（新课标）高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明精品讲义 理（含解析）.doc

第六章不等式、推理与证明第一节 不等关系与不等式基础盘查一两个实数比较大小的方法(一)循纲忆知1了解现实世界和日常生活中的不等关系；2了解不等式(组)的实际背景(二)小题查验判断正误(1)不等关系是通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系就无从体现()(2)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，ab三种关系中的一种()(3)若1，则ab()答案：(1)(2)(3)基础盘查二不等式的基本性质(一)循纲忆知掌握不等式的性质及应用(二)小题查验1判断正误(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小()(3)同向不等式具有可加和可乘性()(4)ab0，cd0()(5)若ab0，则ab答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(人教a版教材习题改编)用不等号“”或“”填空：(1)ab，cdac_bd；(2)ab0，cd0ac_bd；(3)ab0_；(4)ab0_.答案：(1)(2)(3)(4)|(基础送分型考点自主练透)必备知识两个实数比较大小的法则关系法则作差法则作商法则abab01(a，b0)或1(a，b0)abab01(b0)abab01(a，b0)或1(a，b0)题组练透1已知a1，a2(0,1)，记ma1a2，na1a21，则m与n的大小关系是()amncmn d不确定解析：选bmna1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即mn0.m n.2若a，b，则a_b(填“”或“”)解析：易知a，b都是正数，log891，所以ba.答案：3若实数a1，比较a2与的大小解：a2.当a1时，a2；当a1时，a2bbb，bcac.(3)可加性：abacbc.(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd.(6)乘法法则：ab0，cd0acbd.(7)乘方法则：ab0anbn(nn，n2)(8)开方法则：ab0(nn，n2)2不等式的倒数性质(1)ab，ab0.(2)a0bb0,0c.提醒不等式两边同乘数c时，要特别注意“乘数c的符号”典题例析1(2013天津高考)设a，br则“(ab)a20”是“ab0，则下列不等式不成立的是()a.|b|cab2 d.ab0，|b|，ab2，又2a2b，ab，选c.2若a0ba，cd0，则下列结论：adbc；0；acbd；a(dc)b(dc)中成立的个数是()a1 b2c3 d4解析：选c法一：a0b，cd0，ad0，bc0，adbc，故错误a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c)(b)(d)，acbd0，0，故正确cd，cd，ab，a(c)b(d)，acbd，故正确ab，dc0，a(dc)b(dc)，故正确，故选c.法二：取特殊值|(题点多变型考点全面发掘)一题多变典型母题已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)2，2f(1)4.求f(2)的取值范围解f(1)ab，f(1)ab.f(2)4a2b.设m(ab)n(ab)4a2b.则解得f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1)1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10.即f(2)的取值范围为5,10.题点发散1若本例中条件变为：已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范围解：由本例知f(2)f(1)3f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)0a；0ab；a0b；ab0中，能推出成立的有()a1个 b2个c3个 d4个解析：选c成立，即0成立，逐个验证可得，满足题意5若0，则下列结论不正确的是()aa2b2 babb2cab|ab|解析：选dab.a2b2，abb2，abb，则ac2bc2；若ac2bc2，则ab；若ab，则a2cb2c.其中正确命题的序号是_解析：若c0则命题不成立正确中由2c0知成立答案：8若13，4 2，则|的取值范围是_解析：4 2，0|4.4|0.3|3.答案：(3,3)9已知ab0，则与的大小关系是_解析：(ab).ab0，(ab)20，0.答案：10已知存在实数a满足ab2aab，则实数b的取值范围是_解析：ab2aab，a0，当a0时，有b21b，即解得b1；当a0时，有b21b，即无解综上可得b1.答案：(，1)三、解答题11若ab0，cd0，e0.求证：.证明：cd0，cd0.又ab0，acbd0.(ac)2(bd)20.0.又e0，.12某单位组织职工去某地参观学习需包车前往甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠解：设该单位职工有n人(nn*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1xx(n1)xxn，y2nx.所以y1y2xxnnxxnxx.当n5时，y1y2；当n5时，y1y2；当n5时，y1y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠第二节一元二次不等式及其解法基础盘查一元二次不等式(一)循纲忆知1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图(二)小题查验1判断正误(1)不等式ax2x10一定是一元二次不等式()(2)一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集就是二次函数yax2bxc(a0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合()(3)一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集为r时，ax2bxc0恒成立()(4)若一元二次方程ax2bxc0的解是x1，x2，且x1x2，则ax2bxc0的解集为()答案：(1)(2)(3)(4)2不等式组的解集是()a(2,3)b.(2,3)c.(3，) d(，1)(2，)解析：选bx24x30，1x0，(x2)(2x3)0，x2，原不等式组的解集为(2,3)3(人教a版教材例题改编)不等式x22x30的解集为_答案：4已知集合a，集合bxr|(xm)(x2)0，且ab(1，n)，则m_，n_.答案：11|(基础送分型考点自主练透)必备知识设一元二次不等式为ax2bxc0(a0)，其中b24ac，x1，x2是方程ax2bxc0(a0)的两个根且x1x2.(1)当a0时，若0，则不等式的解集为x|xx1，或xx2；若0，则不等式的解集为；若0，则不等式的解集为r.(2)当a0时，若0，则不等式的解集为x|x1xx2；若0，则不等式的解集为；若0，则不等式的解集为.题组练透1已知不等式x22x30的解集为a，不等式x2x60的解集为b，不等式x2axb0的解集为ab，则ab等于()a3b1c1 d3解析：选a由题意得，ax|1x3，bx|3x2，abx|1x2，由根与系数的关系可知，a1，b2，则ab3，故选a.2解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0x2x24；(3)ax2(a1)x10(a0)解：(1)原不等式可化为3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集为.(2)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为.(3)原不等式变为(ax1)(x1)0，因为a0，所以a(x1)0.所以当a1时，解为x1；当a1时，解集为；当0a1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为.类题通法1解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式(2)判：计算对应方程的判别式(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式提醒当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况|(常考常新型考点多角探明)必备知识一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或(2)不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或多角探明一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：(1)形如f(x)0(xr)确定参数的范围；(2)形如f(x)0(xa，b)确定参数范围；(3)形如f(x)0(参数ma，b)确定x的范围.角度一：形如f(x)0(xr)确定参数的范围1已知不等式mx22xm10，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解：不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，12x0，则x，不满足题意；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且方程mx22xm10无解，即不等式组的解集为空集，即m无解综上可知不存在这样的m.角度二：形如f(x)0(xa，b)确定参数范围2设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解：要使f(x)m5在1,3上恒成立，则mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立有以下两种方法：法一：令g(x)m2m6，x1,3当m0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，则0m.当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6.所以m0.综上所述，m的取值范围是.法二：因为x2x120，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可因为m0，所以m的取值范围是.角度三：形如f(x)0(参数ma，b)确定x的范围3对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围解：由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，解得x3.故当x3时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零类题通法恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方|(重点保分型考点师生共研)典题例析甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得利润是100元(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润解：(1)根据题意，2003 000，整理得5x140，即5x214x30，又1x10，可解得3x10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是3,10(2)设利润为y元，则y10091049104，故x6时，ymax457 500元即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元类题通法求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果演练冲关某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成(要求售价不能低于成本价)(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围解：(1)由题意得y10010020(10x)(508x)因为售价不能低于成本价，所以100800，解得x2.所以yf(x)20(10x)(508x)，定义域为0,2(2)由题意得20(10x)(508x)10 260，化简得8x230x130.解得x.所以x的取值范围是.一、选择题1(2014大纲卷)不等式组的解集为()ax|2x1bx|1x0cx|0x1解析：选c解x(x2)0，得x0；解|x|1，得1x1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即解集为x|0x0，即x2时，不等式可化为(x2)24，x4；当x20，即x2时，不等式可化为(x2)24，0x0在区间1,5上有解，则a的取值范围是()a. b.c(1，) d.解析：选a由a280，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0，解得a，故a的取值范围为，二、填空题7不等式|x(x2)|x(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0xzc或zazczb或zbzcza，解得a1或a2.法二：目标函数zyax可化为yaxz，令l0：yax，平移l0，则当l0ab或l0ac时符合题意，故a1或a2.类题通法1求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.提醒注意转化的等价性及几何意义|(重点保分型考点师生共研)典题例析(2013湖北高考)某旅行社租用a，b两种型号的客车安排900名客人旅行，a，b两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且b型车不多于a型车7辆，则租金最少为()a31 200元b36 000元c36 800元d38 400元解析：选c设租用a型车x辆，b型车y辆，目标函数为z1 600x2 400y，则约束条件为作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin 36 800(元)类题通法1解线性规划应用题的步骤(1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案2求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式演练冲关a，b两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品已知a产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；b产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时a产品每件利润300元，b产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是_元解析：设生产a产品x件，b产品y件，则x，y满足约束条件生产利润为z300x400y.画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z300x400y在点a处取得最大值，由方程组解得则zmax 300340021 700.故最大利润是1 700元答案：1 700一、选择题1已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为()a(24,7)b(7,24)c(，7)(24，) d(，24)(7，)解析：选b根据题意知(92a)(1212a)0.即(a7)(a24)0，解得7a24.2(2015临沂检测)若x，y满足约束条件则zxy的最小值是()a3 b0c. d3解析：选a作出不等式组表示的可行域(如图所示的abc的边界及内部)平移直线zxy，易知当直线zxy经过点c(0,3)时，目标函数zxy取得最小值，即zmin 3.3(2015泉州质检)已知o为坐标原点，a(1,2)，点p的坐标(x，y)满足约束条件则z的最大值为()a2 b1c1 d2解析：选d如图作可行域，zx2y，显然在b(0,1)处zmax2.故选d.4设动点p(x，y)在区域：上，过点p任作直线l，设直线l与区域的公共部分为线段ab，则以ab为直径的圆的面积的最大值为()a b2c3 d4解析：选d作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以ab为直径的圆的面积的最大值s24，故选d.5(2015东北三校联考)变量x，y满足约束条件若使zaxy取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是()a3,0 b3，1c0,1 d3,0,1解析：选b作出不等式组所表示的平面区域，如图所示易知直线zaxy与xy2或3xy14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即a1或a3，a1或a3.故选b.6(2014新课标全国卷)设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()a5 b3c5或3 d5或3解析：选b法一：联立方程解得代入xay7中，解得a3或5，当a5时，zxay的最大值是7；当a3时，zxay的最小值是7，故选b.法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解当a5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)图(1)由得交点a(3，2)，则目标函数zx5y过a点时取得最大值zmax35(2)7，不满足题意，排除a，c选项当a3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)图(2)由得交点b(1,2)，则目标函数zx3y过b点时取得最小值zmin1327，满足题意二、填空题7(2014安徽高考)不等式组 表示的平面区域的面积为_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知sabc2(22)4.答案：48(2015重庆一诊)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的最大值为_解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，z3xy，y3xz，当该直线经过点a(2,2)时，z取得最大值，即zmax 3224.答案：49(2013北京高考)设d为不等式组所表示的平面区域，区域d上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点b(1,0)到直线2xy0的距离最小，d，故最小距离为.答案：10(2015通化一模)设x，y满足约束条件若z的最小值为，则a的值为_解析：1，而表示过点(x，y)与(1，1)连线的斜率，易知a0，可作出可行域，由题意知的最小值是，即mina1.答案：1三、解答题11若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围解：(1)作出可行域如图，可求得a(3,4)，b(0,1)，c(1,0)平移初始直线xy0，过a(3,4)取最小值2，过c(1,0)取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a2.故所求a的取值范围为(4,2)12某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润w5x6y3(100xy)2x3y300.(2)约束条件为整理得目标函数为w2x3y300.作出可行域如图所示：初始直线l0：2x3y0，平移初始直线经过点a时，w有最大值由得最优解为a(50,50)，所以wmax550元所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元第四节基本不等式基础盘查一基本不等式、算术平均数与几何平均数的概念(一)循纲忆知1了解基本不等