（新课标）高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第8讲 函数与方程习题.doc

2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第8讲 函数与方程习题a组基础巩固一、选择题1下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是()af(x)ex1bf(x)xcf(x)xdf(x)x2答案c解析由于函数f(x)ex1，f(x)ex1f(x)，故函数不是奇函数，排除a；由于函数f(x)x满足f(x)x(x)f(x)，故f(x)x是奇函数，但方程f(x)0无解，故不存在零点，排除b；由于函数f(x)x满足f(x)(x)(x)f(x)，故f(x)x是奇函数，又f(1)f(2)1(1)0，故在区间(1,2)上存在零点，c满足条件；由于函数f(x)x2，f(x)(x)2(x2)f(x)，所以f(x)不是奇函数，排除d，故选c2(2015山东威海一模)函数f(x)x3()x2的零点所在的区间为()a(0,1)b(1,2)c(2,3)d(3,4)答案b解析f(1)10，f(2)70，f(1)f(2)0.又函数f(x)在定义域上单调递增，由零点存在性定理得f(x)的零点所在区间为(1,2)3(2015湖北重点中学上学期期末)已知函数f(x)(ar)，若函数f(x)在r上有两个零点，则a的取值范围是()a(，1)b(，0)c(1,0)d1,0)答案d解析当x0时，f(x)2x1.令f(x)0，解得x；当x0时，f(x)exa，此时函数f(x)exa在(，0上有且仅有一个零点，等价转化为方程xa在(，0上有且仅有一个实数根，而函数yex在(，0上的值域为(0,1，所以0a1，解得1a0.故选d4(2015浙江五校调研)已知函数f(x)，g(x)，则函数f(g(x)的所有零点之和是()abc1d1答案b解析由f(x)0得x2或x2，由g(x)2得x1，由g(x)2得x，所以函数f(g(x)的所有零点之和是1，故选b5(2015浙江模拟)设函数f(x)的零点为x1，g(x)4x2x2的零点为x2，若|x1x2|0.25，则f(x)可以是()af(x)(x1)2bf(x)ex1cf(x)ln(x)2df(x)4x1答案d解析选项a，x11；选项b，x10；选项c，x1或；选项d，x1，g(1)4220，g(0)120，g()2120，g()20，则x2(，)，故选d6已知函数f(x)满足f(x)1，当x0,1时，f(x)x，若在区间(1,1上方程f(x)mxm0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是()a0，)b，)c0，)d(0，答案d解析解法一方程f(x)mxm0有两个不同的实根等价于方程f(x)m(x1)有两个不同的实根，等价于直线ym(x1)与函数f(x)的图象有两个不同的交点因为当x(1,0)时，x1(0,1)，所以f(x)1，所以f(x)1，所以f(x).在同一平面直角坐标系内作出直线ym(x1)与函数f(x)，x(1,1的图象，由图象可知，当直线ym(x1)与函数f(x)的图象在区间(1,1上有两个不同的公共点时，实数m的取值范围为(0，解法二当x(1,0)时，x1(0,1)，f(x)1，所以f(x)1，所以f(x).取m，方程f(x)x0在区间(1,1上有两个不同的实根x12，x21，排除a、c；取m1，方程f(x)x10在区间(1,1上有且仅有一个实根，排除b，故选d二、填空题7用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_.答案(0,0.5)f(0.25)解析因为f(0)0，f(0.5)0，由二分法原理得一个零点x0(0,0.5)；第二次应计算f()f(0.25)8若f(x)则函数g(x)f(x)x的零点为_. 答案1，1解析求函数g(x)f(x)x的零点，即求f(x)x的根，或解得x1或x1.g(x)的零点为1，1.9在用二分法求方程x22的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是1.4,1.5，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是_.答案7解析设至少需要计算n次，由题意知0.001，即2n100.由2664,27128，知n7.10(2015湖北)函数f(x)2sinxsin(x)x2的零点个数为_.答案2解析f(x)2sinxcosxx2sin2xx2，则函数的零点即为函数ysin2x与函数yx2图象的交点，画图知(图略)，两图象有2个交点，则函数有2个零点三、解答题11已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0(0，)，使f(x0)x0.证明令g(x)f(x)x.g(0)，g()f()，g(0)g()0.又函数g(x)在0，上连续，存在x0(0，)，使g(x0)0，即f(x0)x0.12已知函数f(x)x22x，g(x)(1)求gf(1)的值；(2)若方程gf(x)a0有4个实数根，求实数a的取值范围答案(1)2(2)1，)解析(1)f(1)12213，gf(1)g(3)312.(2)令f(x)t，则原方程化为g(t)a，易知方程f(x)t在t(，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数yg(t)(t1)与ya的图象有2个不同的交点，作出函数yg(t)(t1)的图象，如图所示，由图象可知，当1a时，函数yg(t)(t1)与ya有2个不同的交点，即所求a的取值范围是1，)b组能力提升1(2015湖北浠水实验高中上学期期中)设f(x)1(xa)(xb)(ab)，m，n为yf(x)的两个零点，且mn，则a，b，m，n的大小关系是()aamnbbmabncabmndmnab答案b解析因为函数f(x)1(xa)(xb)的图象开口向下，且f(a)f(b)10，所以在区间a，b上，f(x)0恒成立，所以函数f(x)1(xa)(xb)的两个零点在区间a，b的两侧，即mabn.故选b2函数f(x)lnxxa有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()a(，1b(，1)c1，)d(1，)答案b解析函数f(x)lnxxa的零点，即关于x的方程lnxxa0的实根，将方程lnxxa0化为方程lnxxa，令y1lnx，y2xa，由导数知识可知，直线y2xa与曲线y1lnx相切时有a1，若关于x的方程lnxxa0有两个不同的实根，则实数a的取值范围是(，1)，故选b3(2015邢台摸底考试)已知函数f(x)，则方程2f(x)1的根的个数为()a1b2c3d4答案c解析依题意，由2f(x)1得f(x).当x1时，f(x)121x，x2；当x1时，f(x)x33x2，x33x0.记g(x)x33x，则g(x)3x23，当x1时，g(x)0，当1x1时，g(x)0，g(x)在区间(，1)上是增函数，在区间(1,1)上是减函数，且g(1)，g(1)，因此g(x)在区间(，1)上有2个零点故方程2f(x)1的根的个数为3，选c4若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围.答案(，22分析 代入还原，求出对数(指数)的值(或取值范围)进一步求出未知数的值(或取值范围)解析方法一(换元法)设t2x(t0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根令f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1，t2，则解得1a22；若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)a10，解得a1；若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f(0)0且0，解得a1.综上，a的取值范围是(，22方法二(分离变量法)由方程，解得a，设t2x(t0)，则a(t1)2(t1)，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.思维升华对于“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域来解决，解的个数也可化为函数yf(x)的图象和直线ya交点的个数5已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x0).(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根答案(1)m2e(2)(e22e1，)解析(1)方法一g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则yg(x)m就有零点方法二作出g(x)x(x0)的大致图象如图可知若使yg(x)m有零点，则