相似三角形常辅助线PPT课件.ppt

相似三角形中的辅助线 淮北市开渠中学王毅 1 相似三角形中的辅助线在添加辅助线时 所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形 或得到成比例的线段或得出等角 等边 从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系 主要的辅助线有以下几种 2 例题 如图 D是 ABC的BC边上的点 BD DC 2 1 求 BE EF的值 D A B C E F E是AD的中点 连结BE并延长交AC于F 一 作平行线 3 D A B C E F n 2k k 解法1 过点D作CA的平行线交BF于点P P y y n y 4 D A B C E F n 解法1 过点D作CA的平行线交BF于点P P n 2k k y y 4y y BE EF 5 1 则 PE EF BP 2PF 4EF 所以BE 5EF 5 D A B C E F n n 2k 解法2 过点D作BF的平行线交AC于点Q y k Q y 2y 6 D A B C E F n n 解法2 过点D作BF的平行线交AC于点Q Q 2k k y 2y 5y y BE EF 5 1 7 D A B C E F 2k 解法3 过点E作BC的平行线交AC于点S S n n k k 8 D A B C E F 解法3 过点E作BC的平行线交AC于点S S n n y 5y y 2k k 9 D A B C E F n n 2k 解法4 过点E作AC的平行线交BC于点T T 10 D A B C E F n n 2k 解法4 过点E作AC的平行线交BC于点T T y y 5y BD 2DC BE EF 5 1 11 练习 如图 D是 ABC的BC边上的点 BD DC 2 1 求AF CF的值 D A B C E F E是AD的中点 连结BE并延长交AC于F 12 D A B C E F 解法1 过点D作CA的平行线交BF于点P P n n 2x 2x 2k k 3x AF CF 2 3 13 D A B C E F 解法2 过点D作BF的平行线交AC于点Q Q n n 2x 2x 2k k x AF CF 2 3 14 D A B C E F 解法3 过点E作BC的平行线交AC于点S S n n h 2h 4h y 5y 4y AF CF 2 3 15 D A B C E F 解法4 过点E作AC的平行线交BC于点T T n n h h 4h 5y 6y 4y AF CF 2 3 16 作平行线 例1 如图 的AB边和AC边上各取一点D和E 且使AD AE DE延长线与BC延长线相交于F 求证 证明 过点C作CG FD交AB于G小结 本题关键在于AD AE这个条件怎样使用 由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法 相似 成比例 17 例2 如图 ABC中 AB AC 在AB AC上分别截取BD CE DE BC的延长线相交于点F 证明 AB DF AC EF 分析 证明等积式问题常常化为比例式 再通过相似三角形对应边成比例来证明 不相似 因而要通过两组三角形相似 运用中间比代换得到 为构造相似三角形 需添加平行线 18 方法一 过E作EM AB 交BC于点M 则 EMC ABC 两角对应相等 两三角形相似 19 20 方法二 如图 过D作DN EC交BC于N 21 22 1 在 ABC中 D为AC上的一点 E为CB延长线上的一点 BE AD DE交AB于F 求证 EF BC AC DF 23 1 证明 过D作DG BC交AB于G 则 DFG和 EFB相似 BE AD 由DG BC可得 ADG和 ACB相似 由 得 EF BC AC DF 24 1 已知点D是BC的中点 过D点的直线交AC于E 交BA的延长线于F 求证 利用比例式够造平行线 通过中间比得结论 构造平行线 利用中点 倍长中线 的思想平移线段EC 使得所得四条线段分别构成两个三角形 25 已知 在等腰三角形ABC中 AB AC BD是高 求证 BC2 2AC CD 本题的重点在于如何解决 2 倍的问题 让它归属一条线段 找到这一线段2倍是哪一线段 26 已知 从直角三角形ABC的直角顶点A向斜边BC引垂线 垂足为D 边AC的中点为E 直线ED与边AB的延长线交于F 求证 AB AC DF AF F 利用前两题的思想方法 借助中点构造中位线 利用平行与2倍关系的结论 证明所得结论 找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似 27 1 如图 ABC中 AD是BC边上中线 E是AC上一点 连接ED且交AB的延长线于F点 求证 AE EC AF BF 注意观察图形的特殊性 有些像全等中 旋转的基本图形 因此可以没有相互关系的成比例的四条线段转化为成比例的四条线段 通过全等找相等的线段 关键是要把成比例线段放在两个三角形中 练习 28 2 如图 平行四边形ABCD中 E为AB边中点 点F在AD边上 且AF FD 1 2 EF交AC于G 求的值 29 2020 1 9 30 构造线段相等转化比例式 1 在 ABC中 AB AC AD是中线 P是AD上一点 过C作CF AB 延长BP交AC于E 交CF于F 求证 BP2 PE PF 在同一直线上的三条线段成比例 可以通过中间比转化 也可以通过线段相等 把共线的线段转化为两个三角形中的线段 通过相似证明 另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系 有利于证明 31 1 如图 梯形ABCD中 AD BC AC BD交于O点 BA CD的延长线交于E点 连结EO并延长分别交AD BC于N M求证 BM CM 证线段相等的又一方法 32 1 如图 AD是 BAC的平分线 EF是AD的垂直平分线 求证 ED2 EB EC 练习 33 2 如图 在矩形ABCD中 E是AD的中点 EF EC交AB于F 连接FC AB AE 求证 AEF ECF 34 2 已知 在 ABC中 若AB BC B 90 AD为BC边的中线 过B作直线BP AD于P交AC于E 求证 AE 2EC AEB CED 35 二 作垂线 3 如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF 垂足分别为E F 求证 36 证明 过B作BM AC于M 过D作DN AC于N 1 2 又 AN CM 又 1 2 37 2 中 AC BC P是AB上一点 Q是PC上一点 不是中点 MN过Q且MN CP 交AC BC于M N 求证 38 2 证明 过P作PE AC于E PF CB于F 则CEPF为矩形 PF EC EC PF 1 在 和 中 CP MN于Q 又 即 由 1 2 得 2 39 三 作延长线 例5 如图 在梯形ABCD中 AD BC 若 BCD的平分线CH AB于点H BH 3AH 且四边形AHCD的面积为21 求 HBC的面积 分析 因为问题涉及四边形AHCD 所以可构造相似三角形 把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决 40 解 延长BA CD交于点P CH AB CD平分 BCD CB CP 且BH PH BH 3AH PA AB 1 2 PA PB 1 3 AD BC PAD PBC 41 例6 如图 RtABC中 CD为斜边AB上的高 E为CD的中点 AE的延长线交BC于F FGAB于G 求证 FG CFBF 42 解析 欲证式即由 三点定形 BFG与 CFG会相似吗 显然不可能 因为 BFG为Rt 但由E为CD的中点 可设法构造一个与 BFG相似的三角形来求解 不妨延长GF与AC的延长线交于H 则 又ED EC FG FH又易证Rt CFH Rt GFB FG FH CF BF FG FH FG2 CF BF 43 四 作中线 例7如图 中 AB AC AE BC于E D在AC边上 若BD DC EC 1 求AC 44 解 取BC的中点M 连AM AB AC AM CM 1 C又BD DC 又DC 1MC BC 1 又 又 EC 1 由 1 2 得 2 小结 利用等腰三角形有公共底角 则这两个三角形相似 取BC中点M 构造 与 相似是解题关键 4