用频率作为概率的估计值

布丰投针试验 1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法随机投针法，即著名的布丰投针问题.这一方法的步骤是：1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线.2) 取一根长度为l（ld） 的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m3）计算针与直线相交的概率 18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为d的平行线，将一根长度为l（ld）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率.”布丰本人证明了，这个概率是p=2l/(d) 为圆周率 利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值.下面是一些资料实验者 年代 投掷次数 相交次数 圆周率估计值沃尔夫 1850 5000 2531 3.1596史密斯 1855 3204 1219 3.1554德摩根 1680 600 383 3.137福克斯 1884 1030 489 3.1595拉泽里尼 1901 3408 1808 3.1415929赖纳 1925 2520 859 3.1795 布丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学问题，为概率论的发展起到一定的推动作用.像投针实验一样，用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量，这样的方法称为蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）.蒙特卡罗方法是在第二次世界大战期间随着计算机的诞生而兴起和发展起来的.这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用. 法国数学家布丰（1707-1788）最早设计了投针试验.并于1777年给出了针与平行线相交的概率的计算公式P=2L/d(其中L是针的长度，d是平行线间的距离，是圆周率).由于它与有关，于是人们想到利用投针试验来估计圆周率的值.此外，随便说出3个正数，以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率P也与有关.值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量（如）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法. 投针试验计算的最为稀奇的方法之一 计算的最为稀奇的方法之一，要数18世纪法国的博物学家C布丰和他的投针实验：在一个平面上，用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，扔到画了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的 布丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含的表示式如果针的长度等于d，那么有利扔出的概率为2/扔的次数越多，由此能求出越为精确的的值 公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出的值为31415929准确到小数后6位不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L巴杰的质疑通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现，这是着实令人惊讶的！蒙特卡罗方法蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法.这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”.该计划的主持人之一、数学家冯诺伊曼用驰名世界的赌城摩纳哥的Monte Carlo来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩.Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用.早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”.19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率.本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能.考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点，有M个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N.可用民意测验来作一个不严格的比喻.民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者.其基本思想是一样的.科技计算中的问题比这要复杂得多.比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千.对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）.Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数.以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量.为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧.另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法“拟蒙特卡罗方法”(Quasi-Monte Carlo方法)近年来也获得迅速发展.我国数学家华罗庚、王元提出的“华王”方法即是其中的一例.这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列.对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度.蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛.【蒙特卡罗方法的基本原理】由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率.因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率.蒙特卡罗法正是基于此思路进行分析的. 设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，xk). 首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，xk)(i=1，2，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi0，则当N时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标. 从蒙特卡罗方法的思路可看出，该方法回避了结构可靠度分析中的数学困难，不管状态函数是否非线性、随机变量是否非正态，只要模拟的次数足够多，就可得到一个比较精确的失效概率和可靠度指标.特别在岩土体分析中，变异系数往往较大，与JC法计算的可靠指标相比，结果更为精确，并且由于思路简单易于编制程序.【蒙特卡罗方法的工作过程】在解决实际问题的时候应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量.用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解. 【蒙特卡罗方法分子模拟计算的步骤】使用蒙特卡罗方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的：使用随机数发生器产生一个随机的分子构型.对此分子构型的其中粒子坐标做无规则的改变，产生一个新的分子构型. 计算新的分子构型的能量.比较新的分子构型于改变前的分子构型的能量变化，判断是否接受该构型. 若新的分子构型能量低于原分子构型的能量，则接受新的构型，使用这个构型重复再做下一次迭代. 若新的分子构型能量高于原分子构型的能量，则计算玻尔兹曼常数，同时产生一个随机数.若这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子，则放弃这个构型，重新计算. 若这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子，则接受这个构型，使用这个构型重复再做下一次迭代. 如此进行迭代计算，直至最后搜索出低于所给能量条件的分子构型结束. 【蒙特卡罗方法在数学中的应用】通常蒙特卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题.对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法.一般蒙特卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特卡罗积分.【非权重蒙特卡罗积分】非权重蒙特卡罗积分，也称确定性抽样，是对被积函数变量区间进行随机均匀抽样，然后对被抽样点的函数值求平均，从而可以得到函数积分的近似值.此种方法的正确性是基于概率论的中心极限定理.当抽样点数为m时，使用此种方法所得近似解的统计误差恒为1除于根号M,不随积分维数的改变而改变.因此当积分维度较高时，蒙特卡罗方法相对于其他数值解法更优.瑞士数学家雅格布伯努利 伯努利，J.（Bernoulli，Jakob）1654年12月27日生于瑞士巴塞尔；1705年8月16日卒于巴塞尔.数学、力学、天文学.雅格布伯努利（Jakob Bernoulli）出生在一个商人世家.他的祖父是荷兰阿姆斯特丹的一位药商，1622年移居巴塞尔.他的父亲接过兴隆的药材生意，并成了市议会的一名成员和地方行政官.他的母亲是市议员兼银行家的女儿.雅格布在1684年与一位富商的女儿结婚，他的儿子尼古拉.伯努利（NikolausBernoulli）是艺术家，巴塞尔市议会的议员和艺术行会会长. 雅格布毕业于巴塞尔大学，1671年获艺术硕士学位.这里的艺术是指“自由艺术”，它包括算术、几何、天文学、数理音乐的基础，以及文法、修辞和雄辩术等七大门类.遵照他父亲的愿望，他又于1676年取得神学硕士学位.同时他对数学有着浓厚的兴趣，但是他在数学上的兴趣遭到父亲的反对，他违背父亲的意愿，自学了数学和天文学.1676年，他到日内瓦做家庭教师.从1677年起，他开始在这里写内容丰富的沉思录（Meditationes）.1678年雅格布进行了他第一次学习旅行，他到过法国、荷兰、英国和德国，与数学家们建立了广泛的通信联系.然后他又在法国度过了两年的时光，这期间他开始研究数学问题.起初他还不知道L.牛顿（Newton）和G.W.莱布尼兹（Leibniz）的工作，他首先熟悉了R.笛卡儿（Descartes）及其追随者的方法论科学观，并学习了笛卡儿的几何学（La gometrie）、J.沃利斯（Wallis）的无穷的算术（Arithmetica Infinitorum）以及.巴罗（Barrow）的几何学讲义（Geometrical Lectures）.他后来逐渐地熟悉了莱布尼兹的工作.16811682年间，他做了第二次学习旅行，接触了许多数学家和科学家，如J.许德（Hudde）、R.玻意耳（Boyle）、R.胡克（Hooke）及C.惠更斯（Huygens）.通过访问和阅读文献，丰富了他的知识，拓宽了个人的兴趣.这次旅行，他在科学上的直接收获就是发表了还不够完备的有关彗星的理论（1682年）以及受到人们高度评价的重力理论（1683年）.回到巴塞尔后，从1683年起，雅格布做了一些关于液体和固体力学的实验讲课，为博学杂志（Jounal des scavans）和教师学报（Actaeruditorum）写了一些有关科技问题的文章，并且也继续研究数学著作.1687年，雅格布在教师学报上发表了他的“用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分的方法”，这些成果被推广运用后，又被作为F.V.斯霍滕（Schooten）编辑的几何学（Geometrie）的附录发表. 1684年之后，雅格布转向诡辩逻辑的研究.1685年出版了他最早的关于概率论的文章.由于受到沃利斯以及巴罗的涉及到数学、光学