（浙江专版）2018高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第6节 空间向量及其运算教师用书.doc

第六节空间向量及其运算1空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，其中，a，b，c叫做空间的一个基底3两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律：结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，r)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角cosa，b(a0，b0)1(思考辨析)判断下列结合的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(2)对任意两个空间向量a，b，若ab0，则ab.()(3)若ab0，则a，b是钝角()(4)若a，b，c，d是空间任意四点，则有0.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)如图761所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为a1c1与b1d1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()图761aabcb.abccabcd.abca()c(ba)abc.3o为空间任意一点，若，则a，b，c，p四点()a一定不共面b一定共面c不一定共面d无法判断b由1知，a，b，c，p四点共面4已知向量a(1,0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()a(1,1,0)b(1，1,0)c(0，1,1)d(1,0,1)b各选项给出的向量的模都是，|a|.对于选项a，设b(1,1,0)，则cos a，b.因为0a，b180，所以a，b120.对于选项b，设b(1，1,0)，则cos a，b.因为0a，b180，所以a，b60，正确对于选项c，设b(0，1,1)，则cos a，b.因为0a，b180，所以a，b120.对于选项d，设b(1,0,1)，则cos a，b1.因为0a，b180，所以a，b180.故选b.5已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，则(ab)(ab)的值为_. 【导学号：51062241】13(ab)(ab)a2b242(2)2(4)262(3)22213.空间向量的线性运算如图762所示，在空间几何体abcda1b1c1d1中，各面为平行四边形，设a，b，c，m，n，p分别是aa1，bc，c1d1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：图762(1)；(2).解(1)因为p是c1d1的中点，所以aacacb.6分(2)因为m是aa1的中点，所以aabc.9分因为n是bc的中点，则ca，12分所以abc.15分规律方法1.(1)选择不共面的三个向量作为基向量，这是利用空间向量基本定理求解立体几何问题的前提(2)用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算2首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则变式训练1如图763所示，已知空间四边形oabc，其对角线为ob，ac，m，n分别为oa，bc的中点，点g在线段mn上，且2，若xyz，则xyz_. 【导学号：51062242】图763连接on，设a，b，c，则()bca，aabc.又xyz，所以x，y，z，因此xyz.共线向量与共面向量定理的应用(1)(2017宁波中学模拟)已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，且a与b反向，则_.(2)如图764所示，已知斜三棱柱abca1b1c1，点m，n分别在ac1和bc上，且满足k，k(0k1)向量是否与向量，共面？直线mn是否与平面abb1a1平行？图764(1)ab，且a与b反向，(6,21,2)k(1,0,2)，k0.解得或当2，时，k2不合题意，舍去当3，时，a与b反向因此3.(2)因为k，k.所以kkk()k()kkk()(1k)k，所以由共面向量定理知向量与向量，共面.7分当k0时，点m，a重合，点n，b重合，mn在平面abb1a1内；当0k1时，mn不在平面abb1a1内，又由知与，共面，所以mn平面abb1a1.15分规律方法1.判定空间三点共线，要结合已知向量从三点中提炼两个共点向量，利用共线向量定理判断，但一定要说明两线有公共点2证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明p，a，b，c四点共面，只要能证明xy，或对空间任一点o，有xy，或xyz(xyz1)变式训练2已知a，b，c三点不共线，对平面abc外的任一点o，若点m满足()(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点m是否在平面abc内解(1)由已知3，()().2分即，共面.7分(2)由(1)知，共面且过同一点m.四点m，a，b，c共面，从而点m在平面abc内.15分空间向量数量积及其应用如图765所示，已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a，点m，n分别是ab，cd的中点(1)求证：mnab，mncd；(2)求异面直线an与cm所成角的余弦值图765解(1)证明：设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.4分，即mnab.同理可证mncd.7分(2)设向量与的夹角为.()(qr)，qp，(qr).12分又|a，|cos aacos .cos .向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线an与cm所成角的余弦值为.15分规律方法1.空间向量数量积计算的两种方法(1)基向量法：ab|a|b|cosa，b(2)坐标法：设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则abx1x2y1y2z1z2.2利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题(1)abab0.(2)|a|.(3)cosa，b.变式训练3如图766，在平行六面体abcda1b1c1d1中，以顶点a为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.图766(1)求ac1的长；(2)求ac与bd1夹角的余弦值解(1)设a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.3分|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|，即ac1的长为.7分(2)bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1.10分cos，.ac与bd1夹角的余弦值为.15分思想与方法1利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础2利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题3用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解易错与防范1在利用xy(*)证明mn平面abc时，必须说明m点或n点不在平面abc内(因为(*)式只表示与，共面)2向量的数量积满足交换律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但(ab)ca(bc)不一定成立3求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化课时分层训练(四十一)空间向量及其运算a组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1在空间直角坐标系中，a(1,2,3)，b(2，1,6)，c(3,2,1)，d(4,3,0)，则直线ab与cd的位置关系是()a垂直b平行c异面d相交但不垂直b由题意得，(3，3,3)，(1,1，1)，3，与共线，又与没有公共点abcd.2已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为() 【导学号：51062243】a2bc.d2d由题意知a(ab)0，即a2ab0，所以1470，解得2.3空间四边形abcd的各边和对角线均相等，e是bc的中点，那么()a.d.与的大小不能比较c取bd的中点f，连接ef，则ef綊cd.因为aebc，90.所以0，.4已知空间四边形abcd的每条边和对角线的长都等于a，点e，f分别是bc，ad的中点，则的值为()aa2b.a2c.a2d.a2c如图，设a，b，c，则|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60.(ab)，c，(ab)c(acbc)(a2cos 60a2cos 60)a2.5如图767，在大小为45的二面角aefd中，四边形abfe，cdef都是边长为1的正方形，则b，d两点间的距离是()图767a.b.c1d.d，|2|2|2|22221113，故|.二、填空题6已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则_.9由题意知cxayb，即(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，解得9.7正四面体abcd的棱长为2，e，f分别为bc，ad中点，则ef的长为_. 【导学号：51062244】|2()22()1222122(12cos 120021cos 120)2，|，ef的长为.8已知o(0,0,0)，a(1,2,3)，b(2,1,2)，p(1,1,2)，点q在直线op上运动，当取最小值时，点q的坐标是_由题意，设，即(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062，当时有最小值，此时q点坐标为.三、解答题9已知空间中三点a(2,0,2)，b(1,1,2)，c(3,0,4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值. 【导学号：51062245】解(1)c，(3,0,4)(1,1,2)(2，1,2)，cmm(2，1,2)(2m，m,2m)，3分|c|3|m|3，m1.c(2，1,2)或(2,1，2).6分(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)ab(1,1,0)(1,0,2)1.9分又|a|，|b|，cosa，b，故向量a与向量b的夹角的余弦值为.15分10(2017舟山模拟)已知空间三点a(0,2,3)，b(2,1,6)，c(1，1,5)(1)求以，为边的平行四边形的面积；(2)若|a|，且a分别与，垂直，求向量a的坐标解(1)由题意可得：(2，1,3)，(1，3,2)，所以cos，.3分所以sin，所以以，为边的平行四边形的面积为s2|sin，147.6分(2)设a(x，y，z)，由题意得解得或所以向量a的坐标为(1,1,1)或(1，1，1).15分b组能力提升(建议用时：15分钟)1a，b，c，d是空间不共面的四点，且满足0，0，0，m为bc中点，则amd是()a钝角三角形b锐角三角形c直角三角形d不确定cm为bc中点，()，()0.amad，amd为直角三角形2已知2ab(0，5,10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为_60由题意得，(2ab)c0102010.即2a