高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 2.1 比较法自主训练 新人教A版选修4-5.doc

2.1 比较法自主广场我夯基我达标1.下列关系中对任意ab0的实数都成立的是 （ ）a.a2b2 b.lgb21 d.()()思路解析:ab-b0.(-a)2(-b)20,即a2b20.1.又lgb2-lga2=lglg1=0.lgb20且a1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是（ ）a.pq b.pqc.p=q d.大小不确定思路解析:p-q=loga(a3+1)-loga(a2+1)=loga.当0a1时,0a3+1a2+1,00.即p-q0,pq.当a1时,a3+1a2+10, 1,loga0.即p-q0,pq.答案:a3.a,b都是正数,p=,q=,则p,q的大小关系是（ ）a.pq b.p0,q0.p2-q2=()2-()2=0.p2-q20.pq.答案:d4.已知0x1,a=,b=1+x,c=,则其中最大的是（ ）a.a b.b c.c d.不能确定思路解析:因为0x0,b0,c0,又a2-b2=()2-(1+x)2=-(1-x)20,所以a2-b20,a0,所以cb,所以cba.答案:c5.已知a,b,c,d正实数且,则（ ）a. b.c. d.以上均可能思路解析:因为-.又因为a,b,c,d正实数且，所以,0.所以.又因为0,所以.答案:a6.若-1ab,a2b2,故只需比较与b2的大小.因为b20, 0,bc0,求证:a2ab2bc2cab+cba+cca+b.证明:由abc0,得ab+cbc+aca+b0.作商=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=()a-b()a-c()b-c.由abc0,得a-b0,a-c0,b-c0,且1,1,1.()a-b()a-c()b-c1.a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.9.已知x0,x1,mn0,比较:xm+与xn+的大小.解:xm+-(xn+)=xm-xn+-=xm-xn+=(xm-xn)(1-).当0xn0,知xmxn且xm+n1,则有1-0.当x1时,由mn0,知xmxn且xm+n1,则有1-0.所以(xm-xn)(1-)0.综上所述:xm+xn+.我综合我发展10.已知ar,br,且ab,在a2+3ab2b2;a5+b5a3b2+a2b3;a2+b22(a-b-1);+2.四个式子中恒成立的有（ ）a.4个 b.3个 c.2个 d.1个思路解析:举反例很容易排除,对利用作差法a5+b5-a3b2-a2b3=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),因为(a-b)20,a2+ab+b20,而a+b的符号是不确定的,故差值符号不能确定,因此不正确.对于a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)20，故a2+b22(a-b+1),故正确.综合以上分析,只有正确.答案:d11.已知x=,y=a-b,其中a,b均为正数,tr,则下列结论成立的是（ ）a.当ab时,xy b.当ab时,xyc.xy d.xy.思路解析:x-y=-a+b-=(b2-a2+at-bt)=(b-a),故当ab时,xy.答案:a12.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0x1x2,当x(0,x1)时,求证:xf(x)x1.证明:令f(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+c.由x1,x2是方程f(x)-x=0的两根,则f(x)=a(x-x1)(x-x2).又x(0,x1),由0x1x20,f(x)=a(x-x1)(x-x2)0,f(x)-x0,f(x)x.又x1-f(x)=x1-x+f(x)=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=a(x1-x)+x-x2,又0x1x20,+x-x20.x1-f(x)0,x1f(x).故xf(x)|loga(1+tanx)|,其中a0,a1,x(0,).证明:由x(0,),tanx(0,1).1-tanx(0,1),1+tanx(1,2).|loga(1-tanx)|0,|loga(1+tanx)|0,=|log(1+tanx)(1-tanx)|=-log(1+tanx)(1-tanx)=log(1+tanx)=log(1+tanx)=1+log(1+tanx).1+tanx1,01-tan2x1.1+log(1+tanx)1.|loga(1-tanx)|loga(1+tanx)|.14.设函数f(x)=-ax,其中a0.若函数f(x)在0,+)上是单调函数,求a的取值范围.解:设取x1,x20,+),且x1x2,f(x1)-f(x2)=-a(x1-x2)=-a(x1-x2)=(x1-x2)(-a).(1)当a1时,由f(x2),所以,当a1时,函数f(x)在区间0,+)上是单调递减函数.(2)当0a1时,在区间0,+)上存在两点x1=0,x2=,满足f(x1)=f(x2)=1,从而f(x)在0,+)不是单调函数.所求a的取值范围是a1,+).15.已知数列an是等差数列,其前n项和为sn,a3=7,s4=24.(1)求数列an的通项公式;(2)设p,q是正整数,且pq,求证:sp+q(s2p+s2q).(1)解:设等差数列an的公差是d,依题意,得解得a1=3,d=2.数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n+1.(