关于一道高考题的三种解法及思考[文档资料]

关于一道高考题的三种解法及思考 本文档格式为 WORD,感谢你的阅读。 mgq)的匀强电场时，小球从 O 点静止释放后获得的最大速率 vm. 解法一高考参考答案： (1)洛伦兹力不做功，由动能定理得 mgy=12mv2(1) 得 v=2gy(2) (2)设在最大距离 ym处的速率为 vm，根据圆周运动有 qvmB-mg=mv2mR(3) 且由 (2)知 vm=2gym(4) 由 (3)、 (4)及 R=2ym 得 ym=2m2gq2B2(5) (3)小球运动如图 2 所示， 由动能定理 (qE-mg)|ym|=12mv2m(6) 由圆周运动 qvmB+mg-qE=mv2mR(7) 且由 (6)、 (7)及 R=2|ym|解得 vm=2qB(qE-mg). 命题特点首先，本题是针对习惯思维的逆向选择 (平时我们研究的粒子，一般都是不计重力，而本题选择的是带电小球，重力不能忽略 )；其次，本题题干以及第 (1)问的情景不是很陌生，但是第 (2)问 利用曲率半径、把向心力的关系作为一条解决问题的渠道，这是比较新颖的；再有，第 (3)问，引入电场是对原题很好的一个变式 . 解题困难 “ 曲率半径 ” 这个概念对考生来说比较陌生 .高中物理教材中并没有出现过有关 “ 曲率半径 ” 的内容，而笔者询问了本校几位数学教师，回答也都是 “ 没有讲过 ”. 只是有这样的情况，有些教师在讲解 “ 卫星变轨 ” 问题时，作为拓展，会讲一讲 “ 曲率半径 ” 的问题，而且也要看学生的程度，若是一般的普通高中，老师基本上是不会讲的 .考试中不少学生正是由于不知 “ 曲率半径 ” 是何物而无法求解 . 当然， 命题者也许并非默认考生都是知道 “ 曲率半径 ” 这个概念的，而是要求学生综合题中各种信息，从圆周运动中的 “ 半径 ” 概念迁移到本题中的 “ 曲率半径 ” 来，如果是这样，那对学生的知识迁移能力是很高的要求 . 另外，仔细阅读此题， “ 已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到 x 轴距离的 2 倍 ” 这个条件是在仅有磁场和重力场的情境下给出的，那么对于第 (3)问中进一步引入电场的变式，这个条件是否仍然成立，要进行类比才能确定，难度也是很大的 . 当然，作为试题的研究，我们可以不把 “ 曲率半径 ”当作 “ 华山一条道 ” ，仍然能够通过其它 方法求解 .下面介绍两种解法，均不需要用到题中 “ 曲率半径 ” 的条件 . 解法二第 (1)问略 . 设小球在运动过程中第一次下降的最大距离对应的位置为点 Q，如图 3 所示 . 对切点 Q 有 yQ=ym,(vy)Q=0(1) 洛伦兹力不做功，由动能定理 mgym=12m(vx)2q(2) 取运动轨迹上某一点 P，小球位于 P 时，它所受到的 x方向的力是 Fx=qvyB, 这个力提供了小球在 x 方向的加速度， qvyB=max(3) 注意到 (3)式对小球运动过程中各个时刻都是成立的，它可以写成 qByiti=m(vx)iti, 亦即 qByi=m(vx)i(4) 把小球从 O 点到 Q 点运动过程中所有小段的关系式全部加起来有 i(qByi)=i m(vx)i (5) 由于 iyi=yQ -yO=ym, i(vx)=(vx)Q -(vx)O=(vx)Q, 代入 (5)式得 qBym=m(vx)Q(6) 联立 (2)、 (6)式得 ym=2m2gq2B2 且 (vx)Q=2mgqB. 由动能定理知， (vx)Q=2mgqB 即是小球静止释放后获得的最大速率 vm，对于第 (3)问，只要利用等效替代的方法，令“ 等效场 ” 为 mg效 =qE-mg，马上就可以求得结果，其最大速率为 vm=2mg 效 qB=2(qE-mg)qB. 解法三第 (1)问略 . 按题意，小球由静止释放，即初速度为零 .设想此时小球具有如图 4 所示的 x 方向的速度 +v0 和 -v0，使 +v0 这个速度引起的洛伦兹力正好与小球所受的重力相平衡，即 v0的大小满足 qv0B=mg，或写成 v0=mgqB，这个 值是恒定的 . 照此设想，小球在其后的运动过程中将受到三个力，一个是沿 y 轴正方向的重力，一个是由于小球沿 x 轴向右运动而产生的 y 轴负方向的洛伦兹力 (图 4 中已画出 )，另一个是小球向左运动产生的 y 轴正方向的洛伦兹力 (图 4 中未画出 ).这第三个力所相应的加速度引起小球速度的改变，它和原来小球向左运动的速度的合成正是一种匀速圆周运动模式，而小球向右运动的这个分速度没有改变，也就是说，它所引起的洛伦兹力和重力始终保持平衡 .于是，小球的运动结合起来，可视为是一个速度为 v0的向右运动和一个速率为 v0的匀速圆周运动 (逆 时针方向 )的合成，如图 5 所示 .对匀速圆周运动，有 qv0B=mv20R, 得 R=mv0qB, 又 v0=mgqB, 所以 R=mqB #8226；mgqB=m2gq2B2. 则小球下降的最大距离为 ym=2R=2m2gq2B2. 同时，匀速圆周运动在最大距离 Q 点处的速度方向向右，由运动的合成可知，小球在这个位置具有最大的速率，大小为 vm=v0+v0=2v0=2mgqB, 最后，利用 “ 解法二 ” 中的等效思想，即得第 (3)问的答案 vm=2mg 效 qB=2(qE-mg)qB. 在此基础上，我们进一步来描述小球的运动：一个匀速直线运动叠加到匀速圆周运动上，因此小球的运动路径不是简单的圆弧，而是一种特殊的曲线，数学上称为 “ 摆线 ” ，如图 5 所示 .生活中，做匀速直线运动的自行车或汽车轮缘上任意一点相对于地面参考系的运动轨迹正是这种曲线 . 小球运动一个完整轨迹的时间为 T=2mqB ，与速度 v0无关 .在时间 T 中，小球先落到 ym=2R=2mv0qB=2m2gq2B2 的位置，然后又上升到初始高度，对应的 水平位移为 x=Tv0=2mqB #8226；mgqB=2m2gq2B2, 在这一点小球停顿一下，接着开始一个新的摆线曲线 . 比较后两种解法，可以看出： “ 解法二 ” 对数学能力的要求比较高，而 “ 解法三 ” 则将小球的运动分解成同一平面内的匀速圆周运动与匀速直线运动和合成，巧妙地运用了运动的合成与分解知识来处理复杂的运动过程，使求解变得简洁明了，而且把小球的运动规律描述得非常清楚 .在教学中，我们应该由此而注重触类旁通的训练 . 若把原题中 “ 曲率半径 ” 这一条件去掉，本题 的难度更加大了，但仍可利用后两种方法求解 .从这个角度来看，“ 曲率半径 ” 反倒是命题者为了降低本题难度、引导思考而特意加进去的，如果学生能正确理解 “ 曲率半径 ” 的意思，则不难求解 . 按照我们的经验，掌握物理定律最好的办法是在实际中应用它们 .然而，往往许多书本中的问题只能通过冗长而繁杂的数学运算才能解决，这些运算机械而枯燥，对于学生来说是一件苦差事 .有时候，即使是那些掌握了所有必要技能的最好的学生，也会感觉那样的问题不足以吸引他们，因为冗长乏味的计算使他们的创造力得不到充分的发挥 . 通过 “ 解法 三 ” ，可以让学生知道，并非所有的物理难题都要用复杂的数学才能解决 .通过恰当地选择变量和坐标系，或者特异的