成立，并且瑚 0 ，( 面，口) 有界并 且面k “，0 k k 则有 砚一面= 一k z ，“l ( 2 1 1 ) ( 妒+ 1 ) 1 1 - - 2 i 0 1 2 + f l ( 妒+ 1 ) l z - - 1 妒) 1 1 ( c + t ) 1 1 - 1 k “， 以及 令 a ( x ) l 哥l , p = 口( z ) j 一。 ( 妒+ 1 ) b 譬a ( o ) l a l p ( c + 1 ) 一。j ，( 2 2 8 ) 魂一o h ( c + 1 ) 。一1 k b ，b ( x ) l 面l ：b ( o ) l q p ( c + 1 ) 讲t k q l - ( 2 2 9 ) 甄= ( 掣竽( c 舻吐+ 1 ) l ( 卜此，鲍= ( 塑避警( c + ) q t t - t 2 + 1 ) l 慨叫t ) ( 2 2 1 0 ) 既然p 口 1 ，可以选择两个正常数z 1 ，1 2 1 使得 p l l 1 2 1 g & p p l 2 1 ，则对于“足够小的初值，系 统( 2 1 1 ) 的非负整体解存在 证明显而易见，存在两个正常数z 1 ，z 2 t l 1 2 1 q 也 t 口p 1 2 l l ，q l l 1 2 选择k 充分小使得 k m i n k 1 ，k 2 ( 2 2 1 5 ) 假设u o ，v 0 足够小以满足( 2 2 1 3 ) 式从( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) ，( 2 2 1 3 ) - ( 2 2 1 5 ) 式可 得( 面，西) 是系统( 2 1 1 ) 的上解另外可以看出解下有界口 注2 2 7 令妒1 ( 茹) 是下述椭圆型方程的正解 一( z ) = 1 ， z q 1 ； ( z ) = 0 ， z 0 3 2 1 这里q 1c cq 显然(