（全国通用）高考数学 专项强化训练(三).doc

专项强化训练(三)数列的综合应用一、选择题1.设an,bn分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是()a.a2b2b.a3b5d.a6b6【解析】选a.设an的公差为d,bn的公比为q,由题可得d=-1,q=322,于是a2=3b2=232,故选a.【加固训练】若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则(a1+a2)2b1b2的取值范围是.【解析】由等差数列与等比数列的性质得a1+a2=x+y,b1b2=xy,所以(a1+a2)2b1b2=(x+y)2xy=2+xy+yx.当x,y同号时,xy+yx2;当x,y异号时,yx+xy-2.所以(a1+a2)2b1b2的取值范围为(-,04,+).答案:(-,04,+)2.已知数列an,bn满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于()a.24b.32c.48d.64【解析】选d.依题意有anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1.两式相除得an+2an=2,所以a1,a3,a5,成等比数列,a2,a4,a6,也成等比数列.而a1=1,a2=2,所以a10=224=32,a11=125=32.又因为an+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.3.设an(nn*)是等差数列,sn是其前n项的和,且s5s8,则下列结论错误的是()a.ds5d.s6与s7均为sn的最大值【解析】选c.因为an是等差数列,所以sn=d2n2+a1-d2n.因为s5s8,所以sn关于n的二次函数开口向下,对称轴为n=6.5,所以d0,s6与s7均为sn的最大值,s90,把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为()a.an=n(n-1)2,nn*b.an=n(n-1),nn*c.an=n-1,nn*d.an=2n-2,nn*【解析】选c.当x0时,g(x)=f(x)-x=2x-1-x是减函数,只有一个零点a1=0;当x0时,若x=n,nn*,则f(n)=f(n-1)+1=f(0)+n=n;若x不是整数,则f(x)=f(x-1)+1=f(x-x-1)+x+1,其中x代表x的整数部分,由f(x)=x得f(x-x-1)=x-x-1,其中-1x-x-10,y0),已知数列an满足:an=f(n,2)f(2,n)(nn*),若对任意正整数n,都有anak(kn*)成立,则ak的值为()a.89b.2c.1d.4【解析】选a.an=2nn2,an+1an=2n+1(n+1)22nn2=2n2(n+1)2,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2(n+1)2,即当n3时,an+1an,故数列an中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=89,故ak的值为89.5.甲、乙两间工厂的月产值在2012年1月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小,则有()a.甲的产值小于乙的产值b.甲的产值等于乙的产值c.甲的产值大于乙的产值d.不能确定【解析】选c.设甲各个月份的产值构成数列an,乙各个月份的产值构成数列bn,则数列an为等差数列,数列bn为等比数列,且a1=b1,a11=b11,故a6=a1+a112a1a11=b1b11=b62=b6,由于在等差数列an中的公差不等于0,故a1a11,上面的等号不能成立,故a6b6,即6月份甲的产值大于乙的产值.【方法技巧】建模解数列问题(1)分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系.(2)构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题.(3)通过建立的关系求出相关量.【加固训练】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()a.1和20b.9和10c.9和11d.10和11【解析】选d.设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示)则各个树坑到第i个树坑的距离的和是s=10(i-1)+10(i-2)+10(i-i)+10(i+1)-i+10(20-i)=10(i-1+1)(i-1)2+(1+20-i)(20-i)2=10(i2-21i+210).所以当i=10或11时,s有最小值.二、填空题6.对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列ann+1的前n项和是.【解析】y=xn(1-x)=xn-xn+1,导数为y=nxn-1-(n+1)xn,所以曲线在x=2处的切线斜率为k=n2n-1-(n+1)2n=-(n+2)2n-1,切点为(2,-2n),所以切线方程为y+2n=-(n+2)2n-1(x-2),令x=0得,y+2n=(n+2)2n,即y=(n+1)2n,所以an=(n+1)2n,所以ann+1=2n,数列ann+1是以2为首项,2为公比的等比数列,所以其前n项和sn=2(1-2n)1-2=2n+1-2.答案:2n+1-27.(2015昆明模拟)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(ba)以及实数x(0xa,b-a0,所以x2=1-x,即x2+x-1=0,解得x=-152.因为0x1,所以最佳乐观系数x的值等于-1+52.答案:5-128.数列an的前n项和为sn,若数列an的各项按如下规律排列:12,13,23,14,24,34,15,25,35,45,1n,2n,n-1n,有如下运算和结论:a24=38;数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,是等比数列;数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,的前n项和为tn=n2+n4;若存在正整数k,使sk10,sk+110,则ak=57.其中正确的结论有.(将你认为正确的结论的序号都填上)【解析】依题意,将数列an中的项依次按分母相同的项分成一组,第n组中的数的规律是:第n组中的数共有n个,并且每个数的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n组中的各数和等于1+2+3+nn+1=n2,对于,注意到21=6(6+1)2240,即b2b1,当n2时,bn+1-bn0,即bn+1bn,又b1=32,b2=2,b3=158,b4=32,b5=3532.要使集合m=n|bn,nn*恰有4个元素,须353232.所以,所求实数的取值范围是35325时,bn0.从而当n5时,有tn=|b1|+|bn|=-(b1+bn)=n(9-n)2.当n5时,有tn=|b1|+|b2|+|bn|=-b1-b2-b3-b4-b5+b6+bn=(b1+b2+bn)-2(b1+b2+b3+b4+b5)=n(n-9)2+20.综上所述,tn=n(9-n)2,n5,n(n-9)2+20,n5.【加固训练】已知等差数列an前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式.(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列|an|的前n项和.【解析】(1)设等差数列的公差为d,根据a1+a2+a3=-3可得a2=-1,进而得a1a3=-8,即(a2-d)(a2+d)=-8,所以1-d2=-8,解得d=3.当d=3时,a1+3=-1,得a1=-4,此时an=-4+(n-1)3=3n-7;当d=-3时,a1-3=-1,得a1=2,此时an=2+(n-1)(-3)=-3n+5.所以an的通项公式为an=3n-7或an=-3n+5.(2)d=3时,a2=-1,a3=2,a1=-4,此时a2,a3,a1成等比数列;当d=-3时,a2=-1,a3=-4,a1=2,此时a2,a3,a1不是等比数列,故an=3n-7,这个数列的第一、二两项为负值,从第三项开始为正值.方法一:当n2时,|an|=7-3n,这是一个首项为4,公差为-3的等差数列,故sn=4n+n(n-1)2(-3)=-3n22+11n2;当n2时,|an|=an=3n-7,此时这个数列从第三项起是一个公差为3的等差数列,故sn=|a1|+|a2|+a3+a4+an=(4+1)+2+5+(3n-7)=5+(n-2)2+(3n-7)2=3n22-11n2+10.所以sn=-3n22+11n2,n2,3n22-11n2+10,n2,这个式子中n=2时两段函数值相等,故可以写为sn=4,n=1,3n22-11n2+10,n2,方法二:设数列an的前n项和为tn,则tn=n(-4+3n-7)2=3n22-11n2.由于n2时,|an|=-an,所以此时sn=-tn=-3n22+11n2;当n2时,sn=(-a1-a2)+(a3+a4+an)=-t2+(tn-t2)=tn-2t2=3n22-11n2+10.所以sn=-3n22+11n2,n2,3n22-11n2+10,n2,这个式子中n=2时两段函数值相等,故可以写为sn=4,n=1,3n22-11n2+10,n2.11.已知数列an中,a1=1,且点p(an,an+1)(nn*)在直线x-y+1=0上.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=1an,sn表示数列bn的前n项和.试问:是否存在关于n的整式g(n),使得s1+s2+s3+sn-1=(sn-1)g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.【解题提示】(1)由条件寻找an与an+1的关系,转化为特殊数列,求an.(2)利用函数与方程思想,探求g(n).【解析】(1)把p点代入直线x-y+1=0得:an+1-an=1,所以an是公差为1的等差数列,又a1=1,因此可得:an=n(nn*).(2)因为bn=1n,所以sn=11+12+13+1n.有s1+s2+s3+sn-1=(n-1)11+(n-2)12+(n-3)13+n-(n-1)1n-1=n11+12+13+1n-1-(1+1+1+1)n-1个1=n11+12+13+1n-1-n+1=n11+12+13+1n-1-1+1n=n(sn-1).当n2,nn*时,g(n)存在,且g(n)=n.【加固训练】已知数列an的前n项和为sn,对一切正整数n,点pn(n,sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点pn(n,sn)的切线的斜率为kn.(1)求数列an的通项公式.(2)设q=x|x=kn,nn*,r=x|x=2an,nn*,等差数列cn的任一项cnqr,其中c1是qr中的最小数,110c10115,求cn的通项公式.【解析】(1)因为点pn(n,sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,所以sn=n2+2n(nn*).当n2时,an=sn-sn-1=2n+1,当n=1时,a1=s1=3满足上式,所以数列an的通项公式为an=2n+1.(2)因为q=x|x=2n+2,nn*,r=x|x=4n+2,nn*,所以qr=r.又因为cnqr,其中c1是qr中的最小数,所以c1=6,因为cn的公差是4的倍数,所以c10=4m+6(mn*).又因为110c10115,所以1104m+62n-12.【解题提示】(1)先利用an=sn-sn-1(n2)把sn与an的关系式转化为an与an-1的关系式,判断数列的性质,求其通项公式.(2)根据(1),求出数列bn的前三项,利用b22=b1b3列出方程即可求得a的值.(3)先求出数列cn的通项公式,根据所求证问题将其放缩,然后利用数列求和公式证明.【解析】(1)当n=1时,s1=a(s1-a1+1),得a1=a.当n2时,sn=a(sn-an+1),sn-1=a(sn-1-an-1+1),两式相减,得an=aan-1,又a0,所以an0,则anan-1=a.即an是等比数列,所以an=aan-1=an.(2)由(1)及a1知bn=(an)2+a(an-1)a-1an,bn=(2a-1)a2n-aana-1,若bn为等比数列,则有b22=b1b3,而b1=2a2,b2=a3(2a+1),b3=a4(2a2+a+1),故a3(2a+1)2=2a2a4(2a2+a+1),解得a=12,再将a=12代入bn,得bn=12n,结论成立,所以a=12.(3)由(2)知an=12n,所以cn=112n+1-112n+1-1=2n2n+1+2n+12n+1-1=2-12n+1+12n+1-1.所以cn2-12n+12n+1.tn=c1+c2+cn2-12+122+2-122+123+2-12n+12n+1=2n-12+12n+12n-12.结论成立.【加固训练】已知等差数列an的公差为2,其前n项和sn=pn2+2n(nn*).(1)求p的值及an.(2)若bn=2(2n-1)an,记数列bn的前n项和为tn,求使tn910成立的最小正整数n的值.【解题提示】【解析】(1)方法一:因为an是公差为2的等差数列,所以sn=na1+n(n-1)2d=na1+n(n-1)22=n2+(a1-1)n.又由已知sn=pn2+2n,所以p=1,a1-1=2,所以a1=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.方法二:由已知a1=s1=p+2,s2=4p+4,即a1+a2=4p+4,所以a2=3p+2.又此等差数列的公差为2,所以a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,所以a1=p+2=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.方法三:由已知a1=s1=p+2,所以当n2时,an=sn-sn-1=pn2+2n-p(n-1)2+2(n-1)=2pn-p+2,所以a2=3p+2,由已知a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,所以a1=p+2=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.(2)由(1)知bn=2(2n-1)(2n+1)=12n-1-12n+1,所以tn=b1+b2+b3+bn=11-13+13-15+15-17+12n-1-12n+1=1-12n+1=2n2n+1.因为tn910,所以2n2n+1910,所以20n18n+9,即n92,又nn*,所以使tn910成立的最小正整数n=5.13.(2015重庆模拟)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学,该商场向他提供了三种付酬方案:第一种,每天支付38元;第二种,第一天付4元,第二天付8元,第三天付12元,依此类推;第三种,第一天付0.4元,以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍,工作时间为n天.(1)工作n天,记三种付酬方式薪酬总金额依次为an,bn,cn,写出an,bn,cn关于n的表达式.(2)如果n=10,你会选择哪种方式领取报酬?【解析】(1)设三种付酬方式每天金额依次