在“圆”的世界里领悟数学思想[文档资料]

在 “ 圆 ” 的世界里领悟数学思想 本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。 古希腊数学家毕达哥拉斯认为，一切立体图形最美是球，一切平面图形最美是圆 . 而圆的学习，不仅要熟练掌握基础知识，更要重视思想的学习 . 数学思想方法是数学的精髓，也是将理论知识转化为实践技能的桥梁 . 本文就带领同学们到 “ 圆 ” 的世界里挖掘蕴含其中的数学思想，领略它美丽的风采 . 一、 转化思想 转化思想是数学中最基本最重要的思想之一，它的实质是揭示问题的联系 . 通常要 同学们把未知转化成已知，将题目中不确定的关系转化成确定的关系，将一般情况转化成特殊情况来处理 . 1. 圆中弧长和弦长的相互转化 例 1 如图 1， BC是 O 的直径， BD与 EC是弦，BD=EC，说明 AB=AC. 【分析】同学们的思路很清晰，会利用等角对等边，把说明边相等的问题转化成说明角相等的问题 . 如图 2，一部分同学通过说明三角形全等，实现 B=C. 这种方法很好，利用了圆的半径处处相等的隐含条件构造全等三角形实现角度转化 . 还有一部分同学会利用同圆中弧和这条弧所对的弦的关系，把 弦相等的问题转化成弧相等 . 即通过 BD=EC 说明= ，进一步说明 = ，从而实现 B=C. 比较两种方法，利用圆中弧和弦的相互转化是解决圆中线段问题的有效手段 . 练习：如图 3， CD 是 ABC 外角 MCA 的平分线， CD 与ABC 的外接圆交于点 D. （ 1） 若 BCA=60 ，说明 ABD 是等边三角形；（ 2） 设点 F 为 上一点，且 = ， DF的延长线交 BA的延长线于点 E，说明 ACAF=DFFE. 【分析】第二小题中要利用 = ，说明CDB=FDA ，进一步得 C DA=FDB ，从而得 FAE=CDA ，为相似创造条件，得到 ACAF=DCFE. 其次利用同弧所对的圆周角相等，对圆周角转化后得到 DBA=DAB ，进一步转化为 = ，得到 = ，从而得到 DC=DF. 2. 圆中同弧所对圆周角、圆心角的转化 例 2 如图 4， AD是 ABC 外接圆的直径， AD=6 cm，DAC=ABC ，求 AC的长 . 【分析】连接 DC，如图 5，利用同弧 ，就可以得到ABC 与 ADC 相等，在 RtACD 中实现求 AC的目标 . 所以同学们在圆中要善于观察同弧所 对的圆周角 . 必要时构造同弧所对的圆周角转化已知角度 . 练习：如图 6，在 O 中， AB是直径， CD 是弦，ABCD. （ 1） P 是 上一点（不与 C、 D 重合），说明：CPD=COB ； （ 2） 点 P 在劣弧 CD上（不与 C、 D 重合）时，CPD 与 COB 有什么数量关系？ 【分析】（ 1） 如图 6，连接 OD，由垂径定理可知，= ，得到 COB=COD ，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知 CPD=COD ，故 CPD=COB. （ 2） 由于 CPD+ CPD=180 ， CPD=COB ，故CPD+COB=180. 二、 分类讨论思想 分类讨论在圆中也经常运用到，分类时必须遵循三条原则：（ 1） 分类标准必须统一；（ 2） 任何两种情况不能重复；（ 3） 每一种情况都不能遗漏 . 例 3 A、 B、 C、 D 都在 O 上， ABCD ， AB=24，CD=10， O 半径为 13，求以 A、 B、 D、 C 为顶点的梯形的面积 . 【分析】由于圆是轴对称图形，仅仅已知弦长，在圆中的位置是不确定的，所以要分两种情况进行讨论 . 如图 7，分 CD在 优弧 和劣弧 上 . 利用垂径定理，我们可以分别求得梯形 ABDC 的高 . 练习：（ 2012 江苏南京）如图 8， A、 B 为 O 上的两个定点， P 是 O 上的动点（ P 不与 A、 B 重合），我们称APB 为 O 上关于 A、 B 的滑动角 . （ 1） 已知 APB 是 O 上关于点 A、 B 的滑动角 . 若 AB 为 O 的直径，则 APB=_ ； 若 O 半径为 1， AB= ，求 APB 的度数 . （ 2） 已知 O2为 O1 外一点，以 O2为圆心作一个圆与 O1 相交于 A、 B 两点， APB 为 O1 上关 于点 A、 B 的滑动角，直线 PA、 PB分别交 O2 于点 M、 N（点 M 与点 A、点 N与点 B 均不重合），连接 AN，试探索 APB 与 MAN 、 ANB之间的数量关系 . 【分析】（ 1） AB 为圆 O 的直径， APB=90. 故答案为： 90. 如图 9，连接 OA、 OB、 AB， 圆 O 半径为 1，AB= ， OA2+OB2=AB2 ， AOB=90 ， 若点 P 在优弧 AB上，则 AP1B=AOB=45 ； 若点 P 在劣弧 AB上，则 AP2B=180 -AP1B =135. APB 的度数为 45 或 135. （ 2） 同学们要探究 APB 与 MAN 、 ANB 的关系，就要考虑点 P、 M、 N 在圆中的位置，三个不定点要去研究，分类讨论的标准是一个难点 . 如图 10，要综合考虑点 P 在优弧 或劣弧 上，点 M、 N 在优弧 或劣弧 上，从而对APB 、 MAN 、 ANB 进行分类讨论 . 所以，我们进行如下讨论： 第一种情况：点 P 在 O2 外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 B 在点 P 与点 N 之间 . 如图 ， MAN=APB+ANB ， APB=M AN-ANB. 第二种情况：点 P 在 O2 外，且点 M 在点 P 与点 A 之间，点 B 在点 P 与点 N 之间 . 如图 ， APB+ANB+MAN=180 ，APB=180 -MAN -ANB. 第三种情况：点 P 在 O2 外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 N 在点 P 与点 B 之间 . 如图 ， MAN=APB+ANP=APB+ （ 180 -ANB ）， APB=MAN+ANB -180. 第四种情况：点 P 在 O2 内，如图 ，APB=MAN+ANB. 三、 类比思想 类比思想在探究题中经常用到 . 它能够解决一些看似复杂困难的问题 . 从迁移过程看，有些类比十分明显、直接，比较简单，而有些类比需建立在抽象分析的基础上才能实现 . 例 4 如图 11， O1 与 O2 相交于 A、 B， P 为 O1 优弧 上一点， PA、 PB、 PO1 分别交 O2 于 C、 D、 E 三点 . （ 1） 写出 CD与 PE 位置关系 . （ 2） 点 P 为劣弧 上一点时，（ 1）中结论是否成立？画出图形 . 【分析】（ 1） 如图 12，易得 PBA=ACD ，由同弧所对 圆周角相等得 PBA=PMA ，从而得到 PMA=ACD ，由于PMA+APM=90 ，故 PCD+APM=90 ，也就是CNE=90 ，即 CDPE. 这类题型由于点的位置不同，图形肯定会发生变化，但类比问题（ 1），有很多本质没有变：如图 13，直线 PA交O2 于点 D，直线 PB 交 O2 于点 C，直线 PO1 交 O2 于点 E. 所以，上一题的结论依然成立 . 一般情况下这种题的说明思路也是一样的 . （ 2） 如图 14，由同弧所对圆周角相等得BCD=BAP ， HPB=HAB ，所以又得 C PE=HAB ，由于 HP是直径，所以 HAB+BAP=90 ，所以 PCD+CPE=90 ，故 CDPE. 深入挖掘