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生日悖论是个延续了百余年的谬误发展非线性经济学的哲学漫谈商与儒这是我在提议发展我国非线性经济学时，用自己的非线性哲学思维审视精确科学数学的一篇哲学漫谈，我相信诸位很容易判断我的结论是否正确。欢迎各位批评和指正！概率理论是经济学的重要分析工具，它真的是那么科学、那么完美、那么无暇可击吗？我们先来看个例子： 一个袋子里有9个材质、形状、重量都一样的小球，它们分成3组，分别写着1-3的数字。我们随机摸3个小球，问：摸到3个数字相同的小球和摸到3个数字都不同的小球，哪个概率大？显然数字相同的小球只有3个组合：111，222，333；而数字都不同的小球有6个排列（123，132，213，231，312，321），所以答案一定是摸到数字都不同的3个小球的概率大。 现在我们用三种不同的颜色分别代替三个不同的数字，给这些小球上涂上红兰棕三色，每种颜色涂3个小球。我们随机摸3个小球，问：摸到3个颜色相同的小球和3个颜色都不同的小球，哪个概率大？ 颜色相同的3个小球只有三个组合红红红、蓝蓝蓝、棕棕棕；颜色都不同的3个小球有6种不同排列（红蓝棕、红棕蓝、蓝红棕、蓝棕红、棕红蓝、棕蓝红），所以答案一定是摸到颜色都不同的3个小球的概率大。现在我们再在三组颜色相同的小球上分别写上123三个不同的数字：1 1 12 2 23 3 3 于是，如上图所示，9个小球中，颜色相同的小球，数字一定不同；数字相同的小球，颜色一定不同。我们问：随机摸3个小球，概率最小的是哪一种情况时，就形成了一个“悖论”回答“摸到3球颜色相同的概率最小”，那么这3球的数字一定不同（这是同时发生的必然事件，概率为1），摸到3球数字不同的概率一定不是最小；回答“摸到3球数字相同的概率最小”，那么这3球的颜色一定不同，摸到3球颜色不同的概率一定不是最小。概率是门严密精确的数学，怎么会得到如此矛盾的结果呢？我们来分析其中的原因：如上图所示，我们先来研究一下，这里颜色和数字的互相关系。取颜色相同就是取列，颜色相同数字一定不同；取数字相同就是取行，数字相同颜色一定不同，因而颜色和数字在这里的关系是“正交”，也是等价的（转90度就互相转换了）。从哲学角度看，两个正交的特征，本身体现了一种对立与辩证的关系。数学是严格遵守形式逻辑的科学，是以形式逻辑为生命（存在前提）的，因而绝对排斥辩证逻辑。所以在同一个题目里，它只能认定同时出现的两个正交特征中的一个，而将另一个排斥。 我们以“数字”作为标识特征来具体论证上述结论：我们随机摸3个小球，当3个球的数字都不同时，会出现六种排列（123，132，213，231，312，321）；而3个球数字相同时，却只有三个组合 111，222，333 ，不是排列，为什么不排列呢？我们很清楚的知道，这里的3个1（或3个2、3个3）肯定不是同一种球（看颜色就知道，3个1其实是三种不同颜色的小球），完全可以排列，也应该排列，但实际上你就是排列了，也没有用，因为排列后产生的各个项，会因为它们的数字相同而被压缩（同类项合并），原因在于形式逻辑在这里只认数字，数字相同的小球，虽然颜色不同，但无论你如何排列，它们都只是同一个数字，所以被合并（压缩）了！以“颜色”作为标识特征，也能得到相类似的分析结果。这个现象显然与计算概率的理论相悖，根据概率的计算理论，任何一种可能出现的排列或组合，就是一种可能出现的基本事件，在计算概率时，都应该被包括进去，不能因为形式逻辑“识别能力”的局限，遗漏了不该遗漏的基本事件，因为这些排列客观上是存在差异的，并不是同类项！1 2 34 5 67 8 9假定我们如上图所示，给三种颜色的小球分别标上1-9的数字后，我们发现，随机摸3个小球，假定我们按小球的颜色排列组合，只能得到27个基本事件。假定我们按数字排列组合(这次不会有任何遗漏)，我们居然得到了504个基本事件！原来，“正交”特征的被排斥，不仅排斥了同色小球的排列，也排斥了不同色小球的组合！形式逻辑排斥辩证逻辑这就是概率理论在这里出现问题的根本原因！概率理论的问题仅仅于此吗？不是！从哲学角度看，真实世界是模拟和辨证的，是连续结构系统；形式逻辑是人造的，是离散结构，凡是严格遵守形式逻辑的科学，一定是“线性科学”，是离散结构系统，它对真实世界连续结构系统的描述只能是一种“逼近和近似”，在系统的标度、维度、精度、速度、温度等变化时，这种描述的“误差（矛盾）”一定会显现。离散结构（线性系统）与连续结构（真实世界）之间的矛盾，本质上就是形式逻辑与辩证逻辑之间的矛盾、是数字量与模拟量之间的矛盾。用线性系统去逼近和近似的分析真实世界，矛盾是一定会显现的！还是用上面的例子，来具体看看概率理论的线性局限性：一、 维度变化：我们给这些小球增加一个正交的特征，就是增加了维度，上面的分析已经告诉我们，概率理论在维度增加时，就会得出自相矛盾的结论。二、 精度变化：我们给3色的9个小球标上1-9的数字，就是提高了对小球的识别精度。对于同样的9个三色小球，我们随机摸3球，假定要计算3球都为红色的概率，在精度没有提高时，小球只有颜色作为标识，这个概率为 1/27=3.7%。提高精度后（用数字做标识），基本事件变成了504个，这个概率变成1/84=1.19%了！按理我们不改变小球的颜色、仅仅给小球加上数字标识，是不应该改变摸到3球都为红色的概率的，但是概率理论却明明白白的算出来，两者的概率是不同的，而且差异很大（差了3倍！）！这个结论显然与真实世界的真实情况是相悖的。三、 标度的变化：我们扩大3色小球的标度再增加9个同样3色的小球，这次用1-18的数字来标定这18个3色小球，还是随机摸3个小球，基本事件就变成了4896个，3球都为红色的概率变成5/204=2.45%。如果再增加9个同样3色的小球，用1-27的数字来标定这27个小球，还是随机摸3个小球，基本事件变成了 17550个，3球同为红色的概率变成了28/975=2.87%。概率理论在这里用这些不同的数字明确告诉我们，即使3种颜色的小球同比例增加，随机摸3球都为红色的概率是会变化的。可是我们如果不给这些小球标上数字的话，概率理论却会告诉我们，不管可供取样的小球增加多少，只要3种颜色的小球同比例增加，随机摸3球都为红色的概率是不变的，始终是1/27！难道在颜色球上标不标数字会影响摸颜色球时发生的概率吗？显然不会！所以我说，线性理论在维度、精度、标度变化时，它的误差会显现概率理论是线性的，一定有它的局限性。在实际运用概率理论时，人们的线性理解，也会产生错误。譬如生日悖论，就是一个延续了百年以上的谬误！而且至今还在继续误导全世界的下一代！生日悖论是个有名的根据概率理论得出的结论。先把百度百科的相关内容转摘如下：生日悖论是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那幺至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计着名的密码攻击方法：生日攻击。生日悖论是这样描述的：不计特殊的年月，如闰二月。先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么第一个人的生日是 365选365第二个人的生日是 365选364第三个人的生日是 365选363:第n个人的生日是 365选365-(n-1)所以所有人生日都不相同的概率是：(365/365) (364/365) (363/365) (362/365) . (365-n+1/365)那幺，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是：1-(365/365) (364/365) (363/365) (362/365) . (365-n+1/365)所以当n=23的时候，概率为0.507 当n=100的时候，概率为0.9999996 真是不算不知道，一算吓一跳。【理解生日悖论】 理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的。如在前面所提到的例子，23个人可以产生23 22/2 = 253种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的可能。从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议。 于是我开始在网上查，看看有没有人提出过这个论断是错的，结果不但没有找到有人说它错，还看到了这些数据：当：N=50，概率为96.3%，N=60, 概率已经大于99%； N=100，概率为99.99996%; N=200时，居然为0后面29个9！ 我也看到了描述这个结论的曲线N过了60人之后，概率已经大于99%，曲线就像一根渐近线，以几乎平行的方式接近概率等于1的直线，最终在N=366处达到1。还找到Paul Halmos （1916-2006）用数学论证（非数字方法）对这个论断的证明，Halmos还写了这样一段话：“这个推导是基于一些数学系学生必须掌握的重要工具。生日问题曾经是一个绝妙的例子，用来演示纯思维是如何胜过机械计算：一两分钟就可以写出这些不等式，而乘法运算则需要更多时间，并更易出错，无论使用的工具是一只铅笔还是一台老式电脑。计算器不能提供的是理解力，或数学才能，或产生更高级、普适化理论的坚实基础。” 同一篇文章中还有这样的说明：生日悖论普遍的应用于检测哈希函数:N-位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是2N次而是只有2N/2次。这一结论被应用到破解cryptographic hash function的生日攻击中。生日问题所隐含的理论已经在Schnabel 1938名字叫做capture-recapture的统计试验得到应用，来估计湖里鱼的数量。还有不少国外的数学家，用其他一些方法，也得出了生日悖论的结果；甚至还有很多如何用各种程序产生随机数来检验这个悖论正确的例子！我在网上查到的概率学，不管国内外，无一例外将它作为教材；我还查到很多用生日悖论作为直观靠不住的例子的文章和书，很多还是科学家写的书生日悖论难道真的是如此神奇而正确的吗？我用两个办法来检验一下：一个就是，直接计算“发生两个人以上生日相同的概率”，而不是先算发生生日不同的概率，再用1去减。由于每个人只能在365天里的某一天出生，所以每个人的生日取值就是全部生日的1/365。N=1 时，不可能发生生日相同的事件，概率: P=0；N=2 时，“任意两个人生日相同”的概率: P=1/365；N=3;时，设3人为A，B，C； 三个人之间有三个“任意两个人生日相同”的可能（三人及三人以上生日都相同的不是基本事件，被排除）：AB，AC，BC；因为“任意两个人生日相同”的概率为 1/365；所以三人之间发生两两生日相同的概率为3*（1/365）=3/365；N=4 ；A，B，C，DAB，AC，AD；BC，BD；CD这里有六个“任意两人生日相同”的可能，所以P=6/365；N=5； A，B，C，D，EAB，AC，AD，AEBC，BD，BECD，CEDE这里有10个“任意两个人生日相同”的可能，所以P=10/365；显然，这是个等差级数，等差级数求和的公式为 N（N-1）/2（写到这里我们明白了，取样23个人的时候，比对“两人生日相同”的次数有253个，就是这样算出来的：23*(23-1)/2=253; ）则，N个人生日相同的概率P=N*（N-1） /（2*365）但是，当N=20时，有两个人生日相同的概率为 52%，已经超过50%。当N=27时，有两个人生日相同的概率为 96%N=28时，有两个人生日相同的概率为 103%！算到这里显然看出这个公式错了！因为概率是不能大于1 的！但是从逻辑上、计算上看,我们完全遵循了概率理论，这里并没有任何错啊？！问题在哪里呢？我们后面再分析。 我用了第二种方式扩大它的标度。根据题目的设定，我们知道这个生日悖论的结论可以适用于任何标度。假定1年有1000天、10000天、100000天 按生日悖论的算法，我计算出1-1000中，只要随机取38个数，其中两个数相同的概率就达到50%；在1-10000中，只要随机取118个数，其中两个数相同的概率就达到50%；在1-100000中，只要随机取363个数，其中两个数相同的概率就达到50%。 如果计算1-100000个数中，取多少数就能使发生两个相同数的概率超过99.999%, 我估计不会超过5%，将它画成曲线，我们一定会看到这根曲线离开0点后，会很快“直冲云霄”（接近1），这时离开“终点（100000）还有十万八千里！后面的数字却早就全部没有意义了，只有那个100001候补守门员在场外守候，因为最后确定概率为1 非它出场不可！我相信这里一定出问题了！也就是说，我们在365个数字中，只要随机取占总数6.5%个数23个；在1-1000个数中，只要随机取占总数3.8% 的数38个；在1-10000中，只要随机取占总数1.18%个数118个，在1-100000中，只要随机取占总数0.36%个数363个，则取出的这些数中有两个相同数的概率就都达到了50%！如果我们把数字扩大到1亿，我相信这个比例会小于万分之一！在1亿个数里随机的取出不到万分之一的数，却能使这些取出的数里有两个相同数的概率大于50%这绝对是个不符合事实的结论，与之相悖的不是直观，而是事实！因为根据对题目的分析，我们知道，这个被取样的系统，是设定为一个分布最均衡的系统，也就是熵为最大的系统。那就是说，无论你如何取样，无论你取样后如何计算，都不可能改变原系统的熵值，也不应该改变原系统的熵值；同样，无论你怎样取样、取样多少，被取样的群体，也应该是熵为最大的系统、与原系统是一致的。但是生日悖论的结论却等于告诉我们，只要一取样，被取样部分的“熵值”就变小了！而且这个变小与原系统的标度有关，标度越大的系统，被取样部分的熵值越低！这与题目给出的先决条件显然是相悖的。所以从熵的角度，我们很容易得出生日悖论是个谬误的结论！我们还可以这样来考察生日悖论的结论：假定我们对这个熵最大的系统随机取样24人，他们平均分布在12个月的概率应该是最大，也就是平均一个月分布两个人的概率应该是最大的。发生两个人生日相同的前提条件，是两个人在同一个月里出生，不在同一个月出生的人虽然也可以互相比对生日，但是这个比对的结果是确定的概率为0事件（不可能发生的事件），不能列入基本事件。所以23个人虽然有253次比对生日的机会，实际上其中绝大多数是概率为0 的事件，正是由于大量的非基本事件参与了计算，才会得出那么离谱的结论。其实这里的关键，就是一个“序”的问题！大家在理解生日问题的时候，都会把生日问题看成是一个没有“序”的问题，因为我们只关心是否有人生日相同，对哪一天发生生日相同事件、这些生日相同事件是如何排序的、或同一天生日的有几个人等，我们都不必考虑，所以生日问题一直被认为是没有“序”的问题。事实上，生日问题有一个内在严格的“序”！一年的365个生日，就像365个席位，本身是严格排序的，它们之间没有“两两相同”的问题（或者说不存在比对的需要）。我们一旦取样N个人，这N个人每个人占据的席位就是确定的，不会再变动，不是同一个席位的任何人之间，根本就不存在互相比对生日相同的必要（或者说比对生日是否相同的概率是确定的0）。用这样的思路来分析这个问题，我们就很清楚了，在这里根据概率理论将N个人排列组合后再计算生日相同的概率的做法，是错误的！实际上被取样的N个人，并不是围成一群在互相比对生日，而是直奔自己的席位坐下，不同席位的人，根本不存在比对生日的必要（这种比对是确定的概率为0 事件）。实际情况是：取样N个人，只要这N个人中有人坐到了相同的席位上，就发生了生日相同事件，同时，也一定有“空席位”产生，也就是N个人占据了少于N个席位，所以生日问题实际上要研究的，就是被取样的N个人各自坐到自己的席位上以后，占据的席位总数与N是否相同，如果N个人占据的席位数小于N个，就一定发生了生日相同的事件。因此，计算取样N个人发生生日相同事件的概率，关键就是计算N个人应该占据的N个席位中，发生“空席位”的可能是多少。根据这个思路，我做出以下推论：一、N个人最多占据N个席位（N；A不能既等于A又等于alatino Linotype; mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-family: Times New Roman; mso-fareast-font-family: 宋体; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA无穷等于无穷、不等于0、无穷不能既等于0 又不等于0）。同为实数，超越数显然与其他实数有极大的差别，呈现了显著的非线性。我相信它们就是球面数系被强行压平后产生的碎片，或者说，是对数轴（直线）进行模数转换后留下的非线性（高频）碎片但是集合论证明代数数的数量远比超越数少（有人把代数数比喻成由超越数组成的黑暗天空中的星星）。所以我开个玩笑上帝不会创造这么多没有用的超越数吧？我们似乎可以这样比喻：现代数学像个极挑剔的导演，它从数亿万计的大众中，只选了几个完美的明星（譬如自然数），却让它们统治了整个数学舞台。但是我相信随着社会的进步，数学舞台的真正演员应该是“人民大众”的!从哲学角度看，数字计算机的硬件极限是量子计算机，软件极限就是基于线性（精确）数学和形式逻辑（布尔）代数的算法。一旦模拟数学和辩证逻辑代数被创建，计算机将产生一个非线性的飞跃模拟计算机（生物计算机）就能被发明！我认为模拟数学研究的就是连续结构系统，模拟数学用的数系，一定就是那个占据三维空间的球面数系，在这个数系上，数轴上的空隙不存在了，令数学家最头痛的区间、奇点、处处连续却处处不可微、无穷小量与0的矛盾、超越数都不再存在！只是我们的思维也必须有很大的改变，因为人造的“自然数、二进制、十进制、三维空间”都是典型的离散结构系统，我们对它们太熟悉了，甚至已经把它们的“存在”当成了真实、真理、和必然。但是在模拟数学里，它们一定随着离散结构的消失而消失，或者被赋予完全不同的意义！不过，线性数学和线性科学永远不会过时，永远不会被抛弃，因为在人造的平台上（全世界统一的标准、协议譬如计时单位、时差、长度单位、重量单位、温度单位、海平面、经纬度），它们还是非常好用的。就像经典力学永远不会被量子力学和相对论淘汰、欧氏几何永远不会被曲面几何淘汰一样，虽然前者只是后者的一个特例而已！ 数学是忽略事物的内容，只研究事物存在形式中的“数、量、积、形（空间位置、形状）”的学科，因而是高度抽象的，也因此而成为许多学科的工具。数学遵循的是严密的形式逻辑。世界上不存在“只有存在形式、没有存在内容”的东西，所以数学尽管被广泛的应用于实践中，但是数学本身的研究对象，在真实世界里是不存在的，它们都是“抽象”的概念。譬如：点、线、面就是这样的抽象概念。无论是欧几里德的几何原本还是希尔伯特的几何基础，点、线、面的概念，都只作为原始概念或不加证明的公理，事实上我们对这些抽象的概念也确实无法证明或证伪，甚至根本无需证明或证伪。你要学几何学，就必须信它，你若不信它，就无法学几何学（当然你可以自己另外创造一门几何学），因为它们是全部几何学的元点（出发点）。从哲学角度看，形式逻辑的特点是“永不拐弯”，所以它从一个点出发后，永远只能直线式的发展，数学和几何的定理，都是从元点出发后，不断由前面得出的定理出发，去推出后面的定理。因此它可以顺着原路退回来（可逆），却不可能“拐弯”后回到出发点，也是说，它不可能用后面的任何定理，反过来证明自己前面的出发点。所以任何基于形式逻辑的系统，能做到的“自洽”，最多就是“不自相矛盾（相容）”，而不可能做到“完备”，也就是无法只用自己的公理系统，来证明自己系统中所有的定义或命题这就是“哥德尔不完备定理”的哲学本质。用个最通俗的例子来说明上面的意思，那就是：一个人的力气再大，也无法拉住自己的头发，把自己提起来！事实上“形式逻辑”本身，只是一个人造的“思维工具”（这里不展开了，有兴趣的可以查看我另一篇文章非线性哲学浅说）。它是个线性的工具，因而只用形式逻辑来建造的所有思维工具（各类学科），都是线性的思维工具。但真实世界是非线性的，人类很快在实践中发现了真实世界的非线性本质和线性工具的局限性，光的波粒二象性的发现、测不准定律和不完备定律的被承认，都标志着人类看到了真实世界是非线性的（不是线性确定的）；而量子力学（我认为它只是“半非线性科学”，因为它用重整化的办法，把非线性的矛盾（发散的项）扔到一个更大的系统去处理，从而使自己在研究的系统能够用线性方式处理）、相对论、混沌、分形、孤立子、自组织（耗散结构）等理论的创立，都是人类开始创建非线性思维工具的现实例子。写到这里，再来分析经济学的线性局限问题，就很容易了。我要强调的是两点：第一、经济学的线性特征，除了因为它用于分析的数学本身是线性的，还在于它的研究方式也是线性的，经济学在建立每一个理论时，都必须忽略或设定一些条件，这些被忽略或设定的条件，实际上在建立该理论时，都在发生变化，都在时时刻刻影响着哪些被研究的项，就像用经典力学分析“天体的三体运动”一样，三体之间的关系是耦合，不是线性的叠加，所以这些理论，都是“排除了非线性因素”后的线性定律！他们与真实世界只是“逼近和近似”，是很难真正吻合的！第二、数学的研究对象是忽略了被研究事物的内容后，只研究事物存在形式中的数、量、积、形，研究的对象是最“抽象的、精确的”，可以完全人为设定的，数学遵循的是严格的形式逻辑，完全排斥了辩证逻辑，因为数学成为了“最精确、最抽象”的学科，并成为一切学科的工具。自然科学的研究对象是精确界定的物，切断了