2019_2020学年高中数学第1讲坐标系3简单曲线的极坐标方程学案新人教A版.docx

三简单曲线的极坐标方程学习目标：1.了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法.2.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程(重点、易错点)3.能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题(难点)教材整理1曲线与方程阅读教材P12“圆的极坐标方程”以上部分，完成下列问题在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)0表示曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)0的解；(2)以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上教材整理2极坐标方程阅读教材P12P13“例1”以上部分，完成下列问题一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(，)0，并且坐标适合方程f(，)0的点都在曲线C上，那么方程f(，)0叫做曲线C的极坐标方程下列点不在曲线cos 上的是()A. B.C. D.解析点的极坐标满足，且cos cos.答案D教材整理3常见的极坐标方程阅读教材P13P15，完成下列问题曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos_圆心为，半径为r的圆2rsin_(0)过极点，倾斜角为的直线或过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos_a过点，与极轴平行的直线sin_a(0)极坐标方程cos所表示的曲线是()A双曲线 B椭圆C抛物线 D圆解析coscossin ，2cos sin ，x2y2xy，这个方程表示一个圆答案D直线或射线的极坐标方程【例1】求过点A(1,0)，且倾斜角为的直线的极坐标方程思路探究画出草图设点M(，)是直线上的任意一点建立关于，的方程检验自主解答法一设M(，)为直线上除点A以外的任意一点则xAM，OAM，OMA.在OAM中，由正弦定理得，即，故sin，即，化简得(cos sin )1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1，其中，0，0和2，0.法二以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy.直线的斜率ktan1，过点A(1,0)的直线方程为yx1.将ysin ，xcos 代入上式，得sin cos 1，(cos sin )1，其中，0，0和2，0.法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以，为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程1若本例中条件不变，如何求以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？解由题意，设M(，)为射线上任意一点，根据例题可知，sin，化简得(cos sin )1.经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程因此，以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为(cos sin )1.极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2】若曲线C的极坐标方程为2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若直线sin0与曲线C相交于A、B，求|AB|.思路探究利用极坐标化为直角坐标的公式将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程求解自主解答(1)因为所以2x2y2，由2sin 4cos ，得22sin 4cos x2y24x2y0，即(x2)2(y1)25.(2)由sin0，得0，即sin cos 0，xy0.由于圆(x2)2(y1)25的半径为r，圆心(2,1)到直线xy0的距离为d，|AB|23.1直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验2对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用2在极坐标系中，点到直线sin 2的距离等于_解析极坐标系中点对应的直角坐标为(，1)极坐标系中直线sin 2对应直角坐标系中直线y2，故所求距离为1.答案1极坐标方程的应用【例3】从极点O作直线与另一直线l：cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|OP|12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值思路探究(1)建立点P的极坐标方程，完成直角坐标与极坐标方程的互化(2)根据直线与圆的位置关系，数形结合求|RP|的最小值自主解答(1)设动点P的极坐标为(，)，M的极坐标为(0，)，则012.0cos 4，3cos 即为所求的轨迹方程(2)将3cos 化为直角坐标方程，得x2y23x，即2y22，知P的轨迹是以为圆心，半径为的圆直线l的直角坐标方程是x4.结合图形(图略)易得|RP|的最小值为1.1用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同2解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些3.(2019全国卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1,0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标解(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标方程分别为2cos ，2sin ，2cos .所以M1的极坐标方程为2cos ，M2的极坐标方程为2sin ，M3的极坐标方程为2cos .(2)设P(，)，由题设及(1)知，若0，则2cos ，解得；若，则2sin ，解得或；若，则2cos ，解得.综上，P的极坐标为或或或.圆的极坐标方程探究问题如何求圆心为C(1，1)，半径为r的圆的极坐标方程？提示如图所示，设圆C上的任意一点为M(，)，且O、C、M三点不共线，不妨以如图所示情况加以说明，在OCM中，由余弦定理得|OM|2|OC|22|OM|OC|cosCOM|CM|2，221cos(1)r2，可以检验，当O、C、M三点共线时的点M的坐标也适合上式，当1时也满足该式，所以半径为r，圆心在C(1，1)的圆的极坐标方程为221cos(1)r20.【例4】求圆心在C处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点是否在这个圆上思路探究解答本题先设圆上任意一点M(，)，建立等式转化为，的方程，化简可得，并检验特殊点自主解答如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(，)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|2r，连接AM，则OMMA.在RtOAM中，|OM|OA|cosAOM，即2rcos，4sin ，经验证，点O(0,0)，A的坐标满足上式，满足条件的圆的极坐标方程为4sin .sin，4sin 4sin2，点在此圆上1求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M(，)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(，)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程(一般只要对特殊点加以检验即可)2求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示4曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_解析直角坐标方程x2y22x0可化为x2y22x，将2x2y2，xcos 代入整理得2cos .答案2cos 极坐标方程1圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为()A1Bcos C2cos D2sin 解析圆的直角坐标方程是(x1)2y21，将xcos ，ysin 代入上式，整理得，2cos ，即为此圆的极坐标方程答案C2极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是()A两个圆 B两条直线C一个圆和一条射线 D一条直线和一条射线解析由题设，得1，或，1表示圆，(0)表示一条射线答案C3极坐标方程分别为2cos 和sin 的两个圆的圆心距为_解析两圆方程分别为x2y22x，x2y2y，知两圆圆心C1(1,0)，C2，|C1C2|.答案4在极坐标系(，)(02)